Feitos os embasamentos teóricos acerca do contexto histórico e da análise dos PCNs afrente do cálculo algébrico, temos que compreender ainda algumas demonstrações sobre este tópico tão importante na Matemática. Com isso, aprendemos desde já a operar com polinômios, fazer a sua fatoração e determinar o seu mínimo múltiplo comum (m.m.c.), como também saber manusear com as expressões algébricas em geral.
Sobre tais informações, é possível que façamos algumas demonstrações curiosas a partir de determinados enunciados que se baseiam no conhecimento algébrico numa melhor organização das ideias. E mesmo que existam dificuldades e erros comuns nesta caminhada, precisa-se ter o comprometimento de buscar sempre melhorias para o processo de ensino e aprendizagem, fortalecendo então a constante prática do conhecimento.
De acordo com D. Moreira (2009), vejamos a adaptação de alguns exercícios demonstrativos sobre o cálculo algébrico:
Demonstração 1: A soma de dois números consecutivos será sempre a diferença de seus quadrados.
Solução:
Chamemos x como sendo um número inteiro qualquer. Temos que o seu sucessor será representado pelo polinômio x + 1. Fazendo a soma entre ambos os polinômios dados, obteremos a expressão algébrica a seguir:
Para a diferença dos quadrados dos dois números consecutivos, vejamos a representação da expressão algébrica:
(x + 1)2− x2 = (x2+ 2x + 1) − x2 = x2+ 2x + 1 − x2 = 2x + 1
Logo, notamos que as duas expressões algébricas obtidas são iguais, se bem que podemos comparar assim:
x + (x + 1) = (x + 1)2− x2
Portanto, temos o que queríamos demonstrar.
Demonstração 2: A soma de cinco números inteiros consecutivos será sempre múltiplo de 5.
Solução:
Consideraremos cinco números inteiros consecutivos, ao qual poderemos representar pelos seguintes polinômios:
x − 2; x − 1; x; x + 1; x + 2
Sabemos que para um número ser múltiplo de cinco ele precisa ser escrito da forma: 5x, onde x indica um número inteiro qualquer, tanto é que todo número multiplicado por 5seráautomaticamente um múltiplo de 5.
Agora, façamos a soma entre os números consecutivos em destaque: (x − 2) + (x − 1) + (x) + (x + 1) + (x + 2) =
= x + x + x + x + x − 2 − 1 + 1 + 2 = 5x.
Por conseguinte, de fato, temos que é válido dizer que a soma de cinco números inteiros consecutivos tem como resultado um número múltiplo de 5.
Portanto, temos o que queríamos demonstrar.
Demonstração 3: A soma de dois números inteiros ímpares será sempre um número par.
Vale salientar que um número par é representado pela forma: 2x, onde x indica um número inteiro qualquer. Assim sendo, um número ímpar, por sua vez, é denotado por 2x + 1.
Daí, se somarmos dois números ímpares seria:
(2x + 1) + (2x + 1) = 2. (2x + 1)
Temos que a expressão algébrica (2x + 1) terá um valor numérico igual a um número inteiro qualquer, logo quando é multiplicado por 2(2x + 1), o resultado será um número par.
Portanto, temos o que queríamos demonstrar.
Agora, veremos uma demonstração bem interessante sobre a área do retângulo que relaciona o legado que os gregos deixaram para o cálculo algébrico, conforme analisamos no início de nossa pesquisa. Vale salientar que alguns produtos aparecem com bastante frequência quando o assunto é a Álgebra, assim temos que os mesmos possuem uma enorme importância, sendo que iremos dar ênfase ao quadrado da soma de dois termos.
Daí, por todo o embasamento teórico e prático desenvolvidos até o presente momento, sabe-se que esses produtos representam dentro do cálculo algébrico a denominação de produtos notáveis.
Seguimos com a última demonstração:
Demonstração 4: Faremos a demonstração da área do retângulo a partir do quadrado da soma de dois termos.
Das gravuras acima, temos que:
Notemos que a área do quadrado maior é igual a: (b + h)2. Da mesma forma que a área da figura é: b2+ 2. Ar + h2. Como ambos os polígonos têm a mesma área, vem que:
(b + h)2 = b2+ 2. Ar + h2
b2+ 2. b. h + h2 = b2+ 2. Ar + h2
2. b. h = 2. Ar b. h = Ar
Então, a área de um retângulo pode ser expressa da seguinte forma: Ar = b. h
Portanto, demonstramos o cálculo algébrico da área do retângulo.
4.2 Aplicações Sobre o Cálculo Algébrico
Como forma de gerar um aprendizado mais consistente em relação às demonstrações envolvendo o cálculo algébrico, iremos agora tratar de algumas aplicações bem interessantes que nos promoverão um olhar mais detalhado acerca de quais estratégias podemos utilizar para resolver determinados problemas de Álgebra.
Nesse contexto, colocaremos em prática as colocações a serem aperfeiçoadas na atenção da análise dos problemas algébricos, sendo este um dos ramos mais antigos da Matemática enquanto disciplina, tanto é que muitas pesquisas ainda hoje são feitas nesta área do conhecimento, tornando-a ativa em suas atividades científicas.
Para começo de conversa, temos que salientar que as aplicações aqui citadas envolvem identidades algébricas e fatoração de polinômios, bem como todo o
aprendizado lapidado construído ao longo de todas as aprovações das disciplinas do Curso de Licenciatura em Matemática.
As identidades algébricas são tidas como expressões matemáticas que se baseiam com as operações fundamentais e outras funções adicionais, às quais são úteis para quaisquer conjuntos de números.
Como veremos aplicações de algumas identidades algébricas a partir das fórmulas de fatoração mais básicas, seguem-se:
𝟏. (x + y)2 = x2+ 2xy + y2 𝟐. (x − y)2 = x2− 2xy + y2 𝟑. x2 + y2 = (x + y)2− 2xy 𝟒. x2 − y2 = (x + y)(x − y) 𝟓. (x + y)3 = x3+ 3x2y + 3xy2+ y3 𝟔. (x − y)3 = x3− 3x2y + 3xy2− y3 𝟕. x3 + y3 = (x + y)(x2− xy + y2) 𝟖. x3 − y3 = (x − y)(x2+ xy + y2) 𝟗. (x + y + z)2 = x2+ y2+ z2+ 2xy + 2xz + 2yz 𝟏𝟎. xn− yn = (x − y)(xn−1+ xn−2y + ⋯ − xyn−2+ yn−1) 𝟏𝟏. xn+ yn = (x + y)(xn−1− xn−2y + ⋯ − xyn−2+ yn−1) Observemos:
Aplicação 1: Se 𝑥 e 𝑦 são inteiros consecutivos, mostre que 𝑥2 + 𝑦2+
(𝑥𝑦)2éum quadrado perfeito.
Solução: Temos que:
Como temos a e b sendo números inteiros consecutivos, faremos y = x + 1. Daí, iremos substituir:
P(x) = x2+ y2 + (xy)2 P(x) = x2+ (x + y)2+ [x(x + 1)]2 P(x) = x2+ x2+ 2x + 1 + [x(x + 1)]2 P(x) = 1 + 2x2 + 2x + [x(x + 1)]2 P(x) = 1 + 2x(x + 1) + [x(x + 1)]2 P(a) = [1 + x(x + 1)]2,
que é um quadrado perfeito.
Então, notamos que a expressão obtida é um quadrado perfeito. Portanto, a aplicação é válida.
Aplicação 2: Fatore a expressão 𝑥4+ 𝑥2+ 1.
Solução: Temos que:
x4+ x2+ 1 =?
Inicialmente devemos notar que x4 = (x2)2.
Assim, devemos adicionar e subtrair 2 . (x2). (1)para fazermos um quadrado
perfeito.
x4+ x2+ 1 = (x2)2− 2. (x2). (1) + 2. (x2). (1) + (1)2+ x2
= (x2+ 1)2− 2x2+ x2
= (x2+ 1)2− x2
= (x2+ 1)2− (x)2
(x − y)2 = (x + y)(x − y) Então, (x2+ 1)2− (x)2 = [(x2+ 1) + (x)][(x2+ 1) − (x)] = (x2+ 1 + x)(x2+ 1 − x) = (x2+ x + 1)(x2− x + 1). Por conseguinte, x4 + x2+ 1 = (x2+ x + 1)(x2− x + 1).
Portanto, a aplicação é válida.
Já a identidade de polinômios é um campo mais amplo e vasto a ser entendido, uma vez que podem ser somados, subtraídos, multiplicados e até divididos, logo existem inúmeros teoremas que garantem múltiplas aplicações em geral.
Podemos citar alguns teoremas acerca dos aspectos dos polinômios: algoritmo da divisão para polinômios, teorema do fator, teorema da identidade, teorema das raízes racionais, lema de Gauss, critérios de irredutibilidade, dentre tantos outros.
Mas, continuemos com nossas aplicações acerca do cálculo algébrico: Aplicação 3: Sejam 𝑥, 𝑦 , 𝑧 números reais tais que
{ 𝑥 + 𝑦 + 𝑧 = 3, 𝑥2+ 𝑦2+ 𝑧2 = 5, 𝑥3+ 𝑦3+ 𝑧3 = 7. Determine o valor de 𝑥4+ 𝑦4+ 𝑧4. Solução: Temos que:
Utilizando a identidade de polinômios para resolver o seguinte problema, vem: Iremos trabalhar com as seguintes identidades:
{
x2+ y2+ z2=(x + y + z)2− 2(xy + xz + yz)
x3+ y3+ z3=(x + y + z)[x2+ y2+ z2−(xy + xz + yz)]+ 3xyz
x4+ y4+ z4 =(x2+ y2+ z2)2− 2[(xy + xz + yz)2− 2xyz(x + y + z)]
De acordo com as identidades listadas acima e com as hipóteses que temos no enunciado, vem: x2+ y2+ z2 = (x + y + z)⏟ 2 3 − 2(xy + xz + yz) = 5 (3)2− 2(xy + xz + yz) = 5 9 − 2(xy + xz + yz) = 5 −2(xy + xz + yz) = 5 − 9 −2(xy + xz + yz) = −4. (−1) 2(xy + xz + yz) = 4 xy + xz + yz =42 xy + xz + yz = 2 x3+ y3+ z3 = (x + y + z)⏟ 3 [x⏟ 2+ y2 + z2 5 − (xy + xz + yz)⏟ 2 ] + 3xyz = 7 3. (5 − 2) + 3xyz = 7 3 . 3 + 3xyz = 7 9 + 3xyz = 7 3xyz = 7 − 9 3xyz = −2 xyz = −23 x4+ y4 + z4 = (x⏟ 2+ y2+ z2)2 5 − 2 [(xy + xz + yz)⏟ 2 2 − 2 xyz⏟ −23 (x + y + z) ⏟ 3 ]
x4+ y4+ z4 = (5)2− 2. [(2)2− 2 . (−2 3) . (3)] x4+ y4+ z4 = 25 − 2. [4 + 2 .2 3 . 3] x4 + y4+ z4 = 25 − 2. (4 + 4) x4+ y4+ z4 = 25 − 2 . 8 x4+ y4+ z4 = 25 − 16 x4+ y4+ z4 = 9
Portanto, a aplicação é válida.
Aplicação 4: Verifique se o Polinômio 𝑓(𝑥) = 𝑥4+ 3𝑥2+ 2éirredutível
sobre 𝑄. Solução:
Para verificarmos se o polinômio f(x) = x4+ 3x2+ 2 é irredutível sobre Q, basta fatorar essa expressão por um procedimento simples feito na fatoração de polinômios.
Como primeiro passo, iremos organizar/arrumar os termos desse polinômio: x4+ 2x3+ x + 2 = x4+ x + 2x3+ 2
Agora, iremos colocar os termos em evidência e montar o produto: x4+ x + 2x3 + 2 = x(x3+ 1) + 2(x3+ 1)
Daí percebe-se que os termos entre parênteses são iguais e comuns, então fazemos o agrupamento:
x(x3+ 1) + 2 (x3 + 1) = (x3+ 1)(x + 2).
Por conseguinte,
x4+ 2x3+ x + 2 = (x3+ 1)(x + 2),
Portanto, a aplicação é válida.
Adiante, finalizaremos as nossas aplicações do cálculo algébrico expandindo o nosso olhar para um método bem interessante que relaciona Matemática e Física, trata- se da análise dimensional, bem como um exemplo a ser abordado no Eletromagnetismo. Mesmo que nos refiramos ao Ensino Fundamental, incluindo as séries finais de 8° e 9° anos, já vale reforçar que a disciplina de Ciências começa a dar noções de Física nesta etapa escolar até expandir para o Ensino Médio, bem como se percebe a maneira que podemos responder um exercício acerca do cálculo algébrico dispondo de procedimentos que executamos em todas as ciências exatas, além claro no Ensino Superior, como por exemplo, ler o enunciado, coletar os dados, verificar o modo de resolução e argumentar sobre o resultado encontrado. Ou seja, notamos já de imediato a interdisciplinaridade que o estudo do cálculo algébrico vem a nos possibilitar às múltiplas formas de aplicar tudo que aprendemos até hoje.
Na Análise Dimensional, poderemos compreender as unidades de medida das grandezas físicas, ao qual notaremos a utilização de equações algébricas para resolver exercícios propostos. Ou seja, através deste procedimento conferimos se a solução de um problema está correta apenas pela lógica das unidades. Então, o objetivo a ser posto em prática é apenas adicionar ou subtrair grandezas nas equações quando elas têm a mesma dimensão.
Procuremos imaginar que estejamos resolvendo um exercício onde precisemos calcular a velocidade de um corpo, móvel ou objeto. Em lógica, temos que a solução deverá ser dada em 𝑘𝑚/ℎ ou 𝑚/𝑠ou ainda 𝑐𝑚/𝑠, pois estamos tratando de velocidade. E caso, encontremos uma unidade de medida em 𝑚, ou 𝑘𝑚 ou 𝑐𝑚, com certeza um equívoco foi cometido.
Vale salientar que as três grandezas fundamentais comprimento, massa e tempo estão intimamente relacionadas à noção de dimensão, sendo que há dimensão de comprimento [L], dimensão de massa [M] e dimensão de tempo [T]. Em cálculo algébrico, já vemos que este procedimento matemático utiliza letras em sua aplicação, além do mais mostra argumentos capazes de resolver determinado exercício.
Analisaremos, por exemplo, a velocidade como grandeza física, sendo que a mesma expressa a distância percorrida por unidade de tempo.
Segue que:
Velocidade =distânciatempo v =∆S∆t
Onde,
[∆S] = [L](comprimento) [∆t] = [T](tempo) [v] =[L][T] = LT−1= M0LT−1
Logo, chegamos a equação dimensional da velocidade, ao qual concluímos que a unidade de medida no SI é m/s.
Mais exemplos:
i) Aceleração =velocidadetempo2 → [a] =[T][L]2 = LT−2 = M0LT−2;
ii) Força = massa. aceleração → [F] = [M].[T][L]2 = MLT−2;
iii) Energia = trabalho = força. massa → [E] = [M].[T][L]2. [L] = MLT−2. L
= ML2T−2;
iv) Área = comprimento. largura → [S] = [L]. [L] = L2 = M0L2T0;
v) Pressão =forçaárea →[P] =[M].
[L] [T]2
[L]. [L] = ML−1T−2.
Então, já notamos imediatamente a abstração na Análise Dimensional frente às precisões das informações aqui argumentadas.
Aplicação 5: Para manter um objeto em movimento circular uniforme com velocidade constante é necessário aplicar uma força denominada “força centrípeta”. Faça uma análise dimensional da força centrípeta, sabendo que a Fc ∝ mavbrc (m = massa, v = velocidade, r = raio) e FR = m. a (FR =
MLT2). Solução: Sendo [F] = [ma][vb][rc], temos: FR= Fc F = Ma(L T) b Lc MLT–2= Ma(L2 T2) b Lc MLT–2= MaLb+cTc.
Sabendo que é necessário que ambos os membros da equação tenham as mesmas dimensões, para que a equação seja dimensionalmente correta, precisamos que os expoentes sejam: Expoente de M: a = 1; Expoente de T: c = −2; Expoente de L: b + c = 1, então b = 3. Assim, MLT–2= MLT–2.
Portanto, a aplicação é válida.
Aplicação 6: (CEFET-2006) De acordo com a teoria gravitacional de Isaac Newton, duas partículas de massas 𝑀1 e 𝑀2, separadas por uma distância 𝑑, atraem-se mutuamente com forças de intensidade dada por F =M1.M2
𝐺 é a Constante da Gravitação Universal. Neste caso, a equação dimensional de [𝐺] é: a) [G] = MLT2 b) [G] = M2L−1T−2 c) [G] = MLT−1 d) [G] = M−1L3T−2 e) [G] = M−2L−3T Solução:
Inicialmente vamos isolar 𝐺 na equação dada: F = GM1d. M2 2 G. M1. M2 = F. d2
G =MF. d2
1. M2
Analisando as dimensões das grandezas, tem-se: [F] = MLT−2; [d] = L; [M1] = [M2] = M. Daí, substituímos: [G] =[M[F]. [d]2 1]. [M2] = = M. LTM. M−2. L2 = = M−1L3T−2 ∴ [G] = M−1L3T−2 Item correto: (d).
Aplicação 7: Faremos uma aplicação da Física no Eletromagnetismo utilizando o cálculo algébrico no intuito de encontrar o raio da trajetória descrita por uma carga na força magnética.
Vejamos:
Podemos calcular facilmente o raio 𝑅 da trajetória circular que a partícula eletrizada descreve dentro de um campo magnético uniforme. Para isto, basta observar que a força magnética 𝐹⃗ proporciona a força centrípeta necessária para a partícula descrever o movimento circular. Então, podemos escrever:
𝐹𝑐𝑝 = 𝑚.𝑣 2
𝑅 , onde 𝑚 é a massa da partícula.
Por outro lado, sabemos que a força magnética é dadapor𝐹𝑚 = |𝑞|. 𝑣. 𝐵. 𝑠𝑒𝑛 𝜃 e, neste caso tem-se 𝜃 = 90°(pois 𝑣⃗ é perpendicular a 𝐵⃗⃗), virá
𝑠𝑒𝑛 90° = 1 𝐹𝑚 = 𝑞. 𝑣. 𝐵
Igualando estas duas expressões de 𝐹, teremos: 𝐹𝑐𝑝= 𝐹𝑚 𝑚.𝑣𝑅 = 𝑞. 𝑣. 𝐵2 𝑞. 𝑣. 𝐵. 𝑅 = 𝑚. 𝑣2 𝑅 =𝑞. 𝑣. 𝐵𝑚. 𝑣2 donde, 𝑅 =𝑚𝑣𝑞𝐵.
Este estudo que acabamos de fazer encontra uma importante aplicação na Física Moderna, que é descrita nos livros de Física do Ensino Médio, se bem que aborda a
utilização do cálculo algébrico na criação de fórmulas matemáticas, gerando portanto a inteira ligação entre letras e números.
A partir de todas as aplicações apresentadas, principalmente as últimas em destaque, quero aqui salientar a minha fascinação por associar Matemática e Física, tanto é que busquei tratar do cálculo algébrico no Trabalho de Conclusão do Curso simultaneamente para estabelecer totais relações entre ambas as ciências exatas. E mais, juntamente com a graduação em Matemática, já sou Professor de Física atualmente e estou me especializando num Curso de Pós-Graduação em Metodologia de Matemática e Física, enfim o proveito diante de tudo isso é a “fome” pelo conhecimento que me desperta a cada oportunidade.
5 - Considerações Finais
Tendo base a pesquisa desenvolvida acerca do cálculo algébrico, pude compreender que a simbologia empregada na Matemática é fundamental para que haja a aquisição de novos conhecimentos, pois a prática docente nos possibilita relacionar letras e números a ponto de verificar até onde vai o nosso desempenho em sala de aula frente à abstração que é bem comum nesta ciência exata. Assim, creio que a graduação em licenciatura me trará uma experiência fundamental no modo como irei enxergar educandos de diferentes faixas etárias, cujo propósito maior será a construção de meu crescimento profissional frente ao que analisei consideravelmente.
Nesse sentido, basta tentarmos refletir sobre como anda o âmbito educacional atualmente, se bem que os alunos do Ensino Fundamental dependem de uma série de fatores para que consigam assimilar os conteúdos trabalhados na escola, principalmente os referentes à Álgebra. Por isso, algumas questões necessitam ser entendidas a todo custo, no que tange os principais motivos que contribuem para essa dificuldade discente, tais como: a imaturidade dos alunos para aprender algo abstrato, a falta de planejamento do professor, a precariedade da estrutura da escola, a redução do número de aulas durante a semana, dentre outros problemas.
O estudo algébrico vem sendo explorado ao longo dos anos, tanto é que envolve uma interpretação que deve ser traduzida mediante o exposto da linguagem escrita para com a matemática, ou seja, à medida que muitos precursores deixaram o seu legado, temos que notar que cada um deles merece ser reconhecido por suas ideias, sendo que isso nos possibilita sermos testemunhas de nossas próprias ações. Sobre tal comparação, temos que se não somos capazes de interpretar algo algebricamente, logo não conseguiremos representar formalmente eventuais situações.
Por exemplo, admiro muito a leitura dos Parâmetros Curriculares Nacionais (PCNs), porém acho que tudo que é colocado no papel realmente se precisa comprovar na prática, ou seja, não que a teoria educacional retrate fatos ditos ''articulados'', mas que embora algo precisa ser observado e então opinado por pessoas que entendam bastante do assunto. Quanto ao cálculo algébrico, torna-se interessante notar que os tópicos estudados no Ensino Fundamental, e possivelmente avançados no Ensino Superior, se baseiam bastante na resolução de problemas, tanto é que as equações são utilizadas em enunciados e exercícios propostos, fator esse que garante a análise de determinadas demonstrações e aplicações que darão uma abrangência complementar ao referido tema.
Por meio de tais estratégias, ressalto que consegui argumentos importantíssimos para detalhar o começo, meio e fim de minha pesquisa, até porque houve uma ampliação do conhecimento pelo que eu já sabia e quanto ao que aprendi a cada leitura realizada. Além disso, quero destacar que todos os objetivos indispensáveis foram efetivados com sucesso, então espero com tremendo entusiasmo iniciar uma nova etapa frente à minha formação acadêmica, sendo que quando lograr a concretização deste trabalho e desfrutar de ideias partilhadas com tantos profissionais docentes e autores, sigamos sempre em frente, refletindo na medida do possível acerca de nossas aulas, cabendo, portanto, sermos eternos pesquisadores de nossos atos, seja pelo que façamos ou deixamos de fazer.
Pode-se inferir que, as informações e colocações identificadas neste trabalho, serão de extrema importância na construção de uma sociedade mais ativa no que tange a qualificação da educação, ao qual sejam puramente atuantes os obstáculos a se enfrentar.
Referências
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vidas. Rio de Janeiro: Jorge Zahar, 2009.
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[10] Parâmetros Curriculares Nacionais: Matemática. 3ª ed. Brasília; MEC/SEF, 1997.
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