Nesta se¸c˜ao, supomos conhecidos o sinal original e o ru´ıdo adicionado, o que possibilita obter-se diretamente os valores dos limiares que minimizam o MSEE. Em um exemplo de simula¸c˜ao computacional, s˜ao levantadas a superf´ıcie de erro SoftSoft e as curvas do erro em fun¸c˜ao de cada limiar, com o outro limiar fixado no valor ´otimo. Nestas curvas, o erro ´e calculado pela soma das trˆes parcelas da equa¸c˜ao (3.37). Finalmente, descrevemos um procedimento para determinar com precis˜ao o ponto de m´ınimo a partir de um ponto inicial medido na superf´ıcie MSEE que, em geral, ´e levantada considerando poucos pontos.
3.6.1
Superf´ıcie de erro SoftSoft
A Figura 3.6 exemplifica uma superf´ıcie de erro E||et1,t2||
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calculada com base no conhecimento do sinal de voz original e ru´ıdo adicionado. Podemos observar que o threshold SoftSoft produz um m´ınimo MSEE igual a 4.86× 10−5, indicado na figura.
Este erro ´e menor do que o valor, aproximado, 4.95× 10−5 (curva de n´ıvel m´ınimo ao
longo do eixo horizontal da figura) alcan¸cado nos pontos (t2,t1) com t1 = 0, para os
quais o threshold Soft ´e um caso particular do SoftSoft. Melhor dizendo, o threshold SoftSoft consegue produzir menor MSEE do que seria obtido com o threshold Soft.
Deve-se dizer que era esperada uma pequena redu¸c˜ao do MSEE com o threshold SoftSoft, em rela¸c˜ao ao j´a obtido com o threshold Soft, porque a maior parte da energia do sinal corresponde aos coeficientes de grande magnitude os quais, por sua vez, j´a foram introduzidos pelo limiar superior; nestas condi¸c˜oes, a redu¸c˜ao do MSEE provida pelo limiar inferior deve ser pequena.
Deve-se acrescentar, ainda, que as simula¸c˜oes deste trabalho indicaram que o threshold SoftSoft, em geral, produz menor ru´ıdo musical porque, com 0 < t1 ≤
t2 ≪ 1, os coeficientes n˜ao s˜ao completamente aniquilados. Por esta raz˜ao, mesmo
que o m´ınimo MSEE alcan¸cado com o threshold SoftSoft n˜ao seja muito menor do que aquele obtido no m´etodo covencional, o m´etodo aqui proposto ainda apresenta um ganho de qualidade para o sistema auditivo humano. Esta constata¸c˜ao sugere
o emprego de uma fun¸c˜ao perda, no lugar do MSEE, a qual descreva com maior precis˜ao a qualidade perceptual do sinal estimado. Retornaremos a esta quest˜ao no pr´oximo cap´ıtulo, no qual apresentamos uma medida de desempenho que representa melhor a qualidade do sinal estimado.
Figura 3.6: Curvas de n´ıvel da superf´ıcie de erro E||et1,t2||
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calculada com base no sinal de voz original e no ru´ıdo adicionado. Indicado com “ * ”, o ponto de m´ınimo erro: limiar superior em 0.0402 e inferior em 0.0701. (SN R = 3 dB, cf. Tab. 3.1)
A fim de analisar o comportamento do MSEE em fun¸c˜ao dos limiares, escrevemos (3.37) como E||et1,t2|| 2 = A + B + C, (3.40) sendo A = E||et2|| 2 , (3.41) B = σ2− E ||et1|| 2 (3.42)
e C =− E ||y||2− E ||yt1|| 2 + E||yt2|| 2 − E ||yt1,t2|| 2 . (3.43)
Nota-se que os termos A e B dependem da fun¸c˜ao de erro Soft, enquanto que o termo C pode ser calculado a partir da entrada e das sa´ıdas produzidas pela aplica¸c˜ao das regras Soft e SoftSoft.
Na Figura 3.7a, a curva do erro em fun¸c˜ao do limiar inferior apresenta a con- tribui¸c˜ao de cada um dos termos:
— O termo A ´e constante, pois o limiar superior est´a fixado;
— O termo C ´e uma curva que parte do zero, atinge um valor m´ınimo e termina no zero. Lembramos que o MSEE ´e uma grandeza n˜ao negativa, por isso, os valores negativos assumidos por este termo devem ser compensados pela soma das parcelas A e B;
— O termo B parte do zero com uma inclina¸c˜ao, em m´odulo, um pouco menor do que aquela do termo C, conseq¨uentemente, a soma dos termos resulta num MSEE decrescente. Quando a inclina¸c˜ao de B torna-se igual `a de C, a curva MSEE atinge o ponto de m´ınimo indicado na figura. A partir deste ponto, a soma dos termos produz um MSEE crescente.
Agora, na Figura 3.7b, a curva do erro em fun¸c˜ao do limiar superior permite constatar o seguinte:
— O termo B ´e constante, pois o limiar inferior est´a fixado;
— O termo A apresenta grande influˆencia no formato da curva MSEE;
— O termo C, inicialmente nulo para t2 = t1, decresce rapidamente e provoca um
leve aumento no valor do m´ınimo produzido por A. (Deve-se observar que o limiar superior parte de um valor igual ao limiar inferior fixado.)
Figura 3.7: a) Curva MSEE versus limiar inferior, com limiar superior fixado no valor ´otimo; b) MSEE versus limiar superior, com limiar inferior fixado no valor ´otimo). (SN R = 3 dB, cf. Tab. 3.1)
Normalmente, a superf´ıcie MSEE obtida diretamente dos sinais (sinal ruidoso de entrada, sinal original e sinal de sa´ıda) ´e calculada em poucos pontos8. Como, neste
trabalho, h´a interesse em determinar o menor valor de MSEE que pode ser alcan¸cado com a fun¸c˜ao SoftSoft, empregamos o seguinte procedimento para determinar com precis˜ao o ponto de m´ınimo:
1o) Determine valores iniciais t(0) 1 e t
(0)
2 na superf´ıcie de erro, como aquela da
Fig. 3.6, a qual possui pouca precis˜ao num´erica devido ao limitado n´umero de pontos considerados.
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Empregamos, em geral, uma grade com 10 (a 40) valores de limiar superior e 11 (a 41) valores de limiar inferior, um valor a mais pois este parte de zero. Conseq¨uentemente, a superf´ıcie MSEE possui 10× 11 = 110 (a 40 × 41 = 1640) pontos.
2o) Fixe o limiar superior t
2 = t(0)2 e procure um novo ponto de m´ınimo t (1) 1 . Por
exemplo, calcule o MSEE em fun¸c˜ao do limiar inferior, como fizemos na Fig. 3.7a para um n´umero suficientemente grande de valores de limiar inferior e encontre, na curva da figura, o novo valor de limiar inferior.
3o) Em seguida, fixe o limiar inferior t
1 = t(1)1 e busque um novo t (1)
2 . Por exemplo,
de maneira an´aloga ao passo anterior, calcule o MSEE em fun¸c˜ao do limiar superior, como na Fig. 3.7b, e encontre o novo valor de limiar superior.
4o) Da´ı, repita o processo at´e que ocorra a convergˆencia.
No exemplo exposto, obtivemos o ponto de m´ınimo apontado na Fig. 3.6 e que tamb´em foi indicado nas curvas da Fig. 3.7.
Deve-se observar que o procedimento utilizado corresponde `a solu¸c˜ao simultˆanea das equa¸c˜oes t1 = arg min t1∈[0,t2] E||et1,t2|| 2 (3.44) e t2 = arg min t2∈[0,cmax] E||et1,t2|| 2 (3.45) utilizando o m´etodo iterativo de ponto fixo descrito em [28, p´ag. 107].
O procedimento tamb´em pode ser considerado como uma seq¨uˆencia de buscas unidirecionais, utilizando sucessivamente as dire¸c˜oes correspondentes aos eixos das vari´aveis t1 e t2, nos moldes dos algoritmos de busca unidirecional apresentados em
[29, Sec. 7.4]. A despeito do procedimento utilizado apresentar baixa taxa de con- vergˆencia num´erica, n˜ao houve necessidade de se empregar m´etodos de otimiza¸c˜ao mais elaborados para acelerar as simula¸c˜oes computacionais deste trabalho.