Se considerará una única población sin demografía (no hay nacimientos ni muertes), una aproximación válida para infecciones cuyos tiempos de evolución sean mucho más pequeños que los de cambio poblacional. Además, se asumirá que el patógeno provoca síntomas durante un periodo corto (días o semanas) seguido de la inmunidad. De esta manera, la población se divide en tres grupos: los susceptibles serán aquellos que aún no han pasado la enfermedad, los infectados los portadores del patógeno y los recuperados los que hayan superado la enfermedad y queden inmunizados. Un individuo podrá pasar de un grupo a otro según el siguiente esquema:
Figura 2: Esquema de los compartimentos del modelo SIR.β yµson las tasas de infección y de recuperación respectivamente.
Un infectado se trasladará al grupo de recuperados tras haber superado el tiempo pro-medio en el que el patógeno se mantiene activo, mientras que la transición de susceptible a infectado dependerá de tres factores: de la cantidad de infectados que haya en ese mo-mento, de la interacción que puedan tener los individuos entre ellos y de la probabilidad de infección tras el contacto con un portador del patógeno.
2.1.1. Ecuaciones
Asumimos que todos los individuos interactúan igual que el resto en un escenario de población mezclada (”mean field”). Así, definimos k como la cantidad de contactos que puede tener una persona con otros individuos por unidad de tiempo,i como el número de infectados y N como el de individuos.
En un intervalo de tiempo pequeño entre t y t+δt el número de contactos con in-fectados que tendrá un individuo susceptible será kNi δt, siendo Ni la probabilidad de que un contacto esté infectado. Si definimos ccomo la probabilidad de que haya transmisión tras un contacto, entonces 1−c, será la probabilidad de que no haya infección. Así, la probabilidad de que un susceptible no se infecte tras haber tenido kNi δt contactos con infectados vendrá dada por:
1−q= (1−c)kNiδt (2.1)
De donde q es la probabilidad de que sí se infecte.
Definimosβ =−kln(1−c). Sustituyendo en (2.1) y despejando q nos queda:
q= 1−e−βNiδt (2.2)
Si ahora se desarrolla la exponencial y se coge el límite δt→0:
q ≈βdt i
N (2.3)
La expresión (2.3) representa la probabilidad per cápita de ser infectado. Por tanto, si hay s individuos susceptibles, su variación vendrá dada por:
ds ≈ −s·q→ ds
dt =−sβ i
N (2.4)
De donde β es la tasa de infección y el signo (-) nos indica que el número de susceptibles tiene que decrecer con el tiempo.
El sistema de ecuaciones diferenciales que determinará la evolución temporal de cada uno de los tres grupos, en función de sus respectivas proporciones (S = s/N, I = i/N, R =r/N), vendrá dado por:
Dondeµes la tasa de recuperación (su inverso la duración media de la infección). Nótese que S+I +R = 1.
Se trata de un sistema de ecuaciones diferenciales no lineales que resolveremos numé-ricamente.
2.1.2. Resolución numérica
El método de Runge-Kutta-Fehlberg nos permite resolver numéricamente ecuaciones diferenciales ordinarias de primer orden. Si reescribimos las ecuaciones del SIR (Ecs (2.5)-(2.7)):
f(S, I) =−βSI (2.8)
g(S, I) = βSI−µI (2.9)
p(I) =µI (2.10)
Aplicando el método iterativo de quinto orden, la proporción de susceptibles, infectados y recuperados para cada paso de tiempo vendrá dada por:
Sn+1 =Sn+h
rk4(a, b, c, d, e) = a+439h
Donde las ecuaciones se han obtenido a partir de [6], capítulo 5.
Mediante las condiciones iniciales I0, R0 y S0 = 1−I0 −R0 se podrá conseguir la evolución temporal de S, I y R.
Es importante destacar que no hay ningún punto en el queI = 0, debido que la solución es asintótica (el modelo está pensado para poblaciones infinitas). Por tanto, detendremos la iteración en el momento en el que la proporción de infectados sea considerablemente pequeña (en I = 10−5, por ejemplo) (Véase Fig. 3.2).
2.1.3. Posibles estados
Reescribimos la ecuación (2.6) para ver el efecto de las condiciones iniciales sobre la evolución de la curva de infectados:
dI
dt =Iβ(S− µ
β) (2.20)
De esta manera, el sistema puede comenzar en tres regímenes distintos:
SiS0 > µ/β, entoncesdI/dt >0, que corresponde a la fase de expansión del régimen supercrítico, donde I(t) crece exponencialmente hasta que se alcanza la inmunidad de grupo. Se llega a este punto cuando la proporción de susceptibles ha disminuido lo suficiente como para que S(t) < µ/β y, en consecuencia, dI/dt < 0, pasando así a la fase de decrecimiento donde la infección acaba desapareciendo. Por tanto, la inmunidad de grupo se alcanzará cuando S =µ/β.
El estado subcrítico puede aparecer desde un inicio si S0 < µ/β. Como dI/dt <0, no se alcanzará ningún máximo y el patógeno desaparecerá al cabo de poco tiempo.
Finalmente, siS0 =µ/β,I(t)=constante, se tiene el régimen crítico, donde la curva de infectados se mantiene horizontal.
En resumen, la proporción de susceptibles iniciales debe superar el umbral µ/β para que el patógeno pueda propagarse. Este valor representa la tasa de eliminación relativa, mientras que su inverso se conoce como el número reproductivo básico R0 y representa el número promedio de casos secundarios que surgen a partir de un caso primario. Como inicialmente S0 ≈1, el valor de R0 también nos indica el régimen en el que se encuentra la epidemia: R0 > 1 (dI/dt > 0) supercrítico, R0 = 1 (dI/dt = 0) crítico y R0 < 1 (dI/dt <0) subcrítico (Véase Ec. (2.20)).
3.1: Inicio de la curva de infectados para distin-tos valores deR0y un valor fijo deµ= 0,16.
3.2: Evolución completa de los tres grupos del SIR. Se ha utilizado unaR0= 2,5 yµ= 0,16.
Figura 3: Ejemplos de las solución determinista en diferentes regímenes, para una pobla-ción de N = 1000 individuos con i0 = 10 infectados iniciales.
En la Figura 3.1 se enseña cómo aumenta o disminuye la proporción de infectados dependiendo del valor de R0. En los casos supercríticos, cuanto mayor es R0 más pro-nunciado es el crecimiento y antes se llega al pico de infectados, mientras que en los subcríticos, cuanto más pequeño es R0 más rápido decae y muere la infección.
Por otra parte, la Figura 3.2 muestra la evolución completa de un caso supercrítico.
Nótese que el máximo de infectados sucede cuando S = 0,4 que, en efecto, se trata del punto en el que se alcanza la inmunidad de grupo, donde S =µ/β = 1/R0 = 0,4.
2.1.4. Confinamiento
Las medidas de contención , como la vacunación o el confinamiento, actúan variando el número de individuos en cada uno de los grupos que hemos definido en nuestro modelo. La primera traslada a individuos susceptibles directamente al grupo de recuperados, mientras que la segunda disminuye el número de personas que participan en el sistema. Este trabajo se va a centrar en el segundo caso. Modificaremos el modelo SIR con el fin de intentar aproximarnos al efecto de un confinamiento parcial sobre la evolución de la epidemia.
Así, definimos Xs ∈ (0,1) como la fracción de la población que ha sido confinada y Pth (Prevalence threshold [4]) como el umbral de la curva de infectados a partir del cual se aplica esta medida.
El confinamiento dificulta al patógeno a propagarse debido a que parte de los indivi-duos susceptibles están aislados. Si planteamos las ecuaciones del SIR teniendo en cuenta esta situación, quedan:
El valor del número reproductivo básico efectivo será entonces:
R0ef = β(1−Xs)
µ =R0(1−Xs) (2.25)
Por tanto, el confinamiento aplicado en un régimen supercrítico puede tener varios efectos: si es lo suficientemente fuerte como para que R0ef < 1 , entonces dI/dt < 0 (Ec.
(2.24)), por lo que se conseguirá pasar a un régimen subcrítico y que la curva de infectados entre en fase descendente. Si, por el contrario,Ref0 >1, la inmunidad de grupo se alcanzará antes que en el caso en el que no se hubieran impuesto medidas de contención, ya que Ref0 < R0 y, en consecuencia 1/Ref0 > 1/R0. Por último, se puede dar la situación en la que Ref0 = 1, que daría lugar al régimen crítico. A partir de la expresión (2.25) se puede estimar el valor de Xs que haría que el sistema entrara en este régimen:
Xscrit= 1− µ
β = 1− 1
R0 (2.26)
En la práctica, se integrarán las ecuaciones imponiendo un caso supercrítico dejando evolucionar la solución hasta que la fracción de infectados alcance el umbral Pth, a partir del cual se impondrá el confinamiento y se detendrá la iteración de la misma manera que en el caso sin confinamiento (cuando I <10−5) (véase Figura 4).
Figura 4: Evolución de la curva aplicando diferentes confinamientos a partir de un mismo umbral Pth= 0,1. Escenario con N = 1000,i0 = 10, µ= 0,16 yβ = 2µ.