4.5 During the Visit
4.5.1 Selecting a Development Framework
Um dos objetivos da nossa pesquisa foi o de analisar as características do cálculo numérico e do literal, os procedimentos corretos e incorretos dos alunos em Aritmética e Álgebra. A importância de se discutir esses aspectos já foi exposta no nosso quadro teórico. O desenvolvimento da análise aconteceu com o cruzamento entre os dados quantitativos, anteriormente expostos, e os qualitativos, obtidos nas entrevistas. Indicamos por “E” o entrevistador e o aluno, pela inicial do seu primeiro nome.
Os procedimentos utilizados pelos alunos da população investigada no instrumento aritmético aplicado foram analisados. Na entrevista feita com o aluno P da 8ª A, enfocamos a primeira questão:
E: Como você ligou (por meio de flechas) a fração
4 . 5 . 7 5 . 3 . 7 com 28 21 ?
P: Fiz algumas contas, não sei. E: Você não quer rascunhar? P: Sim, obrigada.
E: E agora?
P: (pausa) Lembrei! Fiz as contas e depois simplifiquei. E: Como?
P: Peguei e multipliquei 7.3.5 e cheguei a 105, também multipliquei 7.5.4 e cheguei a 140. Depois dividi tudo por 5.
Solicitamos à aluna que observasse, novamente, a fração 4 . 5 . 7 5 . 3 . 7 perguntando-lhe:
E: Não há outra forma de simplificá-la? P: Não vejo nenhuma.
E: Mesmo? P: Mesmo.
Essa é uma das dez, entre doze entrevistas realizadas, em que os alunos justificaram suas correspondências na 1ª questão do seguinte modo: determinaram os produtos indicados no numerador e denominador e, a seguir, dividiram sucessivamente o numerador e o denominador dessa fração por fatores comuns como, por exemplo,
4 3 28 21 140 105 4 . 5 . 7 5 . 3 . 7 = = =
. Desse modo, o aluno poderia identificar, imediatamente, na segunda coluna 28 21 , bem como 4 3
encontrando, conseqüentemente, maior dificuldade em corresponder 4 . 5 . 7 5 . 3 . 7
com a fração representada na forma fatorada, ou seja, com 4 . 5 5 . 3 . Ao proceder dessa forma, o aluno não identifica “a . b . c” como sendo número, mas como a indicação de operações a serem efetuadas, tendo em vista a determinação de um resultado o que nos remete às considerações de Kieran (1992), conforme comentado no Capítulo II, sobre a natureza processual das expressões aritméticas.
A observação da Tabela 1, a seguir, nos permite levantar algumas possibilidades para se justificar os acertos nos itens da primeira questão.
Tabela 1 - Número de correspondências recebidas para cada uma das frações da segunda coluna equivalentes a cada fração da primeira coluna
Fração da coluna 2 Turma 1ª F Turma 8ª A Total
28 21 18 23 41 4 3 12 17 29 4 . 5 5 . 3 6 17 23 6 11 8 22 30 36 66 10 16 26 5 . 12 5 . 2 . 11 9 18 27 3 . 5 . 2 5 . 11 7 11 18
Pelos dados dessa tabela, observamos que para a fração do item a) 4 . 5 . 7 5 . 3 . 7 , as frações 28 21 e 4 3
da segunda coluna foram as que obtiveram o maior número de correspondências identificadas pelos alunos, ou seja, 41 e 29 respectivamente; enquanto a fração 4 . 5 5 . 3
que também se apresenta nessa coluna, obteve o menor número de correspondências entre as três consideradas. A maior ocorrência de acertos nas frações
28 21
e 4 3
poderia indicar que o procedimento do aluno P, acima analisado, foi privilegiado entre os demais alunos.
A análise dos acertos no item b) 3 . 5 . 12 5 . 6 . 11
nos revela, igualmente, um maior número de acertos nas formas
6 11 e 5 . 12 5 . 2 . 11
e menor número de acertos em 3 . 5 . 2 5 . 11 que se apresenta na forma fatorada, sendo frações mais facilmente reconhecidas como equivalentes pelo procedimento análogo ao anterior. Entretanto,
5 . 12 5 . 2 . 11
mostrou o segundo maior número de acertos. É possível que esses acertos tenham sido provocados pela posição dos fatores 11 e 12, da referida fração.
A entrevista realizada com o aluno T da 1ª F nos mostrou um exemplo de uma aluna que não conseguiu resolver a questão, nem pelo cálculo nem pelo cancelamento de fatores comuns no produto, estabelecendo apenas a correspondência incorreta.
E: Por quê você ligou apenas
15 . 4 5 . 32 com 8 3 ?
T: Eu tentei fazer a 1ª fração e não dava o resultado e não batia na outra coluna. E: E com a 2ª fração?
T: Também não batia o resultado na outra coluna. E: Você não tentou simplificá-las?
T: Não. Eu não sei (pausa). Eu só sei fazer pelas contas.
A aluna rascunha, então: 140 105
e 110 330
o que esclarece as falas anteriores. Continuando com a entrevista, tentamos mostrar-lhe outra possibilidade de se fazer as correspondências: E: Observe 4 . 5 . 7 5 . 3 . 7
. Você pode simplificar o 7 com o 7?
T: Ah! (espanto) Posso! E: Então, como fica?
T: Fica um, pois divido o 5 pelo 5. E: E como fica toda a fração, então?
T: (a aluna rascunha no papel) Que simples. Vai ficar então
4 3
. Eu não sabia disso, é uma coisa muito simples! Que vergonha!
Considerando-se a natureza dessa questão no que diz respeito ao numerador e denominador das frações escritas na forma fatorada, podemos conjecturar que a natureza processual das expressões aritméticas, de acordo com Kieran (1992), justifique a porcentagem de, aproximadamente, 80,0% do total de alunos que identificaram apenas algumas equivalências entre as frações das duas colunas nessa primeira questão, sendo apenas 7,69% os que conseguiram identificar todas as equivalências.
As segundas e terceiras questões têm objetivos similares: verificar se os alunos conseguiam resolvê-las apenas pelos processos computacionais, utilizando o procedimento que consiste na divisão do numerador e denominador de uma fração por um mesmo número, ou se conseguiram resolvê-las aplicando as propriedades envolvidas na obtenção das frações equivalentes.
Na segunda questão, os alunos expressaram o produto do numerador e do denominador na forma reduzida e, em seguida, encontraram o quociente pela divisão sucessiva desse numerador e denominador por um mesmo número. Como na questão anterior, a atividade do aluno foi de natureza processual. Os dados quantitativos expostos anteriormente reforçam essa consideração, pois indicam que a maior porcentagem de procedimentos utilizada pelos alunos nessa questão foi 46,15%, aproximadamente. Então, quase a metade da população investigada, nessa pesquisa, utilizou o procedimento em discussão.
Retomando a entrevista dada pela aluna T da 1ª F, depois de questioná-la sobre as possíveis simplificações da fração
4 . 5 . 7 5 . 3 . 7 , perguntamos:
E: O que você achou?
T: Muito bom! Fiquei desesperada para fazer o 2 (questão 2 de Aritmética) porque não achava outra maneira de fazer ele, sem ser pelas contas, e pelas contas dá muito trabalho. (risos)
A terceira questão é menos usual, pois exige que o aluno identifique a notação de um número natural como produto de dois ou mais fatores, que expresse a divisão de dois números na forma fracionária e que efetue o cancelamento de fatores comuns. Nessa questão, nenhum dos alunos investigados conseguiu resolver pela escrita da fração correspondente à fração do enunciado na forma fatorada para simplificá-la. Por outro lado, o procedimento baseado em tentativas aconteceu em, aproximadamente, 52,31% do total; e 47,69%, quase a metade do total de alunos, não apresentou resolução para essa questão.
A seguir, a entrevista feita com o aluno P, da 1ª F:
E: Leia com atenção (o exercício 3 da Aritmética). Como fez para resolvê-lo?
P: (pausa) Peguei o 1.155 e dividi por 3x5 que é igual a 15 e deu um resultado que não era. Aí dividi por 3 x 7 que é igual a 21 e encontrei o 55.
E: Você fez a divisão de 1.155 por 21. Posso escrevê-la na forma fracionária? P: Sim. E: Como? P: 21 1155 .
E: Há uma outra forma de chegar aos 55 sem se efetuar a divisão? P: Não! (espanto)
E: Justifique.
P: Sempre aprendi que é só dividindo um número pelo outro.
Observamos que os alunos não manifestaram flexibilidade de cálculo para combinar os fatores do número 1155 como (3 . 7) . (11. 5) = 21 . 55, pela aplicação das propriedades associativa e comutativa da multiplicação para, em seguida, obter os divisores procurados pela aplicação da relação entre a multiplicação e a divisão envolvidas.
Entrevista análoga é a do aluno E da 1ª F:
E: Releia o 3 (questão 3 de Aritmética) com muita atenção. Explique-me sua resposta. M: Peguei o 1.155 e dividi por 55 e achei o 21 e aí vi que 55 vezes 21 dá 1.155.
E: E você não pensou em trabalhar o 1.155 como 3 . 5 . 7 . 11? M: Não (espanto)
Avançamos, então, algumas considerações.
Embora admitida a predominância de procedimentos computacionais nas tarefas operatórias aritméticas, observamos que as segundas e terceiras questões poderiam ser resolvidas pela aplicação de propriedades aritméticas, o que implicaria um menor esforço e poderiam se constituir em um desafio para os alunos
A transformação de uma expressão fatorada em “resposta” para, em seguida, fatorá-la novamente, aponta para o desconhecimento da função operatória desses fatores. Esse desconhecimento revela uma realização mecânica dessas operações, sem haver preocupação pelos aspectos semânticos envolvidos.
Nas respostas dos alunos, existem indicações claras de que a prática escolar reforça uma determinada relação com a Aritmética, centrada em procedimentos computacionais, não se considerando a possibilidade de uma manipulação de expressões aritméticas pela aplicação das propriedades formais das operações implícitas nas transformações realizadas. Assim, ignoram que a manipulação das propriedades formais das operações aritméticas poderia contribuir, conforme pesquisas citadas no Capítulo II, para a compreensão das propriedades algébricas. É importante lembrar, conforme Booth (1988), que “(...) para
compreender a generalização das relações e procedimentos aritméticos é preciso primeiro, que tais relações e procedimentos sejam apreendidos dentro do contexto aritmético. Se não forem reconhecidos ou se os alunos tiverem concepções erradas a respeito deles, seu desempenho em Álgebra poderá ser afetado. Nesse caso, as dificuldades que o aluno tem em Álgebra não são tanto de Álgebra propriamente dita, mas de problemas em Aritmética que não foram corrigidos” (p.33).
Em relação aos procedimentos utilizados pelos alunos na quinta questão, notamos que a maior porcentagem incidiu sobre o procedimento de reescrita dafração do enunciado pela indicação separada do quociente de cada termo do numerador pelo termo do denominador, ou seja, aproximadamente 46,15% do total de alunos.
E: Explique-me como você respondeu que 6 24 48 36− + = 6 – 8 + 4? A: Espera um pouco.
E: Como fica? (é mostrado ao aluno seu instrumento) A: Dividi cada número de cima pelo 6.
E: Por quê?
A: Porque o 6 é denominador de todos eles, e
6 24 48 36− +
é equivalente a 6 – 8 + 4.
Comparando essa entrevista com a do aluno T da 1ª F, já apresentado, que demonstrou um fraco desempenho nas questões do instrumento aritmético e algébrico aplicados, temos:
Aluno T da 1ª F:
E: (escrevi no papel) Você fez que
6 24 6 48 6 36 6 24 48 36− + = − + . Por quê?
T: Por causa do resultado que é 6 - 8 + 4. Aí, eu vi que o 6 era o denominador de todos os números de cima.
O aluno A da 8ª A apresentou bom desempenho em classe, conforme observado no estágio e comentado pela professora. Além disso, também apresentou bom desempenho tanto na prova escrita quanto nas entrevistas. O aluno T da 1ª F, porém, apresentou fraco desempenho na prova escrita.
Observamos que o enunciado dessa questão explicita a equivalência entre 6
24 48
36− + e 6 - 8 + 4, pedindo uma justificativa para essa afirmação. O fraco desempenho do aluno T da 1ª F pode ser entendido como forte indício de que sua resposta tenha sido influenciada pelo enunciado da questão, diferentemente da resposta obtida pela entrevista com o aluno A da 8ª A, que orientou sua argumentação pelo fato de 6 ser denominador comum e pela equivalência e não pela observação dos resultados. Na análise dos dados desse item, as observações feitas sobre seu enunciado devem ser consideradas.
Passamos a análise dos erros cometidos pelos alunos na simplificação das frações algébricas:
Iniciamos pelo Erro 1.1: Transformação da Expressão Algébrica da resposta em uma equação, ocorrida na primeira questão; e, na segunda questão, Erro 1. A porcentagem do total desse erro nessas questões foi, aproximadamente, 10,0%.
Entrevista do aluno M da 1ª F:
E: E por que você depois escreveu que 4 + 11y = 11 – 4 achando o valor de y? (escrevi no papel para o aluno)
M: Pois, achei que 4 + 11y não era resposta e tinha de achar o valor de y. É difícil ter como resposta 4 + 11y.
A fala desse aluno evidencia, claramente, sua dificuldade em aceitar uma expressão algébrica como resposta.
No Capítulo II, apresentamos alguns estudos como os de Kieran (1981) e de Macgregor (1996) que apontam esses tipos de erros na expressão de respostas algébricas como sendo uma conseqüência da interpretação do sinal de igual somente como indicador de respostas. Nessa mesma direção, algumas pesquisas em Álgebra apontam que esses erros podem ser decorrentes de uma dificuldade que os alunos têm em “aceitar a ausência de
fechamento” Collins (1975); ou sobre as expectativas decorrentes da preocupação aritmética quanto à maneira como deveriam ser as “respostas bem formadas”, Matz (1980) .
Passemos a análise da segunda questão, refletindo sobre os Erro 3, que consiste na adição dos coeficientes dos termos “não semelhantes” e multiplicação de fatores de mesma base de uma expressão. Observamos sua ocorrência tanto na fração dada na questão como na expressão algébrica da resposta dessa mesma questão, sendo que seu percentual incide em, aproximadamente, 29,23% sobre o total de alunos, fato que o classifica com a segunda maior porcentagem entre todos os diagnosticados na questão.
Na entrevista com o aluno L da 1ª F, obteve-se:
E: (Escrito no papel) Observe x xy x 11 4 + . Você respondeu x y x2 15
L: Eu (pausa) Deixe-me observar o que eu fiz. (Observa o instrumento demoradamente) Ah! Lembrei! Eu fiz o 3 (questão 3 da Álgebra) primeiro e depois usei o que eu fiz na 3 para fazer o 2 (questão 2 de Álgebra).
Entrevista análoga foi feita com o aluno F da 1ª F:
E: (mostramos ao aluno) você somou 4x + 11xy em x
xy x 11
4 + . Explique-me.
F: (pausa) Fiz o exercício 3 e depois fiz o 2. Aí pensei que poderia aplicar e fiz. E: E agora?
F: Sei que não posso, mas nunca ninguém me falou e me mostrou isso aí (espanto).
Analisando as falas das entrevistas desses dois últimos alunos, observamos que esse erro foi decorrente da aplicação de uma regra deslocada de seu âmbito de definição, pois ambos afirmaram que responderam, em primeiro lugar, a terceira questão e, logo em seguida, utilizaram os mesmos procedimentos na resolução da segunda questão proposta.
Em uma outra entrevista realizada com o aluno V da 8ª A, temos:
E: Observe essa questão (referindo-nos à segunda questão com frações como x
xy x 11 4 +
). Você acertou toda ela. Como você fez?
V: Usei a evidência e no outro caso separei as frações.
E: E como você errou a terceira questão (Com frações como x
xy x.11 4
)?
V: Tentei usar o que usei no 2. Pensei que podia, mas agora vi que não estava certo.
As falas desse aluno V da 8ª A mostraram que seu erro na terceira questão, igualmente, foi fruto de uma certa “extrapolação” dos procedimentos utilizados na segunda questão. Os erros cometidos nessa terceira questão restringiram-se, apenas, ou a uma transferência da soma para o produto da fatoração de expressões pela evidência do fator comum (Erro 1.1), com a porcentagem de 4,61% do total de alunos, ou com 15,39% a
reescrita de uma fração pelo quociente de cada termo do numerador pelo denominador (Erro 1.2).
Em síntese, temos:
- Os procedimentos utilizados na simplificação de
x xy x 11 4 + se estendem-se para x xy x.11 4 ; e
- Os procedimentos utilizados na simplificação de
x xy x.11 4 também se estendem para x xy x 11 4 + e;
Apesar dessas considerações, os dados obtidos, quer no instrumento diagnóstico quer nas entrevistas realizadas com os alunos, não fornecem elementos suficientes que permitam a nossa afirmação de que esses erros citados enquadram-se como “extrapolação” na concepção de Matz (1980), ou como generalização abusiva, conforme Artigüe (1990).
Matz (1980) considera que os erros de extrapolação tratam, essencialmente, sobre uma teorização psicológica dos processos de elaboração dos conhecimentos, fundamentando-os nos processos de assimilação e acomodação do modelo piagetiano. Artigüe (1990) analisa esses erros, relacionando-os a um processo presente no desenvolvimento histórico de inúmeros domínios da Matemática, considerando-os, então, como um produtor de obstáculos.
Para enquadrar os erros diagnosticados nesta pesquisa como sendo de extrapolação, Matz (1980), ou da generalização abusiva, Artigüe (1990), seria importante a realização de estágio de campo que nos permitisse obter elementos sobre o processo de ensino, assim como um maior período de tempo para a observação da permanência e persistência desse tipo de erro cometido pelos alunos. Além disso, seria necessário realizarmos entrevistas clínicas mais consistentes e direcionadas, especificamente, à análise da natureza desses erros. Entretanto, o número significativo de erros encontrados nessa categoria atesta sua relevância e a pertinência de uma investigação nessa direção.
É possível levantarmos outra justificativa para a ocorrência desses erros. Os erros cometidos pelos alunos estão diretamente relacionados ao ensino de Álgebra que prioriza a sua dimensão sintática. Suas manipulações algébricas incidem somente na utilização das regras sem nenhuma preocupação sobre as condições que lhes permitem aplicá-las. Na análise dos dados obtidos nas entrevistas, há indicações, conforme Lemoyne e outros (1993), que levantam questões sobre a necessidade de uma inclusão na análise dos erros dos alunos, de fatores decorrentes da dimensão de sua história escolar, isto é, da prática institucionalizada no ensino das expressões.
Lembramos que a adição de coeficientes dos termos “não semelhantes” também ocorreu na expressão de uma resposta final do aluno com a porcentagem de 21,54% do total da população investigada.
Observemos as justificativas dadas, na entrevista, pelo aluno J da 8ª A:
E: E como você chegou aqui (observando a fração x
xy x 11 4 +
) a 44 y?
J: Simplifiquei, multipliquei e deu 44 y. E: O resultado é esse mesmo?
J: (pausa demorada) Tá errado! E: Por quê?
J: Acho que dá 15 y, porque vou somar 4+11y (apontando para o instrumento).
Observamos que o aluno simplificou, de forma correta, a fração
x xy x 11 4 +
como 4 + 11y, procedendo apenas de maneira incorreta na expressão de sua resposta final. Em sua entrevista, esse aluno reconheceu que 44y não é a resposta correta, mas, logo em seguida, afirmou que o correto seria expressá-la como sendo 15y, isto é, a soma de 4 + 11y.
As pesquisas na área têm mostrado a relevância de erros dessa natureza, apontando para duas explicações possíveis:
Uma delas, já mencionada, destaca a dificuldade em “aceitar a ausência de
fechamento”, Collins (1975), ou a necessidade de satisfazer uma exigência aritmética de produzir “respostas bem formadas”, Matz (1980).
Outras pesquisas, conforme as citadas na síntese apresentada por Kieran (1992), apontam esses erros como decorrentes de análise sintática das expressões, como por exemplo, Davis (1975), Davis, Jockush e MacKnight (1978), Firth (1975), Lewis (1981) e Sleeman (1984). Esses estudos indicam que um dos erros mais freqüentes tem sido o de simplificar, como exemplo, 39x – 4 para 35x ou 2yz – 2y para z, e que a prática desses erros não se restringe aos estudantes novatos em Álgebra, como apontam as pesquisas de Carry, Lewis e Bernard (1980). Em estudos desenvolvidos sobre os processos de resolução de equações utilizados por estudantes universitários, os autores citados mostraram que esse tipo de erro, que chamaram de cancelamento, foi o mais comum cometido por estudantes ao simplificarem expressões, em vários passos no processo de resolução de equações.
Com base nas análises expostas nesse item, podemos colocar questões sobre o Erro 1.2 – “Transposição da variável do denominador para o numerador da fração obtida na resposta”, ocorrido na primeira questão. O erro poderia ser entendido como decorrência das expectativas dos alunos em relação às “respostas bem formadas”, Matz (1980), refletindo a não aceitação, por parte desses alunos, de uma fração que apresente um denominador algébrico, ou seja,
yz x
3 .
Retomando a análise da segunda questão, enfocando o Erro 4 – “Simplificação apenas de um dos termos da soma”, observamos, pelos dados quantitativos já expostos, que esse foi o erro que apresentou a maior porcentagem, isto é, correspondendo a aproximadamente, 40,0% dessa população. Analisemos, então, a entrevista obtida com o aluno D da 1ª F:
E: Na questão 2 de Álgebra do item c) (mostramos ao aluno a fração algébrica z
z xy 3
8 − ),
explique sua resposta.
D: Cortei o z de cima com o z de baixo. E: Está certo?
D: Está, pois são termos iguais e eu posso cortar. Aí vai ficar 8xy – 3
Como observado, justificativas – “porque eu fatorei”, “dividi numerador e
“termos iguais e eu posso cortar” – como as apresentadas pelo aluno, constituem respostas sintáticas que enfatizam as regras, sem nenhuma preocupação com as propriedades matemáticas que autorizam a aplicação dessas regras. Em outros termos, com o significado formal.
Em algumas entrevistas, propusemos que os alunos substituíssem as variáveis por números reais.
Lemoyne e outros (1993) afirmam que o comportamento do aluno na resolução de tarefas escolares de Aritmética e Álgebra pode ser influenciado pela sua relação com as escritas numéricas e literais. Essa relação pode ser constituída em seus modos de operar as expressões algébricas, modos esses que se apresentam totalmente desligados de justificativas pertinentes que envolvem suas aplicações.
Os referidos autores consideram que os primeiros conceitos da Álgebra Elementar são apoiados nos da Aritmética; que a Álgebra constitui-se em um domínio conceitual novo que o aluno já domina parcialmente. Além disso, afirmam que as regras formais de reescrita operam tanto sobre as expressões numéricas como literais, e a aplicação dessas regras nem sempre tem por objetivo realizar um cálculo.
Segundo Lemoyne e outros (1993), Resnick e outros (1987), em sua pesquisa, identificam quatro estratégias de comparação de equivalência entre expressões numéricas e literais: comparação formal, reescrita, cálculo e avaliação. Entre as estratégias identificadas por esses autores, utilizamos o cálculo pela substituição das variáveis por números nas expressões literais e, em seguida, a comparação dos resultados.
Além de se constituir em um procedimento de validação que busca as inter- relações entre as operações aritméticas e algébricas, acreditamos que a estratégia de cálculo pode se constituir em um meio de atribuição de significado para expressões algébricas.
Ainda na entrevista com o aluno J da 8ª A:
E: E como você chegou (na questão 2 – item a) x
xy x 11 4 +
a 44y?
J: Simplifiquei e multipliquei e deu 44y. E: O resultado é esse mesmo?
J: (pausa demorada) Tá errado! E: Por quê?
Com a intenção aparente de corrigir o erro, manifesta-se :
J: Acho que dá 15y, porque vou somar 4 + 11y (apontando para o instrumento) E: Não há um jeito de se verificar essa resposta?
J: Não sei.
E: Substitua x e y por quaisquer números e faça as contas. J: Ah! (pausa demorada) Se der o mesmo resultado tá certo!? E: Verifique.
O aluno revela falta de conhecimento da possibilidade de avaliação do acerto da simplificação feita pela substituição das variáveis da expressão algébrica por valores numéricos.
J: Se x = 2 e y = 3 fica (o aluno rascunha) 37 2 74 2 66 8 2 3 . 2 . 11 2 . 4 = = + = + . E: E?
J: No outro fica 15 . 2 = 30 (referindo-se à expressão 15y). Então tá errado!