I sitt separate finansregnskap skal en part som deltar i, men ikke har felles kontroll over, en felleskontrollert ordning, regnskapsføre sin interesse i

De acordo com Pires (2006), há algumas décadas, o ensino de matemática priorizava excessivamente o ensino das demonstrações e o fazia de uma forma que o aluno tinha dificuldades de atribuir sentido a elas:

[...] podemos observar que antes do período da Matemática Moderna, e mesmo durante ele, predominava o modelo euclidianista, com ênfase no rigor, no formalismo e nas demonstrações, mesmo que totalmente fora da possibilidade de compreensão dos alunos (PIRES, 2006, p. 01).

Com o passar dos anos, essa forma de ensinar demonstrações foi abandonada devido à sua ineficiência e complexidade dando origem a outra fase em que se valorizava o trabalho empírico. Ainda nos estudos de Pires (2006) temos:

Com as críticas a esse modelo, passou-se a preconizar um modelo que pode ser identificado como empirista, baseado em experimentações que os alunos fazem com o estímulo de materiais como origamis, tangrans, poliminós, geoplanos e mesmo com o apoio de sofisticados softwares que permitem o trabalho com uma geometria dinâmica (PIRES, 2006, p. 01).

Nessa nova fase, as atividades empíricas para a descoberta de propriedades matemáticas foram valorizadas para que o aluno pudesse atribuir algum sentido a elas, porém as demonstrações dessas propriedades foram praticamente abandonadas. Podemos considerar essa nova postura tão prejudicial

ao aluno quanto à postura anterior, visto que o aluno não compartilha por completo de uma atividade característica da matemática.

Atualmente, vivemos num período de transição quando tratamos das demonstrações em matemática. A publicação dos PCN abriu possibilidades para uma abordagem construtivista dos conceitos, em que “os objetos matemáticos são extraídos das ações do sujeito, especialmente em contextos de resolução de problemas e de modelizações” (PIRES, 2006, p. 01). Porém, apesar dessa abertura construtivista proposta pelos PCN, o empirismo ainda é dominante nos livros didáticos atuais.

A preocupação dos pesquisadores com os efeitos do abandono do ensino das provas e demonstrações nas escolas brasileiras fez com que as pesquisas nessa área se intensificassem nos últimos anos. Pesquisas brasileiras recentes como as de Gouvêa (1998), Mello (1999), Carlovich (2005) e Pietropaolo (2005), por exemplo, abordam alguns aspectos didáticos da demonstração na educação básica. Há ainda pesquisadores de outros países que se interessam pela problemática das provas e demonstrações na sala de aula, como Arsac, Balacheff, Duval, Pedemonte, entre outros.

Pudemos perceber, a partir das leituras sobre essa problemática, que o ensino e aprendizagem das demonstrações é uma preocupação dos pesquisadores atuais, porém suas pesquisas têm se concentrado no ensino e aprendizagem das demonstrações envolvidas em conceitos geométricos do Ensino Fundamental. Pouco é pesquisado sobre estas mesmas questões em álgebra e/ou no Ensino Médio. Até mesmo os PCN incentivam claramente o uso de provas e demonstrações especificamente em conteúdos geométricos.

A falta de propostas de trabalho com as provas e demonstrações além da geometria também foi percebida por Pietropaolo (2005):

Nos PCN, tanto do Ensino Fundamental quanto do Médio, não há referências claras no que concerne as provas e demonstrações em outras áreas da Matemática que não a Geometria (PIETROPAOLO, 2005, p. 113)

O fato das pesquisas sobre provas e demonstrações e dos documentos oficiais que norteiam a educação básica brasileira se concentrarem em geometria e

no Ensino Fundamental, nos levou a idealizar uma pesquisa que abordasse o uso de provas e demonstrações no ensino e aprendizagem de álgebra no Ensino Médio.

Pelo fato de existirem muitos conteúdos algébricos abordados, no Ensino Médio, nossa pesquisa será restringida à análise do uso de provas e demonstrações no conteúdo algébrico Conjuntos e Conjuntos Numéricos abordado no primeiro ano do Ensino Médio.

Para abordar esse tema, analisaremos algumas coleções atuais de livros didáticos do Ensino Médio. Com essa análise, pretendemos responder a seguinte questão:

De que maneira os livros didáticos analisados propõem aos alunos do primeiro ano do Ensino Médio provas e demonstrações às propriedades enunciadas ao longo da exposição do conteúdo Conjuntos e Conjuntos

Numéricos?

Para responder nossa questão de pesquisa de maneira concisa, traçamos alguns objetivos a serem seguidos durante a análise do conteúdo algébrico em questão em cada coleção:

• Objetivo 01: Verificar de que maneira os livros didáticos analisados oferecem provas empíricas às propriedades algébricas enunciadas, dando ao aluno um modelo de validação baseado em exemplos;

• Objetivo 02: Verificar de que maneira os livros didáticos analisados oferecem demonstrações às propriedades algébricas enunciadas, dando ao aluno um modelo de validação formal em matemática;

• Objetivo 03: Verificar de que maneira os livros didáticos analisados propõem aos alunos exercícios envolvendo a demonstração ou a prova de uma propriedade referente a um conteúdo algébrico.

Após as explanações anteriores, é importante evidenciar que nosso objetivo é estudar o uso de provas e demonstrações no conteúdo Conjuntos e Conjuntos Numéricos abordado no primeiro ano do Ensino Médio, para saber de que maneira os livros didáticos utilizam este recurso para tornar significativo o ensino e a

Ao enunciarmos nossa questão de pesquisa, pensamos em uma possível resposta para ela, antes mesmo de uma análise mais refinada dos livros didáticos selecionados.

As considerações de Pires (2006), sobre o abandono das demonstrações e a valorização das provas empíricas por parte dos livros didáticos do Ensino Fundamental, nos levam a acreditar que esse mesmo movimento possa ter ocorrido no Ensino Médio. Uma de nossas hipóteses consiste em admitir que, em geral, as coleções analisadas apresentarão um número maior de provas empíricas, em relação às demonstrações, para as propriedades apresentadas durante a exposição do conteúdo Conjuntos e Conjuntos Numéricos. Apesar disso, acreditamos que as propriedades provadas empiricamente ou demonstradas são utilizadas na resolução de problemas e como ponto de partida para outras provas e demonstrações durante o desenvolvimento deste conteúdo algébrico. Esta seria outra hipótese de pesquisa.

Mesmo acreditando que de alguma maneira as provas e demonstrações já efetuadas serão aproveitadas, temos dúvidas com relação ao desenvolvimento da noção de sistema dedutivo. Para nós, o desenvolvimento da noção de sistema dedutivo requer uma utilização explícita por parte do autor das palavras teorema, prova e demonstração, o que acreditamos não ocorrer nas coleções.

A última consideração que fazemos a respeito dos possíveis resultados da análise de livros didáticos, diz respeito às atividades propostas aos alunos. Acreditamos que os livros didáticos analisados pouco propõem aos alunos exercícios envolvendo a demonstração ou a prova de uma propriedade referente ao conteúdo em questão. Em outras palavras, a atividade de demonstrar ou provar seria realizada em sua maioria pelos autores das coleções, o que deixaria pouco espaço para os alunos construírem estas habilidades.