Antes de apresentar a definição formal de estrutura de dedução, faz-se ne- cessário apresentarmos formalmente o que já foi discutido até então. O conjunto básico de crenças de um agente i qualquer é simbolizado como KBi. KB vem de kno-
wledge base. A ideia é que KBi represente o conjunto básico de crenças nas quais
o agente acredita e das quais irá derivar outras crenças. O conjunto de regras de dedução de um agente é representado pela função p. Para cada agente i, p(i) atribui um conjunto de regras de dedução a i. Escreve-se Γ ⊢p(i)φ para dizer que a sentença
φ é derivável a partir do conjunto de sentenças Γ, usando as regras atribuídas por p(i). Se o agente i acredita em φ , escreve-se Biφ . O agente i acredita em φ se, e
somente se:
1. φ ∈ Bi; isto é, φ está contido no conjunto de crenças do agente i ou;
2. φ ∈ KBi; isto é, φ está contido no conjunto básico de crenças ou;
3. KBi⊢p(i)φ ; φ é derivável do conjunto básico de crenças.
Outro detalhe importante a ser comentado diz respeito às propriedades das estruturas de dedução. Seguindo a estratégia de Konolige (1984, p. 23), apresen-
tamos as propriedades e em seguida fazemos um breve comentário sobre cada uma delas.
PROPRIEDADE DA LINGUAGEM. A linguagem de uma estrutura de dedução é uma linguagem lógica. Essa é a única condição que Konolige impõe à linguagem: que essa linguagem seja uma linguagem lógica.
Linguagens lógicas são conhecidas por terem um conjunto constru- tível de objetos sintáticos, as sentenças da linguagem, junto com algum método de interpretação83. (KONOLIGE, 1984, p. 21)
PROPRIEDADE DA DEDUÇÃO. As regras de uma estrutura de dedução são re- gras de dedução. O termo “regras de dedução” expressa certas propriedades im- portantes dessas regras, e as diferenciam de outros tipos de regras. As regras de dedução, de uma estrutura de dedução, possuem as seguintes propriedades:
1. As regras de dedução são todas “corretas”; ou seja, não é possível obter con- clusões falsas a partir de premissas verdadeiras;
2. As regras de dedução são efetivamente computáveis;
3. As regras de dedução possuem um número finito de premissas.
PROPRIEDADE DE FECHO. O conjunto de crenças de uma estrutura de dedução é o menor conjunto que inclui as sentenças básicas, e é fechado sob deduções84;
PROPRIEDADE DE RECURSÃO. Os agente vêem outros agentes como tendo um subconjunto de crenças similares aos seus próprios (KONOLIGE, 1984, p. 35). Ou seja, um modelo para sentenças envolvendo crença é, ele mesmo, um conjunto de crenças de uma estrutura de dedução.
Konolige (1984, p. 24-38) discute com detalhe cada uma das propriedades apresentadas, ora explicando-as, ora defendendo-se de possíveis críticas. Nesta seção, nos limitaremos a fazer pequenos comentários sobre elas.
83“Logical languages are distinguished by having a constructable set of syntatic objects, the sen-
tences of the language, together with an interpretation method.”
84Isso não significa a mesma coisa que onisciência lógica; detalhes serão esclarecidos mais à
Propriedade da linguagem
É de suma importância entender o motivo pelo qual a linguagem das es- truturas de dedução seja uma linguagem lógica. Primeiramente, deve-se observar que se busca um modelo para as CRENÇAS. Ao se falar sobre as crenças de al- guém (ou de algo, no caso da inteligência artificial), imediatamente somos levados a considerar conceitos como “verdade”, “falsidade”, etc; ou seja, é impossível falar sobre as crenças de alguém sem se remeter a algum tipo de semântica. Não deve- mos de modo algum confundir isso com as abordagens semânticas discutidas an- teriormente. Nessas abordagens, os agentes manipulam proposições (que contêm, portanto, significado); enquanto que, na abordagem sentencial, os agentes lidam apenas com sentenças, uma lista de fórmulas. A introdução de uma semântica faz-se necessária, porque:
1. Se estamos a falar das crenças dos agentes, frequentemente vamos querer saber se tais crenças são ou não verdadeiras no mundo real;
2. Além disso, há também a preocupação com as regras utilizadas pelos agentes na derivação de suas crenças; isto é, constantemente nos perguntaremos se uma ou outra regra de dedução utilizada na derivação de uma crença é uma regra correta.
Para Konolige:
Tais conceitos não fazem sentido na falta de um método de inter- pretação – um modo sistemático de interpretar as construções da linguagem em termos de um modelo. [...] Nós não podemos sim- plesmente colocar o referente de “Cícero” dentro de nossas cabeças, mesmo se ele estivesse vivo. Mas a atribuição de uma semântica para as sentenças é necessária, se um observador externo for anali- sar a natureza das crenças de um agente85. (KONOLIGE, 1984, p.
24)
A linguagem lógica possui, portanto uma semântica. Essa linguagem deve servir como um parâmetro para o modelo formal. Deste modo, para toda linguagem lógica L , existe um conjunto de estruturas de dedução D(L ) das quais os conjuntos de sentenças básicas são sentenças da linguagem L (KONOLIGE, 1984, p. 26).
85“Such concepts make no sense in the absence of an interpretation method – a systematic way
of interpreting the constructions of the language in terms of a model. [...] We simply cannot put the referent of “Cicero” inside our heads, even if he were alive. But the attribution of semantics to sentences is necessary if an outside observer is to analyze the nature of an agents beliefs.”
Vale ressaltar, contudo, que o sistema dedutivo de crenças é independente da semântica; isto é, a princípio, como é comum, é apenas um conjunto de símbolos. Nenhum significado precisa ser dado às sentenças se não houver uma preocupação de dizer quando as crenças dos agentes são verdadeiras ou falsas; ou quando não houver interesse em saber se as regras que um agente utilizou em uma derivação estão corretas. O sistema dedutivo funciona por si só: é possível entender como o agente deriva as sentenças através da observação do conjunto básico de crenças e das regras de dedução. Porém, saber se aquilo que é derivado é “verdadeiro” ou não é um trabalho próprio da semântica.
Propriedade da dedução
Vale salientar novamente as propriedades importantes das regras de dedu- ção:
1. Efetividade: uma regra de dedução é uma função efetivamente computável das sentenças da linguagem L ;
2. Provincialidade86: As regras de dedução devem possuir um número fixo e finito de premissas.
3. Correção: a conclusão é correta com relação à semântica.
Outras duas propriedades também são importantes para o sistema dedu- tivo:
4. Reflexividade: φ ⊢p(i)φ ;
5. Fecho: B ⊢p(i)φ e B∪ {φ } ⊢p(i)ψ, então B⊢p(i)ψ.
Pela provincialidade, podemos derivar o seguinte resultado: