O uso da decomposição em fatores primos para favorecer o cálculo mental e a otimização de cálculos, de um modo geral, pressupõe que o sujeito saiba escrever igualdades matemáticas que envolvam multiplicações e saiba, também, manipular estas igualdades, obtendo outras a partir de uma conhecida.
Por exemplo, para registrar matematicamente quantas unidades há na embalagem de ovos, o aluno deveria escrever 2 x 6 = 12 ou 6 x 2 = 12.
Manipulando os termos destas igualdades, poderia, ainda, obter 12 : 6 = 2 e 12 : 2 = 6. Por isso, há, na intervenção de ensino, uma etapa que favorece a obtenção e manipulação de igualdades matemáticas, e desejávamos saber, desde a avaliação inicial, quais conhecimentos prévios os alunos tinham sobre elas e que usos faziam delas. Para investigar a produção de igualdades matemáticas pelos alunos, solicitamos nas questões q1a e q1b, comentadas anteriormente, que escrevessem igualdades matemáticas que representassem as formas e embalagens.
Para investigar se, conhecendo uma, conseguiriam obter outras e se usavam essas igualdades para resolver problemas envolvendo cálculo de termos desconhecidos, propusemos, nas avaliações inicial e final, as questões q9a, q9b e q9c. O crescimento das taxas de acerto também não foi considerado significativo pelo teste de McNemar, e, em q9a, não houve crescimento da taxa de acerto: o número de erros da avaliação final foi maior do que o da avaliação inicial.
Embora estatisticamente não se justifique a análise de tais questões, a diversidade de estratégias e procedimentos apresentados pelos alunos, ao resolvê-las, sobretudo na avaliação inicial, pôde contribuir para a compreensão de seu desempenho em outras questões cujos crescimentos foram considerados significativos pelo teste. Vamos começar analisando as igualdades matemáticas produzidas em q1a e q1b. Em seguida, descreveremos as estratégias adotadas pelos alunos para resolver q9a, q9b, q9c.
Tanto na avaliação inicial como na avaliação final, os alunos dispuseram de espaço suficiente para desenhar as embalagens e formas. Além deste espaço para atender à solicitação dos desenhos, havia uma sentença matemática incompleta identificada pelo nome Igualdade Matemática. Um membro possuía três fatores, sendo dois desconhecidos e o outro membro que correspondia ao total de unidades de cada forma ou embalagem, também, não estava preenchido. Em q1a, que tratava da representação de 5 dúzias de ovos, a sentença era ___ x 2 x ___ = ____ e, em q1b, que tratava da representação de 4 embalagens de bombom, a sentença era ___ x ___ x 5 = 60.
Esperávamos que os alunos completassem com 5, 6 e 60 na primeira, e com 4, 3 e 60, na segunda. O número que correspondia ao total de unidades, 60
nos dois casos, foi preenchido corretamente, entretanto o preenchimento dos fatores foi feito de diversas maneiras. Alguns alunos confundiam multiplicação e adição e preencheram q1b, por exemplo, com 5 x 6 x 5 = 60, produzindo uma igualdade matemática falsa. Indagado sobre o porquê de tal preenchimento, um dos alunos respondeu: “ué, 5 mais 5 dá 10, vezes 6, 60, não é isso?”.
Além de confundir adição e multiplicação, estes alunos não associaram a igualdade à maneira como as unidades estavam arrumadas nas embalagens. Como eles, outro grupo de alunos desconsiderou o desenho ou a disposição das embalagens para preencher os fatores e valeu-se da propriedade comutativa da multiplicação.
Mentalmente, os alunos buscavam trincas de números, sendo um deles 2, em q1a, e 5, em q1b, cujo produto fosse 60. Assim, foram preenchimentos comuns para q1b, 3 x 4 x 5 = 60, 2 x 6 x 5 = 60 ou 6 x 2 x 5 =60 e, para q1a, 3 x 2 x 10 = 60, 10 x 2 x 3 = 60 e 6 x 2 x 5 = 60.
De todas as maneiras de preencher apresentadas pelos alunos, esta última, 6 x 2 x 5 = 60 merece destaque. Entrevistamos os alunos para que justificassem seu preenchimento e encontramos três justificativas distintas para o preenchimento de 6 x 2 x 5 = 60 em q1a. A primeira, foi igual à justificativa de todos os outros preenchimentos: o aluno buscou três números, sendo um deles o 2, cujo produto é 60. A segunda justificativa, fundamentou-se na disposição das unidades nas embalagens, mas o aluno pensou na propriedade comutativa da multiplicação e não se preocupou com a ordem de preenchimento. A terceira justificativa, também, fundamentou-se na representação retangular dos objetos, entretanto o sujeito preencheu a igualdade matemática na ordem de suas ações. Primeiramente, ele obteve o total de unidades de uma embalagem e isso o levou a escrever 6 x 2. Em seguida, ele multiplicou este total por 5, o número de embalagens que constou no enunciado da questão. Assim, como ficou evidente nas palavras de um aluno: “o 5 entra multiplicando por último”. Este é um exemplo do que Vergnaud (1996) destaca sobre as relações entre a situação e sua representação. As ações do indivíduo em situação coordenam a representação que ele fará dela.
A análise das igualdades produzidas pelos alunos nos levou a alguns questionamentos: Por que, em meio a tantas igualdades, nenhuma apresentava o 1 como fator? Por que muitos alunos insistiam em preencher as igualdades com dois fatores, deixando em branco o espaço reservado para o terceiro fator? Estas questões nos levaram a supor, por exemplo, que a compreensão de que o número 1 é um fator comum a todos os números não seria fácil para todos os alunos. Previmos também a dificuldade de alguns alunos para lidar com decomposições que envolvam mais de dois fatores ou fatores repetidos. Decompor os números parece-lhes contraditório, uma vez que todo o processo de ensino de Matemática a que foram submetidos valorizou a “elegância” das resoluções, que se traduz no poder de sintetizar procedimentos e notações.
Mas as dificuldades ficaram ainda mais evidentes nos itens b e c da questão 9. Em todos os itens são apresentadas seqüências de operações matemáticas em que algum dos termos envolvidos é desconhecido e a tarefa é justamente encontrá-lo. A seqüência de operações pode ser expressa por duas igualdades matemáticas e a manipulação das mesmas permite que se obtenha o termo desconhecido. Julgamos que o fato de, no item a, o termo desconhecido corresponder ao último número obtido na seqüência de operações, não exigindo, assim, o emprego da reversibilidade entre multiplicação e divisão, fez com que ele tivesse um elevado índice de acerto nas duas avaliações. Mas, os itens b e c, com características diferentes, não apresentaram índices tão satisfatórios. Solicitávamos aos alunos que completassem textos como “Dividi ___ por 3. Dividi o quociente encontrado por 2 e encontrei como resultado o quociente igual a 8”, que corresponde à q9b. Esperávamos que escrevessem a : 3 = b, b : 2 = 8 e, em seguida, manipulassem estas igualdades, obtendo b = 2 x 8 e a = b x 3, o que não aconteceu.
O erro mais comum foi cometido pelos alunos que consideravam apenas uma das duas ações informadas no texto. Assim, para q9b, uma resposta freqüente foi 16. O extrato do protocolo de um aluno, apresentado na figura 3.12, fornece um exemplo:
Figura 3.12:
Resolução com erro de q9b pelas propriedades da igualdade matemática
Como podemos observar, o aluno considerou apenas a segunda frase do texto: “Dividi o cociente encontrado por 2 e encontrei como resultado o cociente igual a 8”. Entretanto, apresentou um raciocínio adequado, fundamentado na reversibilidade entre a multiplicação e a divisão. Entendemos que este procedimento é conseqüência da obtenção, embora mental, de igualdades matemáticas a partir da igualdade a : 2 = 8. Houve, ainda, casos em que os alunos também buscavam mentalmente, mas, por meio de tentativas, o número que dividido por 2 resulta 8.
A estimativa e o uso da reversibilidade entre multiplicação e divisão também foram os procedimentos predominantes nas soluções corretas. Eles predominaram inteira ou parcialmente nas soluções. No último caso, tivemos o que chamamos de estratégia mista. O aluno empregava a reversibilidade para resolver parte do enunciado e, em seguida, fazia estimativas para resolver a parte que restava. Percebemos a estratégia mista empregada pelo aluno cujo protocolo se encontra na Figura 3.13:
Figura 3.13:
O aluno empregou a reversibilidade para obter o número 4 e estimou o número que deveria multiplicar por 4 para obter 36. As expressões 4 x 1, 4 x 2, 4 x 3, 4 x 4, 4 x 5, 4 x 6 mostram a busca do aluno até encontrar o número 36. Constatando que a reversibilidade entre a multiplicação e a divisão era um conhecimento subjacente às ações dos alunos, consideramo-la um teorema-em- ação. Entre os conceitos que lhe dão sustentação, designados conceitos-em- ação, temos os algoritmos das duas operações e as tabuadas.
Com base na análise das soluções dos alunos, inferimos sobre o grau de dificuldade das questões q9b e q9c. São questões extremamente complexas, pois requerem a identificação sucessiva de dois termos desconhecidos.
Desse modo, acreditamos que boa parte dos alunos possuía esquemas necessários para a identificação de um termo desconhecido, porém não fizeram a composição destes com outros esquemas a fim de construir esquemas mais abrangentes para a obtenção de dois termos desconhecidos em uma mesma situação problema.
O fato não foi decisivo para que construíssem e empregassem os principais conceitos associados ao Teorema Fundamental da Aritmética. Julgamos que a compreensão da reversibilidade entre multiplicação e divisão era imprescindível e ela pôde ser verificada, entre outros dados, na mudança do procedimento das estimativas para o procedimento fundamentado na reversibilidade ocorrida da avaliação inicial para a avaliação final. Segue, na figura 4.14, a solução de q9b feita, na avaliação final, pelo aluno cujo extrato do protocolo da avaliação inicial consta na figura 3.14:
Figura 3.14:
Podemos notar que, para resolver q9c, na avaliação inicial,o aluno usou a estratégia mista e, para resolver q9b, na avaliação final, ele empregou apenas a reversibilidade que existe entre multiplicação e divisão. É importante lembrar apenas que, embora q9b e q9c sejam questões distintas, elas pertencem à mesma classe de situações. Portanto, podemos comparar as soluções que o aluno apresentou para cada uma.
3.1.2.3 Desempenho nas questões de identificação dos fatores de um