Sammenfattende diskusjon

No estudo deste tópico recorreu-se a duas tarefas exploratórias sem recurso ao GeoGebra, na qual os alunos tiveram de trabalhar em pares. Nesta aula tinham faltado dois alunos, desta forma foram formados catorze pares. A aula tinha como objetivo estabelecer a expressão que representa a área de um polígono regular e finalizar com a resolução de exercícios e problemas, envolvendo os conceitos adquiridos com a exploração da tarefa.

Nos estudo deste tópico, os alunos começaram por realizar uma tarefa que tinha como objetivo estabelecer a expressão da área de um hexágono regular. Com esta finalidade foi proposto aos alunos a realização da seguinte tarefa (Anexo 5).

Com esta tarefa pretendia-se que os alunos relacionassem o apótema do hexágono regular com a altura de cada triângulo, obtido na decomposição do polígono, que associassem a

área total com a área de cada triângulo, e por fim que escrevessem a expressão que representa a área do hexágono regular. Na realização desta tarefa, a maioria dos grupos conseguiu obter a relação que determina a área de um hexágono regular, como pode ser observado pelas respostas dos grupos (Tabela 8).

Tabela 8: Distribuição das respostas dos alunos à primeira tarefa (n=14)

Questão Respostas Corretas Respostas incorretas Não responderam

Q1 14 0 0

Q2 11 3 0

Q3 5 7 2

Q4 9 3 2

Na identificação do número de lados da figura (Q1), como era previsto, todos os grupos responderam corretamente. No entanto, na determinação da expressão do perímetro do hexágono regular (Q2), houve três alunos que erraram, a Figura 23 exemplifica um desses erros.

Figura 23: Expressão errada do perímetro do hexágono apresentada pelo par P10.

Na determinação da expressão que representa a área de cada um dos triângulos que decompõem o hexágono regular (Q3), apenas cinco pares apresentaram a expressão que representa a área de um triângulo em função do lado do hexágono e do apótema, como ilustra a resposta do par P6 (Figura 24).

Figura 24: Expressão da área de cada triângulo em função do apótema apresentada pelo par P6.

Das expressões apresentadas incorretamente a esta questão destaco a resposta do par P6 (Figura 25).

Este par apresenta a área do triângulo como sendo a área do hexágono, a dividir pelo número de triângulos obtidos na decomposição do hexágono. Os alunos revelam compreender que a área de cada triângulo é a sexta parte da área do hexágono regular, no entanto não conseguiram escrever a expressão usando a área de um triângulo. Este facto poderá dever-se a dificuldades de interpretação por parte dos alunos.

Na questão 4, apesar de apenas cinco pares de alunos apresentarem a área de cada triângulo do hexágono em função do apótema, nove pares encontraram a expressão da área do hexágono, tal como a que deram os pares par P7 (Figura 26) e P8 (Figura 27).

Figura 26: Expressão da área de um hexágono regular apresentada pelo par P7.

A expressão da área do hexágono apresentada pelo par P8 evidencia rigor na escrita. O par substituiu o perímetro do hexágono por P e apresentou o significado de cada variável utilizada na expressão.

Figura 27: Expressão da área de um hexágono regular apresentada pelo par P8.

Ao circular pela sala verifiquei que alguns alunos tinham dificuldades em compreender o conceito de apótema, o que, consequentemente não lhes permitia escrever a expressão da área do hexágono regular. Em discussão com a turma foi apresentada a expressão que representa a área de um hexágono regular. Este momento teve como objetivo esclarecer as dúvidas dos alunos relativamente à tarefa desenvolvida.

Professora: Quantos lados tem o hexágono? A1: Tem 6 lados.

Professora: Qual é a expressão que representa o perímetro do hexágono? Alunos: 6

Professora: Podemos então escrever = 6 .

Professora: Para resolver a terceira questão, temos que traçar um segmento de reta perpendicular a um dos lados do hexágono e que passa pelo centro da figura. Então o que é o apótema do hexágono?

Professora: Ao segmento de reta que parte do centro da figura e é perpendicular a um dos lados designa-se de apótema. (…) Neste momento estamos em condições de determinar a expressão da área de cada um dos triângulos do hexágono?

Alunos: Sim. A1: = ∗ .

Professor: Com base na área de cada triângulo, podemos determinar a expressão para a área do hexágono?

A2: A área é igual ao número de lados vezes a área do triângulo. Professora: Então neste caso como temos seis lados a área do hexágono é…. A1: 6 ∗ ( ∗ ).

Professora: Há alguma dúvida em relação a esta tarefa?

Depois da introdução da noção de apótema e de estabelecer, com a turma, a expressão que representa a área de um hexágono regular, foi distribuída a seguinte tarefa (Anexo 5):

A tarefa tinha como objetivo estabelecer a relação que determina a área de um polígono regular em função do seu perímetro do apótema. Na realização desta tarefa, os alunos tiveram de registar informação relativamente a quatro polígonos regulares, de forma a conjeturarem sobre a área de qualquer polígono regular.

Estabelecer a relação que determina a área de um polígono regular

No estabelecimento da relação que determina a área de um polígono regular, dos catorze pares oito estabeleceram a relação. Dois pares não completaram a tabela e quatro não

acabaram o seu preenchimento. Das respostas corretas, um par (P5) escreveu a relação, partindo da expressão da área de um polígono com lados, que estabeleceram com o preenchimento da tabela (Figura 28).

Figura 28: Expressão da área de um polígono regular apresentada pelo par P5.

Os alunos resolvem a equação, mencionando que ∗ é o perímetro, fazem a substituição do produto ∗ por P e concluem que a área de um hexágono regular é ∗ . Dois pares apresentaram a expressão = ∗ , mas só um teve o cuidado de referir que P é o perímetro do polígono e o apótema. Os outros pares escreveram a expressão ∗ ∗ , encontrada através do preenchimento da tabela.

No momento destinado à apresentação dos resultados obtidos, um aluno foi ao quadro preencher a tabela, para que os restantes pares estabelecessem e compreendessem a relação que determina a área de um polígono regular. O aluno foi completando a tabela em conjunto com a turma, não se tendo verificado dúvidas. Uma vez que alguns alunos ao estabelecer a área de um polígono regular, não escreveram a relação fazendo a substituição de ∗ pela variável , aproveitei este momento para esclarecer que ∗ representa o perímetro de qualquer polígono regular.