A primeira pesquisa relacionada ao tema de logaritmos que encontramos no banco de teses da Capes foi uma dissertação de Mestrado Acadêmico da pesquisadora Karrer (1999) pela Pontifícia Universidade Católica de São Paulo.
Em sua pesquisa, a autora propôs uma sequência didática utilizando a calculadora científica com o objetivo de auxiliar no desenvolvimento da construção do conceito de logaritmos pelos alunos envolvidos. Para tanto, a autora utilizou como referenciais os pesquisadores da Psicologia Cognitiva: Piaget, Vygotsky e Vergnaud e ideias advindas da Didática da Matemática Francesa: a noção de obstáculo de Brousseau e o jogo de quadros de Douady, a fim de guiar o estudo sem perder de vista a contribuição desses pesquisadores para o entendimento da aquisição de conceitos.
A autora realizou um estudo histórico e epistemológico do surgimento do conceito de logaritmos e ressaltou a importância de que ao utilizar a história da Matemática pode enriquecer as aulas e fornecer a todos uma visão das dificuldades encontradas na época para a construção de um conceito, possibilitando salientar a importância de que um tema matemático não surgiu do nada, sem nenhum objetivo, mas que a matemática foi desenvolvida a partir de problemas e das necessidades que foram surgindo com o passar do tempo.
Inicialmente, os logaritmos foram utilizados como instrumento para facilitar e simplificar o cálculo aritmético, transformar produtos em somas, permitindo assim a rapidez em resolver situações-problema da época. Contudo, nos dias atuais esse conceito passou por uma série de evoluções e ampliações ao longo do tempo. Para a autora, a introdução deste conteúdo é de vital importância, pois pode explorar situações-problema que envolvam este conceito, com o objetivo de que o alunopercebaa relevância de estudar logaritmos nos dias de hoje.
Para o desenvolvimento da sequência foi realizado um estudo por dois grupos: experimental, que teria o primeiro contato com o tema por meio da sequência elaborada pela autora, e o grupo de referência, no qual os alunos estudaram o tema sugerido por livros didáticos. Participaram deste grupo 29 alunos da primeira série do Ensino Médio de outra instituição privada.
No grupo experimental participaram inicialmente com 8 duplas totalizando 16 sujeitos de uma instituição privada do Estado de São Paulo, porém as análises foram feitas apenas com os sujeitos que participaram das três etapas (pré-teste, sequência e pós-teste) e foram computados 13 alunos. Esses estudantes eram da primeira série do ensino médio, que nunca tiveram contato com o conteúdo Logaritmo.
O grupo de referência foi composto por uma turma de primeira série de nível médio de outra instituição privada, sendo que estes já realizaram o estudo de logaritmo por meio de uma abordagem tradicional apresentada nos livros didáticos. Foram computados 29 alunos para a análise dos resultados.
O experimento foi realizado em três fases, na fase 1 foram apresentadas questões de função exponencial e logaritmo, com o objetivo de fazer uma sondagem dos conhecimentos prévios dos alunos. Estes alunos já haviam terminado o estudo da função exponencial, porém ainda não tinham estudado logaritmo. A fase 2 foi dedicada à introdução de questões que pudessem ajudar no processo de ensino e aprendizagem do conceito de logaritmo e a sequência didática foi aplicada a um dos grupos. Por fim na fase 3 os dois grupos foram novamente submetidos a um segundo teste nos moldes do primeiro.
Para a análise dos resultados a pesquisadora descreveu nove categorias de erros mais presentes nos protocolos dos alunos, com o objetivo de identificar os principais raciocínios e procedimentos que conduziram os alunos ao insucesso e evidenciar os possíveis obstáculos didáticos e epistemológicos. Essas categorias foram denominadas por:
E1: Dificuldade nas manipulações algébricas;
E2: Problemas na concepção de potências;
E3: Problemas na concepção de função exponencial;
E4: Tendência ao pensamento linear em situações não lineares;
E5: Dificuldades de se expressar na forma escrita;
E6: Problemas de interpretação;
E7: Erro proveniente do não estabelecimento do logaritmo como ferramenta de
resolução de equações exponenciais;
E8: Problemas na técnica de cálculo do logaritmo;
E9: Desconhecimento ou uso inadequado de ferramentas (tabelas ou
calculadoras) para o cálculo de logaritmo.
No pré-teste a maioria das questões estava sem resolução e das questões resolvidas, os erros frequentes foram as categorias E1, E3, E4 e E6. Enquanto que
no pós-teste houve um bom índice de acertos com resoluções justificadas. Os erros mais frequentes foram: “dificuldades em se expressar na forma escrita”, “erro decorrente de problemas na concepção de potência” e “erro decorrente de problemas de interpretação”. São erros secundários, não específicos do conteúdo de logaritmo, mas que dificultaram as resoluções das atividades. Segundo Karrer (1999), as potências, a exponencial e o logaritmo pertencem ao mesmo campo conceitual, logo as dificuldades nos dois primeiros conceitos acarretarão dificuldades na construção do conceito de logaritmos.
Em suas considerações, a autora afirma a relevância de ter acrescentado mais situações-problema para alcançar melhores resultados, pois possibilitaria
condições de desenvolver habilidades de interpretação e de modelização matemática em sua pesquisa. A autora sugere para futuras pesquisas que se inicie o trabalho com uma revisão de potência e enfatize-se a linguagem matemática para explorar mais a simbologia na definição matemática de logaritmo.
Após a leitura da dissertação de Karrer (1999) foi possível constatar as dificuldades que os estudantes se deparam quando lhe é apresentado o objeto Logaritmo. A construção da sequência elaborada pela autora e os resultados apresentados serviram de base para continuarmos a pesquisar sobre o tema.
O segundo trabalho que encontramos foi também uma dissertação de Mestrado, de Chaves (2005), intitulada “Modelando Matematicamente questões ambientais relacionadas com a água, a propósito do ensino-aprendizagem de
funções na 1ª série do Ensino Médio”.
Chaves (2005) propôs situações-problema para que os alunos explorassem as funções polinomiais de 1º e 2º grau, exponenciais e logaritmicas.
Antes de aplicar as atividades da pesquisa, a autora realizou uma revisão dos conteúdos relativos a números reais, noção de par ordenado e plano cartesiano, equações e as primeiras noções de função, seus elementos e suas representações.
Para esta revisão, a autora elaborou fichas que continham tabelas, diagramas, situações–problema para traduzir para a linguagem matemática, e os alunos foram questionados quando a palavra função tinha o significado de dependência. As situações-problema envolviam as relações entre duas variáveis a partir de figuras geométricas, razão, proporção, regra de três simples e composta.
Após a realização desta atividade a autora concluiu que os alunos desconheciam esses conteúdos que são ensinados no Ensino Fundamental. Outros conteúdos foram revisados como: operações com números irracionais, racionais, potências de base dez, equações de 1º e 2º grau.
A Modelagem Matemática é uma estratégia de ensino realizada a partir da problematização de situações e dados reais. Nesta perspectiva, o objetivo da autora foi propor atividades que contemplassem situações-problema e os alunos apresentassem modelos matemáticos para responder a esses problemas.
Para elaborar essas atividades a autora buscou dados reais e a partir desses dados elaborou 14 questões sobre o tema Água. As atividades contemplaram situações-problema que focalizavam o conceito de funções polinomiais, exponencial e uma atividade que necessitou do uso de logaritmos.
A pesquisa foi realizada na cidade de Belém com alunos do 1º ano do Ensino Médio, com três encontros semanais durante 3 meses. Para análise das atividades a autora criou categoria de análise segundo a teoria da Aprendizagem Significativa de Ausubel.
Os resultados da pesquisa apontaram que o ensino por Modelagem pode levar o aluno a tornar-se participante do seu processo de aquisição de conhecimento e assim facilitar a sua aprendizagem significativa.
Em suas considerações finais, a autora relata que os alunos aprenderam a utilizar de forma significativa os modelos definidos por funções, como ferramenta para resolver problemas com referência na realidade, e que a modelagem matemática contribuiu para essa aprendizagem.
A leitura deste trabalho foi importante, pois verificamos algumas aplicações de modelos exponenciais e logaritmos para a resolução de problemas a partir de dados reais.
O terceiro trabalho encontrado foi a dissertação de Mestrado Profissionalizante em Ensino de Física e de Matemática da UNIFRA (Centro Universidade Franciscano) no Rio Grande do Sul intitulado “Uma Sequência de Ensino para o estudo de logaritmos usando a Engenharia Didática” realizado por Ferreira (2006).
O objetivo do trabalho foi elaborar e aplicar uma sequência didática seguindo as fases da Engenharia Didática como metodologia de pesquisa abordando situações de aprendizagem envolvendo o tema logaritmos para
realizar uma investigação sobre as dificuldades do ensino e aprendizagem desse conceito.
Essa pesquisa foi fundamentada pela Teoria das Situações Didáticas de Brousseau (1986) por se tratar de uma teoria que permite analisar os fenômenos que ocorrem em sala de aula, considerando as particularidades do saber matemático e as diferentes formas de apresentação do conteúdo matemático ao aluno. Essa teoria abrange professor, alunos e o saber matemático e pode ser um auxílio para tornar o ensino da matemática um ambiente contextualizado podendo garantir sucesso na aprendizagem.
Neste contexto a situação didática elaborada pela pesquisadora foi construída a partir de situações-problema para que os alunos pudessem compreender a importância do estudo dos logaritmos e a sua aplicação em modelos que descrevem fenômenos, crescimento populacional, epidemias, etc.
Em uma situação didática é importante distinguir o que realmente determina o crescimento dos alunos com relação aos seus conhecimentos, não importando os resultados, tais como êxitos ou fracassos, o que importa é identificar os fatores determinantes desses resultados para a aprendizagem de um determinado conceito.
Assim como Karrer (1999), a autora também salienta a necessidade em utilizar o contexto histórico para o ensino de Logaritmo e ressalta a importância de observar as transformações sofridas pelos logaritmos ao longo desse último século no contexto sociocultural.
Com o desenvolvimento das tecnologias, surgimento da calculadora, computadores, desenvolvimento de softwares matemáticos, o uso do Logaritmo deixou de ser utilizado apenas como uma ferramenta de simplificação para facilitar o cálculo aritmético, mas também na modelagem de fenômenos descritos pela natureza, crescimento populacional, entre outros.
Do ponto de vista do ensino e das transformações sofridas por um saber, Ferreira (2006) menciona três tipos de saberes segundo a concepção da teoria da Transposição Didática: o saber científico que está relacionado às pesquisas acadêmicas; o saber a ensinar e o saber ensinado. Para que os alunos tenham
acesso ao saber científico é necessário que esse saber seja reformulado com uma linguagem mais acessível. Desta forma, o saber a ensinar está relacionado à forma como o saber científico é apresentado ao aluno. A partir desses dois saberes surge o saber ensinado. É realizado pelo professor por meio de uma abordagem metodológica de ensino direcionada à aprendizagem de determinado conteúdo. A autora ressalta que a relação entre esses saberes podem ser gerados a partir do conhecimento dos alunos.
A elaboração da sequência didática foi direcionada por meio das hipóteses da pesquisadora de abordar a História da Matemática para propiciar a construção e a compreensão do conceito de logaritmos; a utilização de situações-problema para possibilitar o desenvolvimento da criatividade dos alunos; a construção de uma escala de logaritmos para consolidar este conceito e o uso do software Winplot para favorecer um estudo da função logarítmica de uma forma mais ampla do que ao utilizar apenas lápis e papel.
A metodologia utilizada na pesquisa foi a Engenharia Didática. Para as análises preliminares a autora analisou a proposta pedagógica da escola, os PCNEM e analisou como o ensino de logaritmo é abordado em cinco livros didáticos. Para essa análise foram considerados como critérios: os aspectos históricos, introdução do conteúdo e a linguagem abordada pelos autores dos livros.
A pesquisa foi realizada em um Colégio Militar no município de Santa Maria no Rio Grande do Sul. Foi feito um teste diagnóstico com 27 alunos da 1ª série do Ensino Médio a fim de verificar as concepções que tinham a respeito do tema função exponencial, o que possibilitou identificar as concepções errôneas, para que pudessem ser devidamente trabalhadas na sequência didática. O teste foi composto de 7 questões objetivas com 4 alternativas, que contemplavam os conteúdos: equações exponenciais, potenciação, situação-problema envolvendo o uso da equação exponencial para encontrar a solução do problema, questões apresentadas no registro gráfico para que os alunos encontrassem o domínio da função exponencial e o comportamento da curva desta função neste registro. As dificuldades encontradas foram:
Aproximadamente 50% dos sujeitos confundiram o domínio com o conjunto imagem da função.
Confundiram a parábola representada pela função quadrática como sendo uma função exponencial.
A questão apresentada aos alunos foi representada por meio do registro algébrico definida pela função dada por e sua respectiva representação gráfica e 48,1% dos alunos se referiram à resposta que continha a função g definida por . Esse fato fez a
pesquisadora concluir que os alunos desconheciam o conceito de função inversa.
Os alunos tiveram dificuldades em justificar suas observações e suas conclusões no registro em língua natural.
Após as dificuldades encontradas no teste diagnóstico, foram feitas as escolhas do que Artigue, Douady e Moreno (1995) denominam variáveis de comando; isto é, a pertinência ao problema estudado:
Retomada do estudo da função exponencial, construção do modelo matemático que descreve cada situação.
Estabelecer a relação do gráfico da função exponencial e de sua inversa, a função logarítmica, bem como a relação entre as definições dessas duas funções.
Relacionar as propriedades da função exponencial e da função logarítmica e utilizar essas propriedades na resolução de problemas.
Construção de uma escala logarítmica para compreender o significado das medidas expressas pela escala Richter, utilizada para medir a intensidade de terremotos.
Utilizar o software Winplot para a construção dos gráficos dos modelos matemáticos obtidos, e verificar graficamente as propriedades da função logarítmica e comparar com uma função exponencial.
A aplicação foi feita durante cinco semanas totalizando sete sessões para a realização da aplicação da sequência didática. Durante a aplicação a professora interferiu somente quando requisitada pelos alunos, pois o professor deve ser considerado, essencialmente, do ponto de vista das suas relações.
Segundo a Teoria das Situações Didática a autora explica que a devolução é uma condição fundamental, significando a aceitação do aluno pela responsabilidade na busca da solução do problema proposto, assim como pelo entendimento que o professor elaborou uma situação possível de ser resolvida, conforme os conhecimentos prévios que ele possui. Assim, feita a devolução, a situação proposta se converte no problema do aluno. Já a institucionalização é o momento em que o professor retoma as questões discutidas e estabelece seus principais resultados, levando em conta os questionamentos e considerações feitas pelos alunos, o que ocorreu no final de cada Sessão.
A pesquisadora ressalta que a escolha da Engenharia Didática como metodologia facilitou o direcionamento de sua pesquisa. A aplicação e análise dos resultados do teste diagnóstico foram fatores relevantes para elaborar a sequência didática e conduzir a realização da sua investigação. Uma das dificuldades apresentadas pelos alunos foi na construção da escala logarítmica.
A autora defende a ideia de que as situações-problema não devem ser deixadas para o final desse conteúdo, pois essas podem despertar maior interesse nos alunos em resolvê-las. Uma das preocupações da sequência didática foi sanar as dúvidas da construção do gráfico da função exponencial de sua função inversa, a logarítmica por meio do software Winplot.
Em suas considerações finais a autora deixa claro que seus objetivos foram alcançados de forma satisfatória.
A contribuição da leitura deste trabalho foi importante para refletirmos sobre como a Engenharia Didática enquanto metodologia pode contribuir para o direcionamento de uma pesquisa, principalmente no momento de sua validação, em que há a confrontação das análises a priori e a posteriori. Uma reflexão importante de ser ressaltada é que os sucessos e insucessos dos alunos
apontados na pesquisa de Karrer (1999) foram semelhantes aos que Ferreira (2006) observou durante o desenvolvimento de sua pesquisa.
O quarto trabalho que encontramos foi a dissertação de Mestrado Profissional em Ensino de Matemática da Pontifícia Universidade Católica de São Paulo intitulada “Análise de uma intervenção didática sobre desigualdades e
inequações logarítmicas no Ensino Médio” desenvolvida pela pesquisadora
Saldanha (2007).
O objetivo do trabalho foi fazer análise e reflexão da mudança da prática docente da professora-pesquisadora frente aos seus alunos, visando à análise do processo de ensino e aprendizagem envolvendo o professor, aluno e o saber matemático na resolução de situações-problema com inequações logarítmicas. A autora justifica a escolha e o interesse por dois motivos: o primeiro é o fato de que seus alunos têm dificuldades em compreender conceitos como inequações, em especial as inequações logarítmicas e ao fazer uma revisão da literatura, a pesquisadora encontrou poucos trabalhos que tratassem sobre o tema em questão.
A pesquisa foi realizada em uma instituição privada que adotara na ocasião o Sistema de Apostila do Anglo. Os participantes da investigação foram alunos da pesquisadora na 6ª série do Ensino Fundamental e 1º ano do Ensino Médio e no momento da pesquisa estavam no 2º ano do Ensino Médio. Ela havia ensinado a esses alunos temas como função exponencial e logarítmica no ano anterior.
O ensino desses conteúdos foi identificado pela professora-pesquisadora de Tendência Tecnicista Mecanicista, que segundo Fiorentini (1995) procura reduzir a Matemática a um conjunto de técnicas, regras e algoritmos, sem grande preocupação em fundamentá-los ou justificá-los. Segundo a autora, estudos mostram que esta prática adquirida, pouco tem contribuído na aprendizagem dos alunos.
Para a reflexão da mudança do papel do professor em relação à sua prática pedagógica a autora cita Fiorentini (1995) e durante a aplicação das atividades a mesma fundamenta-se nas ideias de Ponte (2005) sobre as investigações na sala de aula. Para a organização e análise das situações
didáticas, o trabalho foi norteado segundo a noção dialética-ferramenta-objeto, descrita por Douady (1984) que foi aplicada pela professora-pesquisadora durante oito aulas de 45 minutos, as discussões e institucionalização da resolução dos problemas foram feitas no final das aulas.
Para a organização do trabalho a professora-pesquisadora organizou grupos e elegeu um redator que teve a missão de apresentar as resoluções feitas por seu grupo na lousa, logo após a entrega da folha de resposta. Para Ponte (2005) esse é um momento crucial para os alunos partilharem suas ideias, confrontos, conjecturas e justificativas, cabendo ao professor o papel de moderador.
Para a coleta e análise de dados a pesquisadora gravou em fita-cassete alguns diálogos realizados pelos alunos e a discussão geral feita após cada atividade. Foram analisados os registros feitos por ela e as produções escritas dos alunos para a análise do estudo, confrontando-se o quadro teórico da pesquisa com as situações didáticas realizadas.
No momento em que houve a necessidade para a seleção dos problemas utilizados pela professora-pesquisadora, a mesma sentiu a necessidade de fazer uma revisão da função exponencial e logarítmica para dar subsídios aos alunos. Douady (1984) considera como a existência de um conhecimento prévio (antigo) e esses conhecimentos pode funcionar como ferramentas para a relação como um novo conhecimento e assim favorecer a construção desse novo saber, no caso as inequações logarítmicas.
Em suas considerações a autora cita que a realização da pesquisa proporcionou aos alunos um modo diferente de aprender Matemática por meio da investigação e puderam perceber que o trabalho em grupo proporcionou um ambiente colaborativo, desafiante e estimulador. Ficou claro que a resolução de problema utilizando a investigação como estratégia de ensino proporcionou aos participantes o desenvolvimento de uma melhor compreensão da Matemática.
As reflexões suscitadas durante a realização da investigação realizada pela professora-pesquisadora mostraram mudanças na prática docente em que o aluno passou a ver a professora como uma companheira de aprendizagem e não