A formulação analítica para a carga crítica em barras curvas, a partir da equação para as deflexões de vigas retas deduzida inicialmente por Leonhard Euler, foi desenvol- vida, de maneira engenhosa, por Aranha et al. (2001).
Na sequência, os principais resultados daquele trabalho serão apresentados rapida- mente e sem detalhes, dado que o objetivo do presente tópico é propiciar ao leitor novos indícios físicos, a partir da continuação do desenvolvimento matemático promo- vido em (Aranha et al., 2001).
Em (Aranha et al., 2001), os argumentos iniciais para a determinação da carga crítica de flambagem em risers em catenária são simples e diretos: a partir da equação da viga reta (Equação A.1) e sua respectiva carga crítica (Equação A.13), o objetivo era determinar uma solução analítica para a carga crítica em vigas curvas. O uso desse elemento estruturante é capaz de incorporar os efeitos da rigidez flexional no TDP; caso contrário, o uso da teoria de cabos, por exemplo, indicaria que a carga crítica deveria ser nula, dada a impossibilidade de cabos suportarem qualquer nível de compressão axial.
Ressalte-se que toda a formulação desenvolvida e apresentada em (Aranha et al., 2001) pressupõe que o riser pode ser modelado por uma viga biapoiada. Quanto à compressão dinâmica, foi feita uma hipótese ad hoc, fisicamente coerente: no caso de vigas curvas, a onda de flexão deve assumir, naturalmente, um formato compatível com o número de onda k, dado pela relação de dispersão:
k2 =
s
m + ma
EI · ω (3.60)
Essa relação de dispersão foi deduzida e discutida, implicitamente, a partir da Equa- ção A.20, para a velocidade das ondas em vigas-coluna, associadas à rigidez flexional. A partir daí, uma sucessão de formulações é apresentada e desenvolvida, até culminar com a seguinte equação transcendental:
tan(α) = α +α
3
3 −
α5
γ2(χ) (3.61)
Nessa formulação, o parâmetro γ(χ) é adimensional e dependente linearmente da curvatura χ = χ0 = Tq0 no TDP, de sorte que:
γ(χ) = π 2 2 · χ0· s EA k4· EI = π 2 2 · χ0· s EA m + ma · 1 ω (3.62)
Essa equação é bastante simples e sua importância reside no fato de que, como demonstrado em (Aranha et al., 2001), a carga crítica Pcr para vigas curvas, a partir
das Equações A.15 e 3.60, é dada por: Pcr(χ) = βcr2 (χ) ·
q
(m + ma) · EI · ω = βcr2(χ) · PE (3.63)
Com relação à Equação 3.61, Aranha et al. (2001) afirma, em tradução livre, que: “Observando que tan(α) = α + α3
3 + 2α5
15, para α ≪ 1, é fácil checar que
tan(α) > α + α33 − γ2α(χ)5 quando 0 ≤ α < π2 (0 ≤ β < 1); assim, a menor
raiz da equação transcendental está no intervalo π
2 ≤ α < 3π
2 (1 ≤ β < 3).
No limite em que a curvatura χ tende a zero (e, portanto, γ(χ) → 0, o que representa uma viga reta), o lado direito da equação transcendental tende a −∞, o que ocorre para βcr(0) = 1 (ou α = π2); nesse limite, a carga crítica de
Euler é recuperada prontamente. A raiz α da equação transcendental cresce monotonicamente com χ, é igual a π (βcr = 2) quando γπ = 1, 517 e tende ao
valor 3π
2 (1 − 0, 0055) no limite em que χ → ∞ (βcr(∞) = 2, 984).”
Decerto, essas assertivas são corretas e consonantes com experimentos e simulações constantes em (Aranha et al., 2001). Entretanto, pretende-se conferir mais formalidade a essas observações, com o uso de Cálculo Diferencial, principalmente. Ressalte-se, entretanto, que essa opção não pode ser confundida como uma maneira alternativa de se chegar aos mesmos resultados, o que será adiante, no próximo tópico.
Postas as considerações a respeito da Equação 3.61, é imediata a verificação de que o fator βcr(χ) amplifica o valor da carga crítica proposta por Euler, dado que fisica-
mente o menor valor desse parâmetro é a unidade. Essa asserção será explorada na sequência do texto.
Na Equação 3.63, por hipótese, α = π
2·βcr(χ). Assim, a determinação da menor raiz da
Equação 3.61 é condição necessária e suficiente para determinação da carga crítica de flambagem de vigas curvas, a partir da substituição de β2
cr(χ) na Equação 3.63.
Postas estas considerações, a determinação analítica da carga de compressão Pcr, a
partir dessa formulação, passa pela resolução da Equação (transcendental) 3.61. Cabe salientar que, de acordo com Aranha et al. (2001), o objetivo é obter a menor raiz não nula dessa equação19, referente ao primeiro modo de flexão da viga.
Equações transcendentais não possuem solução analítica fechada, de modo que, em geral, empregam-se métodos gráficos e/ou numéricos para sua resolução.
Assim, dada uma equação transcendental f(x) = 0, deseja-se obter numericamente, com precisão δ pré-determinada, os valores xi para os quais f(xi) = ±δ, com δ ≪ 1.
O primeiro passo para o cálculo dessas raízes é a determinação de um intervalo [a, b], que contenha uma única raiz. Posteriormente, é possível estreitar esse intervalo de modo a facilitar a convergência dos métodos numéricos a serem empregados (em ge- ral, o Método de Newton-Raphson é eficiente). A principal dificuldade para a utilização desses métodos é o estabelecimento do intervalo apropriado que: (i) contenha uma única raiz e (ii) garanta a convergência numérica da solução.
É mister destacar que o objetivo da presente tese não está associado, diretamente, à determinação da carga crítica de flambagem, mas do comprimento das ondas de flexão geradas quando da ocorrência de compressão dinâmica. Assim, recupere-se de (Aranha et al., 2001) a relação entre β2
cr e o número de onda kcr associado (vide
Equação 3.60):
k2cr = βcr2 ·
s
m + ma
EI · ω (3.64)
Dessa feita, a resolução do problema passa pela determinação do número de onda k, considerado uma variável de suma importância para o comportamento das ondas de flexão geradas a partir da compressão dinâmica e, por conseguinte, para validar as hipóteses inerentes à presente tese.
Aspectos particulares da carga crítica de vigas curvas formulada por Aranha et al. (2001)
No trecho de (Aranha et al., 2001) cidado anteriormente, ipsis litteris, é utilizada uma aproximação de ordem 5 para a função tangente, utilizando Séries de Taylor, sob a argumentação de que isso é possível para α ≪ 1 (ou ainda, no entorno da origem). Os chamados polinômios de Taylor permite que essa aproximação utilizada ao redor de qualquer ponto do domínio válido.
Formalmente, para o caso em questão, essa aproximação é tanto melhor, quanto mais próximo α for de zero. Entretanto, o resultado é estendido para todo o intervalo 0 ≤
α < π2, sem maiores considerações. A ausência de um estudo mais detalhado da
equação transcendental, deixa a afirmação carente de fundamentação matemática. A seguir, é feita a asserção categórica de que a menor raiz da Equação 3.61 encontra- se no intervalo correspondente ao segundo e terceiro quadrantes do círculo trigono- métrico. Novamente, a proposição é correta, mas nenhuma argumentação formal foi feita em favor do que é afirmado.
Quanto ao comportamento da raiz α nesse intervalo, cabe uma checagem das asser- ções feitas, sem adiantar nenhum resultado.
Para formalizar todas essas questões, seja F (α) definida por:
F (α) = tan(α) − α − α
3
3 +
α5
Ora, uma raiz da Equação 3.61 é, obrigatoriamente, raiz da Equação 3.65. O pri- meiro passo, então, é avaliar o comportamento dessa última função, buscando isolar adequadamento um intervalo que contenha, pelo menos, uma raiz de F (α).
Para tanto, note-se que, embora não seja útil para o problema proposto, por se tratar da solução trivial, α = 0 é uma raiz da Equação 3.65.
Segundo o Teorema de Cauchy-Bolzano, uma função f, contínua em um intervalo fechado [a, b], possui pelo menos uma raiz se f(a) · f(b) < 0, em [a, b].
Em outras palavras, se uma função contínua troca de sinal em um dado intervalo fechado, certamente deve apresentar valor nulo, nesse intervalo, ao menos uma vez. Com exceção dos pontos em que a função tangente não é definida (α = π
2 ± n · π, com
n inteiro), F (α) é contínua.
Ressalte-se que o caso em que γ(χ) → 0 representa uma viga reta (Equação 3.62) e, portanto, não interessa aos objetivos da presente discussão. Além disso, a própria Equação 3.61 exige que γ(χ) 6= 0.
Considerando o intervaloh−π 2 + δ,
π 2 − δ
i
, com δ ≪ 1, note-se que, como γ2(χ) > 0:
• F −π 2 + δ = tan(−π 2 + δ) − (− π 2 + δ) − (−π2+δ)3 3 + (−π2+δ)5 γ2(χ) ; • limδ→0 h F −π2 + δi= −∞; • F π 2 − δ = tan(π2 − δ) − (π2 − δ) − ( π 2−δ) 3 3 + (π 2−δ) 5 γ2(χ) ; • limδ→0 h F π 2 − δ i = +∞
Conforme mencionado anteriormente, α = 0 é raiz. O Teorema de Cauchy-Bolzano, todavia, não garante a unicidade dessa raiz no intervaloh−π
2 + δ, π 2 − δ i , para valores de δ arbitrariamente diminutos.
É necessário, então, conhecer melhor o comportamento de F (α). Sejam a primeira e a segunda derivadas de F (α) dadas, respectivamente, pelas Equações 3.66 e 3.67.
F′(α) = tan2(α) − α2+ 5 · α 4 γ2(χ) (3.66) F′′(α) = 2 · tan(α) ·htan2(α) + 1i− 2 · α + 20 · α 3 γ2(χ) (3.67)
A partir da Equação 3.66, é fácil verificar que F′(0) = 0, de sorte que, além de raiz,
α = 0 também é um ponto crítico de F (α). Por outro lado, pela Equação 3.67, constata- se que F′′(0) = 0, de maneira que nada se pode afirmar, a priori, sobre o tipo de ponto
Entretanto, um importante teorema do Cálculo Diferencial afirma que: se n é impar e f(n)(x∗) 6= 0, com x∗representando um ponto crítico de f(x), e as sucessivas derivadas
f(2)(x∗) = f(3)(x∗) = ... = f(n−1)(x∗) = 0, então x = x∗ é um ponto de inflexão.
Observe-se que F(2)(0) = F(3)(0) = F(4)(0) = 0, mas F(5)(0) = 16 + 120
γ2(χ) 6= 0 e,
portanto, α = 0 é ponto de inflexão.
Considere-se, por hipótese, que α pertença ao intervalo [0,π
2]. Por construção geomé-
trica, tan(α) > α. Rearranjando as Equações 3.66 e 3.67, obtêm-se:
F′(α) = [tan(α) − α] · [tan(α) + α] + 5 · α
4
γ2(χ) (3.68)
F′′(α) = 2 · tan3(α) + 2 · [tan(α) − α] + 20 · α3
γ2(χ) (3.69)
Como resultado direto, as Equações 3.68 e 3.69, mostram que, para o intervalo con- siderado, F′(α) > 0 e F′′(α) > 0, de maneira que a função F (α) é crescente em todo
o intervalo, possuindo concavidade voltada para cima.
Isso prova, de maneira irrefutável, a ausência de raízes em0,π2i. A busca por raízes de interesse passa a recair sobre o intervalohπ
2, 3π
2
i
, cujas extremidades são descon- tinuidades da função tangente.
A existência de raízes no intervalo considerado depende do valor de γ2(χ).
Assim, por exemplo, para γ = 1, F (α ≈ 1, 672) = 0; para γ = 4, F (α ≈ 2, 775) = 0; para γ = 5, F (α ≈ 3, 257) = 0; e para γ = 30, F (α ≈ 4, 685) = 0.
Para os valores de γ utilizados, as raízes de F (α) pertencem ao intervalo em questão. Obviamente, para valores em [π
2, 3π
2 ] que não estejam nas proximidades de α = π, a
priori nada pode ser concluído algebricamente com relação às raízes deF (α).
A resolução da equação transcendental passa a depender de métodos numéricos. Como citado anteriormente, existem diversos métodos para calcular a raiz desejada, dada uma precisão pré-determinada.
Entretanto, optar-se-á pelo estabelecimento de um método alternativo que não de- penda da solução da numérica da Equação 3.61, promovendo uma nova forma de solucionar o problema e que se configura como um avanço com relação à formulação proposta por Aranha et al. (2001), no que tange à facilidade de resolução da mesma. A determinação da carga crítica tornar-se-á meramente algébrica. No contexto da presente tese, embora meritória, essa contribuição é marginal.
A fim de sustentar essa escolha, avalie-se geometricamente o comportamento da equação transcendental ou, alternativamente, de F (α).
Inicialmente, ilustrem-se as Figuras 3.6 e 3.7, equivalentes, embora apresentadas de maneiras distintas. 0 1 2 3 4 5 6 7 8 −100 −80 −60 −40 −20 0 20 40 60 80 100 X: 2.775 Y: −0.3842 α Cruzamento de f 1 = tan(α) com f2 = α + α 3/3 − α5/γ2 (χ) X: 4.685 Y: 36.45 X: 3.257 Y: 0.1157 X: 1.672 Y: −9.838 γ (χ) = 1 γ (χ) = 2 γ (χ) = 3 γ (χ) = 4 γ (χ) = 5 γ (χ) = 6 γ (χ) = 7 γ (χ) = 8 γ (χ) = 9 γ (χ) = 10 γ (χ) = 15 γ (χ) = 20 γ (χ) = 30 γ (χ) = 50 γ (χ) = 100 f 1 (α) = tan(α)
Figura 3.6: Resolução gráfica da equação transcendental.
0 1 2 3 4 5 6 7 8 −100 −80 −60 −40 −20 0 20 40 60 80 100 X: 2.775 Y: 0 α F( α ) X: 4.685 Y: 0 X: 3.257 Y: 0 X: 1.672 Y: 0 γ (χ) = 1 γ (χ) = 2 γ (χ) = 3 γ (χ) = 4 γ (χ) = 5 γ (χ) = 6 γ (χ) = 7 γ (χ) = 8 γ (χ) = 9 γ (χ) = 10 γ (χ) = 15 γ (χ) = 20 γ (χ) = 30 γ (χ) = 50 γ (χ) = 100
Figura 3.7: Representação gráfica de F (α) = tan(α) − α −α3
3 +
α5 γ2(χ).
A Figura 3.6 representa as intersecções da função f1 = tan(α) (curva contínua em
preto na figura) com f2 = α+α
3
3 − α5
γ2(χ), obtida para diversos valores de γ(χ) arbitrários,
entre γ(χ) = 1 e γ(χ) = 100. A utilização desse intervalo ficará clara na sequência. Em ambas as figuras, os pontilhados em preto representam os extremos do intervalo.
Algumas observações interessantes podem ser feitas a partir dessas Figuras:
• As funções f2 e F (α) são contínuas no intervalo em análise, como argumentado
anteriormente;
• Os pares ordenados destacados nas caixas de texto correspondem aos citados citados anteriormente no texto;
• Em ambas as figuras, como era de se esperar, os resultados se equivalem a despeito do seu comportamento geral;
• Nesse intervalo, o número de raízes é infinito; entretanto, cada valor de γ(χ) implica em uma única raiz.
Cumpre destacar que os gráficos ilustrados nas Figuras 3.6 a 3.7 mostram o comporta- mento da equação transcendental para alguns valores de γ(χ) ≥ 1, mas as tendências apresentadas apontam para a existência de uma única raiz para a equação, para um dado valor fixo de γ(χ). Para o intervalo 0 < γ(χ) ≤ 1, considere-se a Figura 3.8.
0 1 2 3 4 −100 −80 −60 −40 −20 0 20 40 60 80 100 β F( α ) γ (χ) = 0.01 γ (χ) = 0.1 γ (χ) = 0.2 γ (χ) = 0.3 γ (χ) = 0.4 γ (χ) = 0.5 γ (χ) = 0.6 γ (χ) = 0.7 γ (χ) = 0.8 γ (χ) = 0.9 γ (χ) = 1 1 1.02 1.04 1.06 1.08 1.1 −100 −80 −60 −40 −20 0 20 40 60 80 100 β F( α )
Figura 3.8: Representação gráfica de F (α) = tan(α) − α −α3
3 + α5 γ2(χ), para 0, 01 < γ(χ) ≤ 1. À esquerda, a representação de F (α), π 2 < α < 3π
2. À direita, o intervalo restrito que encerra as raízes.
O comportamento de F (α) é visualmente o mesmo que para a faixa de γ(χ) avaliada anteriormente. Note-se que, nessa figura, F (α) é dada em função de β = 2α
π . Como
consequência, esse intervalo parece apontar para situações em que as cargas críticas previstas são muito próximas das previstas por Euler para vigas retas.
Ilustre-se na Figura 3.9 a correspondente das Figuras 3.7 e 3.8, na qual F (α) é apre- sentada para uma quantidade muito maior, porém ainda finita, de valores de γ(χ), aumentando a discretização utilizada anteriormente, no intervalo 0 < γ(χ) ≤ 50.
Figura 3.9: Representação gráfica de F (α) = tan(α) − α −α3
3 +
α5
γ2(χ), para 0 < γ(χ) ≤ 50.
A argumentação apresentada em (Aranha et al., 2001) – de que seria necessária a obtenção da menor das raízes da Equação 3.61 para determinação da carga crítica de flambagem – parece se resumir a encontrar a única raiz no intervalo [π
2, 3π
2 ], para
determinado valor de γ(χ), dado pela Equação 3.62.
A fim de corroborar tal afirmação, foi feito um estudo mais detalhado do comporta- mento da Equação 3.61 que permite checar essa assertiva, bem como as demais feitas por Aranha et al. (2001) e citadas anteriormente nesta seção.
A equação foi avaliada graficamente para a faixa 0 < γ(χ) ≤ 50, de 0,1 em 0,1 (gráfico da Figura 3.9). Alternativamente, a Equação (transcendental) 3.61 foi resolvida nume- ricamente, para distintos valores iniciais em [π
2, 3π
2 ], utilizando o Método de Newton-
Raphson, variando γ(χ) no mesmo intervalo.
Para determinados valores iniciais, o método não convergiu para nenhuma solução. Para outros, o método confluiu para soluções que não convinham física e matemati- camente, recuperadas as considerações tecidas anteriormente para a Equação 3.61. Os demais valores iniciais utilizados convergiram para soluções viáveis (Figura 3.10). Cada ponto da Figura 3.10 representa uma solução βcr para a equação transcenden-
tal, a partir de diferentes estimativas iniciais x0 para α, necessárias para as iterações
Figura 3.10: Valores de βcrem função das estimativas iniciais x0para a equação transcendental.
Note-se que não foi feita nenhuma consideração preliminar restritiva quanto aos pos- síveis valores de βcr. A análise da Figura 3.10, permite concluir que é possível de-
terminar diversas soluções distintas a partir de um mesmo valor inicial x0. Entretanto,
para um dado valor de γ(χ) a solução é sempre a mesma, considerando o intervalo fixado anteriormente e a convergência do método, independentemente do valor inicial. A partir da Equação 3.61, é possível isolar o parâmetro γ(χ), representando-o como uma função de α:
γ2(χ) = 3α
5
3α + α3− 3 tan(α) (3.70)
A existência de γ(χ) na Equação 3.70 exige que 3α + α3− 3 · tan(α) > 0 (vide gráfico
da Figura 3.11). Por essa figura, nota-se que o valor limite para α é igual a 4,68720.
Essa aproximação, bem como a utilizada em (Aranha et al., 2001), são válidas para efeitos de cálculo; apesar de, a rigor, ambos os valores desrespeitarem os limites da Equação 3.70. Assim, quando necessário, será utilizado o valor máximo βcr = 2, 98358,
por ser uma aproximação com baixo erro relativo e que recai no domínio de γ2(χ).
20Para esse valor de α, β
0 1 2 3 4 5 6 −200 −150 −100 −50 0 50 100 150 200 250 300 α D( α ) = 3 α + α 3 − 3tan( α ) O valor α = 4,687 corresponde a um βcr = 2,9836
Figura 3.11: Comportamento do denominador de γ2(χ), para π
2 < α < 3π 2 . 0 1 2 3 4 5 6 1 1.2 1.4 1.6 1.8 2 2.2 2.4 2.6 2.8 3 Estimativa inicial x 0 β cr
Como consequência direta dessa avaliação, fica claro que o parâmetro β(χ) só é ma- tematicamente definido no intervalo 1 < βcr(χ) . 2, 9835821. Retome-se a Figura 3.10,
considerando apenas o intervalo dos possíveis valores que βcr pode assumir, repre-
sentado pela Figura 3.12, nas quais eventuais padrões tornam-se mais claros.
Nota: por concisão, o presente texto utilizará, por vezes, a notação βcr, ao invés da sua
forma mais precisa βcr[χ(s)]. Entretanto, deve-se ter em mente que, rigorosamente, o
valor de βcr depende da curvatura χ(s). A mesma observação é válida para Γ[χ(s)].
As conclusões feitas anteriormente, com relação à unicidade da raiz da equação trans- cendental para um dado valor de γ(χ), parecem evidentes. A fim de avaliar essa pro- posição, defina-se Γ(χ), pela Equação 3.72.
Γ(χ) = χ0 ω · s EA m + ma (3.71)
Ou seja, pela Equação 3.62:
γ(χ) = π 2 2 · Γ(χ) = π 2 2 · χ0 ω · s EA m + ma (3.72)
A razão entre os adimensionais γ(χ) e Γ(χ) é meramente uma constante. Entretanto, entender a diferença entre essas relações é extremamente importante.
A vantagem em utilizar Γ(χ) reside no fato de que esse adimensional é composto ex- clusivamente por variáveis relacionadas ao problema da compressão dinâmica (pro- priedades físico-geométricas e condições de lançamento e excitação da linha).
O uso da constante (π
2)2 na definição de γ(χ) não é arbitrária: ela encerra informações
relativas às condições de contorno, confgurando-se como um artifício matemático ex- tremamente perspicaz, a fim de chegar à Equação (transcendental) 3.61 na forma como ela se apresenta.
Por outro lado, um outro aspecto é digno de nota e de grande interesse prático. Todas as considerações analíticas feitas até aqui, com respeito à formulação analítica da carga crítica em vigas curvas, levam a uma conclusão inexorável: a relação entre β2
cre
Γ(χ) é bijetora no intervalo correspondente ao domínio de validade física do problema, conforme pode ser visualizado na Figura 3.13.
21A situação em que β
0 5 10 15 20 25 30 35 40 1 2 3 4 5 6 7 8 9 Γ(χ) β cr 2 ( χ )
Figura 3.13: Relação gráfica entre β2
cre Γ(χ), 1 ≤ βcr≤ 2, 98358.
Aproximação algébrica para o cálculo da carga crítica de vigas curvas biapoiadas
O gráfico ilustrado na Figura 3.13 representa a função que associa β2
cr e Γ(χ), a qual
é bijetora e, portanto, inversível. Essa função foi obtida diretamente das definições dadas nas Equações 3.70 e 3.71.
Para tanto, os possíveis valores de α(χ) foram utilizados para determinar o intervalo dos γ(χ) associados. A seguir, foram determinados os respectivos Γ(χ) com o uso da Equação 3.70. Ora, cada α(χ) está associado a um único β(χ).
Tabulados os valores de Γ(χ) e β(χ) foi possível a confecção do gráfico da Figura 3.13, graças ao fato da função γ(χ) = γ[α(χ)] ser bijetora no intervalo considerado.
Assim, a Equação 3.63 pode ser utilizada em conjunto com o gráfico da Figura 3.13: dados os parâmetros necessários para o cálculo de Γ(χ)22, determina-se β
cr e, por-
tanto, a carga crítica de compressão dinâmica do riser. Embora válido, o uso da relação gráfica entre β2
cr e Γ(χ) para todo o domínio de vali-
dade de βcr (Figura 3.13), não é interessante do ponto de vista prático. A utilização do
gráfico ilustrado eliminaria a característica original do trabalho de Aranha et al. (2001), que culminou com uma formulação analítica para a carga crítica.
O objetivo, neste ponto, é a obtenção de uma expressão analítica simples para a carga crítica de flambagem de vigas curvas, sob as mesmas hipóteses, eliminando a necessidade da determinação das raízes de uma equação transcendental.
22Cumpre recuperar a informação de que o adimensional Γ(χ) é determinado a partir das propriedades físico-geométricas da
Dessa forma, foram avaliadas funções analíticas algébricas que pudessem aproximar adequadamente a curva da referida figura, sem que essa aproximação desrespeitasse as principais características físicas do modelo, quais sejam: o valor mínimo unitário de βcr, o formato da curva (inclinações, curvaturas e inflexões) e a estabilização de βcr
no seu valor máximo teórico a partir de determinado valor de Γ(χ).
Para tanto, foi utilizado um programa comercial denominado LABFit (2011)23.
0 5 10 15 20 25 30 35 1 2 3 4 5 6 7 8 9 Γ(χ) β cr 2 ( χ ) Solução exata Função de Richards
Figura 3.14: Aproximação por função de Richards para β2
cr= f [Γ (χ)].
Esse programa sugeriu que a melhor aproximação para a relação desejada é repre- sentada por uma função de Richards, de sorte que:
f [Γ(χ)] = 1
{A + B · exp [C · Γ(χ)]}D ≈ β
2
cr (3.73)
23LAB Fit é um software desenvolvido para Windows para o tratamento e análise de dados experimentais. Seu uso acadêmico é
prmitido, desde que seja feita a seguinte citação, a pedido de seu autor: “Com o LAB Fit existe a possibilidade de: tratar dados si- milares; tratar dados não-similares; determinar erro propagados; plotar gráficos 2D e 3D; executar cálculos (sistema de equações, as raízes da função, equações diferenciais ordinárias etc); extrair dados (x, y) de um gráfico 2D (digitalização); ajuste de curva (regressão não-linear - método dos mínimos quadrados, o algoritmo de Levenberg-Marquardt). o programa possui quase 500 fun- ções na biblioteca, com uma e duas variáveis independentes, funções finder, opção que permite ao usuário escrever sua própria função com até 150 caracteres, 6 independente variáveis e 10 parâmetros”. Disponível em zeus.df.ufcg.edu.br/labfit/index_p.htm, acessado em 28/11/2014.
Especificamente no caso da referida aproximação, as constantes A, B, C e D as- sumiram os seguintes valores, respectivamente: 2,2200 · 10−4; 2,2410; -3,1780; e
0,260224. Consequentemente:
βcr2(χ) ≈ 1
{2, 2200 · 10−4+ 2, 2410 · exp [−3, 1780 · Γ(χ)]}0,2602 (3.74)
A Figura 3.15 ilustra as diferenças relativas entre a curva original (Figura 3.13) e a utilizada para sua aproximação algébrica por uma função de Richards (Figura 3.14).
0 5 10 15 20 25 30 35 40 45 −20 −15 −10 −5 0 5 Γ(χ) Diferença Percentual [%]
Figura 3.15: Diferenças relativas entre os valores exato e aproximado de β2
cr.
A Equação 3.74, em conjunto com a Figura 3.14, mostra que, a despeito da boa ade- rência da função de Richards, com os coeficientes determinados, para aproximar alge- bricamente o valor de β2
cr, cabem algumas notas, relativas às principais características
de βcr que deveriam ser respeitadas pela aproximação utilizada:
• O valor inicial β2
cr = 1 não é recuperado25. Para fins práticos, nesse caso, basta
que, se β2
cr < 1, assuma-se prontamente a unidade como o valor correto;
• A menos do ponto inicial (e seu entorno Γ(χ) . 1), a maior diferença apresentada entre a curva original e a aproximada é menor que 3,41%;
• O comportamento assintótico para os maiores valores de Γ(χ) é recuperado com bastante acurácia (diferenças relativas menores que 0,44%).
24A aproximação pela função de Richards com os parâmetros explicitados foi avaliada, posteriormente, com o uso da ferramenta
cftool do Matlab, a partir da qual foram confirmados os valores de A, B, C e D – dentro de um intervalo de confiança de 95%. A aproximação apresentou um Coeficiente de Correlação de Pearson R2≈ 0, 9997.
25Cumpre lembrar que Γ(χ) não pode assumir valor nulo – o menor valor de Γ(χ) avaliado numericamente é aproximadamente
igual a 0,0157. Para esse valor, β2
Postas essas considerações e assumindo que a aproximação determinada é ade- quada, é possível determinar a expressão algébrica que permite o cálculo da carga crítica de flambagem de vigas curvas biapoiadas.
Pcr(χ) ≈
q
(m + ma) · EI · ω
{2, 2200 · 10−4+ 2, 2410 · exp [−3, 1780 · Γ(χ)]}0,2602 (3.75)
Obviamente, a utilização da Equação 3.75 depende do valor de Γ(χ) e, consequente- mente, do erro associado em detrimento da acurácia desejada.
Como conclusão, a determinação de β2
cr para determinação da carga crítica de flamba-
gem de vigas curvas passa a não depender da resolução da Equação transcendental