Specific aim 2

A teoria dos registos de representação semiótica (TRRS) foi criada pelo teórico francês Raymond Duval, filósofo e psicólogo de formação. Desde a década de 1970, este autor realizou diversos estudos em psicologia cognitiva e trouxe para a área da Educação Matemática contributos marcantes. A origem da TRRS tem uma longa história, conforme relata o próprio autor (Duval, 2013), e foi o culminar de um percurso de desvios e de impasses semelhante a um labirinto. Duval chegou ao IREM de Strasbourg em 1970, um dos três primeiros IREM criados em França para acompanhar a reforma da Matemática Moderna, pouco depois de ter terminado a sua tese, cujo referencial teórico foi a epistemologia genética de Piaget e envolveu o estudo do desenvolvimento de noções físicas e matemáticas em crianças e adolescentes. A referida reforma era de inspiração Bourbakista e tinha como suporte psicológico e cognitivo a teoria cognitivista de Piaget (Duval, 2013).

Os anos de trabalho no IREM proporcionaram-lhe uma visão mais completa dos diferentes aspetos da atividade matemática que as mudanças sucessivas dos programas escolares tinham favorecido, excluído ou ignorado: os raciocínios de tipo dedutivo e de tipo argumentativo em linguagem natural, a compreensão dos enunciados, o uso de letras e de variáveis para resolver equações, a construção de figuras geométricas e sua utilização heurística, a leitura e interpretação de gráficos cartesianos, os diagramas utilizados para representar conjuntos e relações, tabelas de números, etc.

Alguns anos mais tarde, após uma reforma que reagrupou todos os alunos de 11 a 15 anos em um único tipo de estudos, a heterogeneidade dos alunos relativamente à compreensão de enunciados de problemas surgiu como o principal problema do ensino. Duval (2013) enfatiza que reorientou os seus estudos para este problema uma vez que os professores de matemática começavam, então, a atribuir as dificuldades dos alunos em matemática a uma falta de ‘domínio da linguagem’. Paralelamente, uma outra abordagem da psicologia cognitiva desenvolvia-se nos Estados Unidos. Esta estava centrada sobre a representação de conhecimentos e sobre a elaboração de programas de computador com capacidade de responder a perguntas, resumir uma explicação, resolver problemas, etc. Perante a situação, Duval levantou algumas inquietações sobre: que tipo de esquema e, de modo mais geral, que tipo de representação é mais pertinente para dar conta não apenas de um texto, mas de um raciocínio dedutivo, de uma argumentação, de uma escrita simbólica, etc.?

Em 1986, com toda a experiência adquirida durante este período de grandes mudanças no ensino da matemática e na formação de professores, e constatando que desde os primeiros anos era solicitado aos alunos um malabarismo com diferentes representações, tomou consciência do caráter fundamentalmente semiótico da atividade matemática independentemente das formas de atividade escolhidas para as “engenharias didáticas”. O modo de trabalho matemático que o sistema escolar impunha aos alunos levou Duval a eleger duas preocupações primordiais. A primeira consistia em saber se os alunos reconhecem o que é matematicamente preservado quando se passa de um tipo de representação para outra e a segunda consistia em saber se os alunos reconhecem, no conteúdo de uma representação, o que é matematicamente pertinente e o que não é. Duval (2013) salienta que estas duas preocupações se tornaram relevantes para todas as utilizações da língua natural nos enunciados de problemas, para a utilização de figuras em geometria, para os gráficos cartesianos, para os diagramas e tabelas utilizadas para organizar dados, etc.

Para responder à primeira destas duas preocupações, Duval desencadeou um estudo que se iniciou com um questionário sobre o reconhecimento de funções lineares e afins quando passamos de sua representação gráfica para a escrita da equação correspondente. Duval (2013) refere que as questões diziam respeito à conversão, “e elas foram construídas de acordo com o seguinte princípio: apresentar todas as variações visualmente significativas da posição de uma reta sobre um plano cartesiano e pedir para escolher a equação correspondente dentre várias possibilidades, mas cujos conteúdos variavam apenas pela mudança de um único símbolo (sinal, número oposto ou inverso, presença ou não de uma constante, etc.)” (p. 14).

Os resultados dos referidos questionários e o feedback recebido dos professores que recorreram espontaneamente a este método provaram a pertinência e a fecundidade desta abordagem, pois evidenciaram que realmente permitia explorar todos os fenômenos cognitivos de compreensão e de aprendizagem relacionados à atividade matemática. Em concreto, Duval (2013) conta ainda que os dados evidenciaram a existência dos fenômenos de não-congruência na passagem de um tipo de representação para outro, isto é, era frequente a ocorrência de sucesso de reconhecimento num sentido mas fracasso no outro, e também era evidente a diferença radical de procedimentos matemáticos de acordo com o tipo de representação utilizada. Estas evidências sugeriram que “do ponto de vista cognitivo, a atividade matemática deveria ser analisada em termos de transformações de representações semióticas e não de conceitos puramente mentais, e, portanto, assemióticos” (p. 14).

Duval (2013) refere que nesta ocasião havia necessidade de sair da contradição implícita à teoria piagetiana e ao construtivismo neopiagetiano. De um lado, era valorizada a linguagem (natural) na atividade matemática e, do outro lado, defendia-se a primazia do uso de símbolos e de representações geométricas e gráficas na atividade matemática.

Os resultados e feedback dos inquéritos acima referidos, a existência dos fenômenos de não- congruência na passagem de um registo para outro, bem como decidir sobre o que privilegiar na atividade matemática entre a linguagem natural versus símbolos e representações, levou Duval a considerar uma questão ampla abrangendo as representações semióticas que não se limitava ao acesso aos objetos matemáticos, mas que se ocupava também dos processos cognitivos e epistemológicos dos tratamentos matemáticos.

O investigador francês inferiu que “as dificuldades de compreensão na aprendizagem da matemática não estavam relacionadas aos conceitos, mas à variedade de representações semióticas utilizadas e o uso ‘confuso’ que fazem delas” (Duval 2013, p. 15). Tendo em conta esta inferência, Duval passou a preocupar-se em propor uma teoria que permitiria modelar os dois tipos de transformações de representações semióticas que são cognitivamente e epistemologicamente específicas da atividade matemática. Para esta finalidade, o investigador francês contou com as propostas teóricas de Frege e de Saussure.

Frege sugeria uma teoria segundo a qual:

era preciso partir da dupla {sinal, objeto}, pois a distinção entre sentido e referência (Sinn e Bedeutung) permitia explicar como uma representação semiótica poderia ser convertida em outra representação semiótica, embora seus respectivos conteúdos não tenham nada em comum… (Duval, 2013, p. 15).

A perspetiva teórica de Frege não satisfez cabalmente a preocupação de Duval pois não permitia explicar a causa da pluralidade dos procedimentos de cálculo e, de modo mais geral, o porquê da diversidade dos tratamentos matemáticos, dependendo do tipo de representação utilizada.

A proposta teórica de Saussure propunha que “era preciso considerar a língua natural como um sistema, no interior do qual os jogos de oposições entre os elementos constituíam signos tendo um sentido, independentemente de qualquer referência a um objeto” Duval (2013, p. 15). E isto suscitou a consideração de outros sistemas como sendo semióticos, munidos das suas possibilidades específicas de transformações internas. Nesta época foram reconhecidos essencialmente os numéricos, os gráficos cartesianos e as figuras geométricas.

Posteriormente, Duval passou a preocupar-se com o perigo de confusão que podia ocorrer entre os sistemas semióticos, utilizados em matemática para representar os objetos matemáticos e para trabalhar com e sobre esses mesmos objetos, e os sistemas semióticos utilizados fora da matemática. Para obviar este perigo de ambiguidade, Duval adotou o termo “registo”. Assim, Duval (2013) apresenta dois motivos que o levaram a escolher o termo registo:

Em primeiro lugar, esta é a palavra que Descartes utiliza nas primeiras páginas de sua Geometria. Em segundo lugar, esta palavra também se refere à extensão dos recursos disponíveis em domínios como a voz, os

instrumentos musicais, os modos de se expressar: falamos, por exemplo, de “registos” para designar o comando de cada um dos jogos de um órgão (p.16).

Com a publicação da sua obra Sémiosis et pensée humaine, em 1995, Duval fez a primeira apresentação sistemática da teoria de registos de representação semiótica, cujo princípio fundamental é o seguinte: “a distinção entre os diferentes registos permite separar os dois tipos de transformações que constituem a atividade matemática: as conversões e os tratamentos” (Duval, 2013, p. 16).