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Vamos tratar agora em definir os espa¸co de spin. Sejam os vetores de spin ~ζ, ~η, etc. Estes vetores s˜ao elementos de um espa¸co vetorial chamado de espa¸co de spin,S. O espa¸co de spin S ´e definido como um espa¸co vetorial bidimensional sobre o campo complexo ❈. Neste espa¸co vetorial existe uma duas-forma [ , ] com as seguintes propriedades:
1. Um produto interno anti-sim´etrico. Este pode ser representado da seguinte maneira h
~
ζ, ~ηi=−h~η, ~ζi. (A.11)
2. Este produto interno ´e bilinear. Podemos ver a bilinaridade do produto interno atrav´es das seguintes rela¸c˜oes:
h
λ~ζ, ~ηi = λhζ, ~η~ i, h
~
ζ + ~η, ~φi = h~ζ, ~φi+h~η, ~φi, (A.12) onde λ ∈ ❈. Portanto, a bilinearidade ´e mostrada acima, pois as equa¸c˜ao (A.11) mostra a linearidade no primeiro argumento do produto interno enquanto que as equa¸c˜oes (A.12) implicam na linearidade do segundo argumento do produto interno. 3. Este produto interno ´e n˜ao degenerado. Para vermos essa propriedade vamos tomar
um vetor de spin ~κ = λ~η. Das equa¸c˜oes (A.11) e (A.12) segue que h
~
ζ, ~κi = 0. (A.13)
Al´em do mais a condi¸c˜ao necess´aria e suficiente para que dois vetores de spin sejam linearmente independentes ´e que
h ~
ζ, ~ηi = 0⇒ ~ζ = 0, (A.14)
para todo ~η ∈ S, ou que
h ~
ζ, ~ηi6= 0, (A.15)
para todo ~ζ, ~η ∈ S. Portanto, as equa¸c˜oes (A.13), (A.14) e (A.15) mostram-nos a n˜ao degenerescˆencia do espa¸co de spin S.
Nesse momento vamos construir uma base para S, chamada de base de spin. Sejam dois vetores de spin arbitr´arios ˆo e ˆι tal que o produto interno entre eles seja dado por
[ˆo, ˆι] =− [ˆι, ˆo] = 1, (A.16)
onde usamos a express˜ao (A.11). Com isso, vamos definir que as componentes de algum vetor de spin ~ζ ∈ S sejam dadas por
~
ζ = ζ0o + ζˆ 1ˆι, (A.17)
onde temos que as componentes ζ0 e ζ1 s˜ao dadas por
ζ0 =h~ζ, ˆιi, ζ1 =h~ζ, ˆoi, (A.18) e onde vamos adotar a conven¸c˜ao2
ˆ
o = (1, 0) , ˆι = (0, 1) . (A.19)
Dessa forma, podemos expressar o produto interno de dois vetores de spin arbitr´arios em termos da base (A.19) como
[~κ, ~η] = κ0η1− κ1η0, (A.20) onde escrevemos os vetores em termos de suas componentes, ou seja, ~κ = κ0o + κˆ 1ˆι e
~η = η0ˆo + η1ˆι e usamos a defini¸c˜ao do produto interno da base de spin (A.16).
A.3
Algebra Spinorial´
Nesta se¸c˜ao vamos introduzir a ´algebra que envolve os spinores de duas componentes. Dado a representa¸c˜ao do spinor em termos da base de spin na express˜ao (A.17), vamos definir os ´ındices spinorais A, B, C... = 0, 1 que representar˜ao as componentes do vetor de spin em rela¸c˜ao a base de spin, isto ´e,
ζA= ζ0, ζ1. (A.21)
Dessa maneira, para cada elemento deS devemos construir um conjunto infinito de c´opias isom´orficas, por´em distintas, de S que denominaremos de SA,SB, .... Logo, definimos
outros spinores ζB e ζC de tal forma que cada um perten¸ca a um desses espa¸cos distintos,
ou seja, ζA ∈ SA, ζB ∈ SB e assim por diante.
Vamos agora denotar o espa¸co dual deS por S∗. Para este espa¸co podemos construir
um conjunto infinito de c´opias isom´orficas deS∗, mas distintas tamb´em, que nomearemos
2
Veja que na express˜ao (A.6) dissemos que as componentes complexas ζ e η formariam as componentes do vetor de spin. Contudo, para facilitar nossa leitura, daqui por diante iremos adotar como componentes de spin a conven¸c˜ao dada na express˜ao (A.18). Em nenhum momento perdemos a generelidade das express˜oes, basta que fa¸camos a identifica¸c˜ao ζ→ ζ0
e η→ ζ1
de SA,SA, .... Dessa maneira, cada elemento do espa¸co dual ´e representado por ζA∈ SA,
ζB ∈ SB e assim por diante.
Para cada elemento ζ ∈ S podemos identificar [ζ, ] ∈ S∗ tal que [ζ, ] seja uma tran-
forma¸c˜ao linear [ζ, ] : S → ❈, isto ´e, para cada ζA ∈ SA, temos que ζA ´e uma trans-
forma¸c˜ao linear ζA : SA → ❈. Ent˜ao, temos que o objeto ζAηA ∈ ❈ ´e chamado de
produto interno ou contra¸c˜ao.
Dada a defini¸c˜ao do espa¸co dual acima, temos que a representa¸c˜ao para um spinor pode ser dada pela valˆencia do spinor (p, 0; r, 0). Assim, a representa¸c˜ao para um spinor ζA fica sendo (1, 0; 0, 0). Enquanto que para o spinor ζ
A sua representa¸c˜ao fica sendo
(0, 0; 1, 0). Spinores de ordens maiores (p, 0; r, 0), com p ´ındices contravariantes e r ´ındices covariantes s˜ao dados por χAB...F
GH...K, ou seja, s˜ao transforma¸c˜oes bilinares do tipo χAB...FGH...K :
SA× SB× ... × SF × SG× SH × ... × SK → ❈.
Contudo, um spinor do tipo (p, 0; r, 0) n˜ao pode representar o tipo mais geral de spinor porque n˜ao definimos ainda a opera¸c˜ao de conjuga¸c˜ao complexa sobre ele. Um fato interessante ´e que o complexo conjugado de um elemento ζA ∈ SAn˜ao pertence ao espa¸co
vetorialSA.3 Para indicar que um elemento pertece a um espa¸co vetorial conjugado, vamos
escrever ¯ζ ∈ ¯S, enquanto que seu dual fica sendo [ζ, ] ∈ S∗.
Portanto, dado um elemento ζA∈ SA, o complexo conjugado deste spinor ´e escrito da
seguinte forma
ζA7−→ ζA= ¯ζA′
∈ SA′, (A.22)
onde on ´ındice A′ indica o complexo conjugado do ´ındice A, enquanto que SA′
indica o complexo conjugado de SA. Podemos observar que o espa¸co vetorial conjugadoSA′
n˜ao ´e isom´orfico ao espa¸co vetorial SA. Seja κA= α ζA+ β ηA, onde α, β ∈ ❈ e ζA, ηA∈ SA.
O complexo conjugado de κA ser´a
κA= α ζA+ β ηA= ¯α ¯ζA′
+ ¯β ¯ηA′ 6= α ¯ζA′ + β ¯ηA′. (A.23) Portanto, vemos na express˜ao acima que SA′
´e anti-isom´orfico a SA. Notemos tamb´em
que se aplicarmos por duas vezes a conjuga¸c˜ao complexa sobre um spinor recuperaremos sua configura¸c˜ao inicial, isto ´e, ¯ζA′
= ζA. Um observa¸c˜ao que deve ser feita agora ´e que
h´a uma excess˜ao em rela¸c˜ao a conjuga¸c˜ao complexa. Esta excess˜ao ´e em rela¸c˜ao ao spinor de Levi-Civita que definiremos mais tarde.
Portanto, com a conjuga¸c˜ao complexa de um spinor definida temos que a forma mais geral para um spinor ´e representada por (p, q; r, s), onde o spinor possui p contravari- antes ´ındices A, ..., C, q contravariantes ´ındices S′, ..., U′, r covariantes ´ındices F, ..., K e
s covariantes ´ındices W′, ..., Y′, ou melhor, podemos escrever como χA...CS′...U′
F...KW′...Y′.
Contudo, devemos dar uma aten¸c˜ao especial nesse momento em rela¸c˜ao a ordem dos ´ındices spinoriais. Devido aS e S serem espa¸cos vetoriais distintos e n˜ao serem isom´orficos, a ordem dos ´ındices A e A′ torna-se irrelevante. Por exemplo, se tomarmos um spinor
(1, 1; 1, 1), cujas componentes s˜ao χAB′
CD′, ent˜ao χABCD′ ′ = χB ′A D′C = χB ′ A D′ C. (A.24) 3
Para ver a prova que o complexo conjugado de um elemento ζA n˜ao pertence aSAver as referˆencias
Entretanto, os espa¸cos vetoriais S e S∗ s˜ao duais. Isto implica que n˜ao a ordem dos
´ındices deve permancer intacta, pois
τABCD 6= τBACD 6= τA BC D 6= τABDC. (A.25) De mameira similiar, a regra da pela express˜ao (A.25) aplica-se para um spinor do tipo (0, 2; 0, 2), cujas componentes s˜ao τA′B′
C′D′. A primeira vista, as rela¸c˜oes (A.24) e (A.25)
podem n˜ao ser clara nossa para n´os, contudo, estas se tornar˜ao mais f´aceis de entender quando definirmos o spinor de Levi-Civita na pr´oxima se¸c˜ao.