Sediment provenance

Existe uma diferença principal entre um caminho e uma trajetória. O caminho é a especifi- cação do movimento de um corpo no espaço. Em outras palavras, é uma função espacial que define uma seqüência de posições a serem seguidas. O DP, por exemplo, representa um ca- minho (ótimo) entre dois pontos orientados em um plano. Já uma trajetória é a especificação do movimento de um corpo ao longo do tempo. Dado um caminho a ser seguido no espaço, a trajetória define uma função temporal que descreve o movimento do corpo através desse caminho. O HP é um exemplo de trajetória.

Os diversos tipos de veículos aéreos existentes são capazes de imprimir diferentes perfis de velocidade translacional durante a execução de um caminho, podendo assim executar diferentes tipos de trajetórias. Alguns desses veículos (como helicópteros, quadrirotores e dirigíveis) conseguem permanecer parados no ar (velocidade zero). Outros, porém necessitam de um valor mínimo de velocidade a fim de se manterem suspensos no ar (caso das aeronaves de asa-fixa). No intuito de simplificar a abordagem utilizada para a geração de trajetórias para veículos aéreos, considera-se que a velocidade dos veículos durante a realização do caminho é sempre constante e diferente de zero.

Assim, considerando ~r(t) como a curva que representa uma trajetória de um veículo, então ˙~r(t) apresenta módulo constante ao longo do tempo. Já s(t), que descreve a função de com- primento da curva ~r(t), pode ser calculada por meio da Equação (3.1), variando linearmente em função do tempo, com ˙s(t) = k ˙~r(t)k.

s(t) = Z t_f

ti

k ˙~r(t)k δt. (3.1) Dados os pontos de partida e chegada no espaço de atuação de um veículo, planejar uma trajetória significa deliberar sobre a melhor maneira de conduzir esse veículo, levando- se em conta suas restrições de movimento. Sabe-se que o caminho mais curto entre dois pontos no plano cartesiano é dado por uma reta. Assim sendo, considerando-se as técnicas de planejamento discreto vistas no capítulo anterior, onde robôs são modelados como pontos sem restrições holonômicas, o caminho ótimo entre dois pontos é o mais simples possível.

Entretanto, quando se passa a considerar as restrições cinemáticas e dinâmicas dos veí- culos utilizados, tais técnicas se mostram incompletas. Automóveis e aeronaves de asa-fixa, por exemplo, não são capazes de imprimir velocidades laterais de forma independente, neces- sitando de manobras (algumas vezes complexas) para alcançar determinadas configurações no espaço. Esses são exemplos de sistemas não-holonômicos, que apresentam, entre várias características, uma velocidade mínima de translação e um raio mínimo de curvatura. Essa última é importante, pois limita o valor máximo de curvatura que uma dada trajetória ou caminho pode possuir para que seja realizada por um robô.

De uma maneira mais formal, podemos definir o problema do planejamento de trajetórias como sendo a escolha de uma curva ~r(t) em R2_{, que leve o robô de um waypoint inicial (P}

i) a

um waypoint final (Pf) e que simultaneamente respeite as restrições de movimento do veículo.

3.1. Planejamento de Trajetórias Bidimensionais 25

Pi(xi, yi, ψi) = ~r(ti)

Pf(xf, yf, ψf) = ~r(tf)

(3.2) onde os x′_{s e y}′_{s correspondem as coordenadas do vetor posição do veículo em relação a}

um determinado referencial sobre o plano, e os ψ′_{s correspondem a orientação do mesmo em}

relação ao eixo X tomados positivamente no sentido anti-horário.

Na Figura (3.1) é possível observar um exemplo bastante simples do problema tratado. As coordenadas xi e yi representam a posição do robô em um instante de tempo ti, e a direção

segundo a qual o robô deve deixar esse ponto, devido a restrições holonômicas, é representada por ψi. O veículo deve então executar uma trajetória que o leve à xf e yf chegando a esse

ponto com uma direção ψf no tempo tf. Nesse caso ainda, ˙~r(t) apresenta módulo constante

e diferente de zero.

X

Y

o

P

ψ

P

ψ

Figura 3.1: Configuração arbitrária dos waypoints inicial e final.

Para o caso do movimento em um plano, a principal restrição que atua sobre um veículo não-holonômico é a curvatura máxima (κmax) possível de ser executada. Cada veículo possui

um raio mínimo de curvatura que pode ser realizado, devido as suas configurações dinâmicas e cinemáticas, caracterizado por ρmin. Logo, a curva ~r(t) pode ser considerada uma trajetória

realizável desde que não contenha nenhum trecho cujo raio de curvatura seja inferior ao mínimo admissível. De uma outra forma, seja κ(t) a função que representa a curvatura de ~

r(t); pode-se então representar a restrição do veículo segundo a Equação (3.3).

|κ(t)| ≤ κmax, (3.3) onde κmax= 1 ρmin .

Além disso, espera-se que a função de curvatura de toda a trajetória seja contínua, a fim de se evitar perturbações causadas por forças laterais que podem desestabilizar o sistema de

controle do veículo. Matematicamente, podemos determinar que se ~r(t) possui derivadas de primeira e segunda ordem contínuas, então a função de curvatura também será contínua ao longo de toda a trajetória.

Sendo a curva ~r(t) representada por um vetor em R2 _{composto por [x(t), y(t)], então a}

função de curvatura κ(t) pode ser expressa por meio da Equação (3.4).

κ(t) = _˙x(t)¨y(t) − ˙y(t)¨x(t) p ˙x(t)2_{+ ˙y(t)}23

, (3.4)

com

k ˙~r(t)k > 0 ∀ ti≤ t ≤ tf.

A restrição imposta a ˙~r(t) representa outra condição de regularidade para ~r(t), que pode ser fisicamente interpretada como a incapacidade de um veículo (como uma aeronave de asa- fixa) em reduzir sua velocidade a zero ao realizar uma trajetória.

Além da função de curvatura de ~r(t) outro ponto importante é o comprimento da trajetó- ria. Os parâmetros ti e tf correspondem aos instantes de tempo da passagem do veículo pelos

pontos Pi e Pf respectivamente. Essa é uma métrica importante, pois se espera gerar traje-

tórias com comprimentos próximos do mínimo valor possível, a fim de economizar a energia gasta na realização de tarefas. Para um espaço em R2_{, o comprimento da curva ~r(t) pode ser}

obtido integrando-se numericamente a Equação 3.5, que por sua vez, é derivada da Equação