Romansekonsertens utfordringer

Para se analisar o efeito do travamento de força cortante nos elementos finitos de placa, considerou-se a mesma placa da análise do item 6.2.2. No entanto variou-se a sua espessura no intervalo de 0,15 a 1,50 m, conforme ilustra Tabela 5.

Tabela 5 - Relação h/a das placas analisadas. Espessura (m) h/a 1,50 0,33 1,35 0,30 1,15 0,26 0,95 0,21 0,75 0,17 0,55 0,12 0,35 0,08 0,15 0,03

Os valores obtidos segundo o código computacional SIPlacas foram confrontados com resultados analíticos segundo a Teoria Clássica de Placa apresentada pelo livro do Timoshenko e Woinowsky-Krieger (1959). A expressão, retirada do livro, que determina o deslocamento encontra-se exposta conforme Tabela 6.

Tabela 6 - Deslocamento para uma placa retangular com uma borda engastada e as demais simplesmente apoiadas. a b w

1

,

1

0,0043.qa4 D Onde,

• a é a menor dimensão da placa, para o exemplo 4,50 m.

• b é a maior dimensão da placa, para o exemplo 5,00 m.

• q é a carga uniforme distribuída, para o exemplo 9,30 kN/m².

• 12(1 2) 3 ν − = Eh D . • ν =0,3

Antes mesmo de realizar a análise dos resultados é importante salientar que Timoshenko e Woinowsky-Krieger (1959) não caracterizam as placas de acordo com a relação h a. Neste sentido, os resultados obtidos com a Teoria Clássica de Placa

podem não ser coerentes com a resposta do problema físico real dos exemplos propostos. Pois, à medida que se aumenta a espessura da placa o efeito da força cortante passa a influenciar na deformação da mesma e, por conseguinte apresentar uma deformação diferente da teoria Clássica de Placa.

Os gráficos da Figura 32 e Figura 33 expõem a relação entre a diferença relativa percentual (entre os valores dos deslocamentos obtidos no SIPlacas e o valor analítico) em função da discretização da estrutura para os elemento lineares e quadráticos, respectivamente.

Os elementos finitos utilizados nesta análise foram os elementos lineares e quadráticos, com integração numérica completa e reduzida, (Q4c, Q4r, Q8c e Q8r).

Optou-se por não apresentar os resultados dos elementos finitos com campo assumido de deformação definido de força cortante (CADFC), (Q4CAD e Q8CAD), por

conveniência na exposição das curvas dos gráficos. Tendo em vista que os valores de deslocamentos destes elementos comparados com a integração reduzida são relativamente os mesmos. E, conforme exposto na revisão bibliográfica do capítulo 5, realizar a integração reduzida para os termos da matriz de rigidez equivale aos termos da matriz de rigidez dos elementos com (CADFC).

A primeira conclusão que pode ser realizada ao se observar os gráficos é que a diferença relativa dos deslocamentos é maior em relação à resposta analítica conforme se aumenta a espessura da placa. Este fato já era esperado, pois como explicitado anteriormente, à teoria analítica a qual se baseou o cálculo dos deslocamentos da presente estrutura refere-se à teoria em que não se considera o efeito da deformação por força cortante.

Desta forma, na Figura 32 para a placa de espessura mais fina (

h=0,15m

e 03

, 0 =

a

espessura mais espessa (

h=1,50m

e h a=0,33) o valor de convergência conduz a uma diferença relativa na ordem de 90%. A partir desta análise verifica-se que para esta estrutura, ao se adotar valores de altura cada vez menores que a espessura de

m

15

,

0

, o valor da análise numérica tende a ser cada vez mais próxima do cálculo analítico.

Figura 32 - Diferença relativa entre os elementos lineares com integração completa e reduzida e o cálculo do deslocamento analítico.

Figura 33 - Diferença relativa entre os elementos quadrátricos com integração completa e reduzida e o cálculo do deslocamento analítico.

Na sequência, outra análise que pode ser realizada, a partir dos gráficos da, Figura 32 e Figura 33 é que todos os elementos apresentam convergência para o mesmo valor de deslocamento. E isso vale tanto para os elementos lineares quanto para os quadráticos.

Por exemplo, a placa com relação h a de

0,21

apresenta convergência para uma diferença relativa na ordem de 40% do valor analítico. Porém, o que diferencia um elemento finito de outro é a razão de convergência. Tendo em vista que para o elemento linear a convergência ocorre para uma estrutura com discretização igual a 961 nós enquanto que para o quadrático a estrutura necessita de 431 nós.

Por fim, a terceira e última observação está relacionada ao travamento por força cortante (Shear Locking). Recapitulando, para os presentes elementos finitos, o problema de travamento de força cortante existe quando se deseja analisar placas na qual a influência da força cortante é desprezível, ou seja, placas esbeltas.

Desta maneira, este comportamento é visto nos gráficos da Figura 32 e Figura 33. A partir deles, tem-se que para as estruturas de espessuras pequenas os valores dos elementos finitos obtidos por integração completa (Q4c e Q8c), para malha de

elementos finitos considerada pobre, tendem a apresentar valores de diferença relativa percentual maior que os elementos com integração reduzida (Q4r e Q8r).

Salienta-se que os elementos (Q4r e Q8r) não apresentam problema quanto a

questão do travamento de força cortante.

Este comportamento é mais bem representado no gráfico dos elementos lineares, Figura 32. A partir dele, para a placa de relação h a igual a

0,03

e considerando a primeira discretização da estrutura a diferença relativa percentual do elemento Q4c é

na ordem de 90% enquanto que a do elemento Q4r é 0%. Por outro lado, para a

placa de relação h a igual a

0,33

, para a primeira discretização da estrutura verifica-se que praticamente não há diferença entre as respostas dos elementos finitos lineares.

Para o gráfico dos elementos quadráticos, Figura 33, o elemento quadrático com integração completa gera valores razoáveis para todas as placas analisadas. Contudo, o problema de travamento de força cortante (Shear Locking) surge, embora de forma atenuada, para as estruturas com relação h /a iguais a

0,21

,

0,12

e

0,03

. Pois, ocorre uma leve diferença entre o início das curvas de convergência que representam estas estruturas.

Reforçando que, como discutido no item 5.2.2, praticamente não há diferença em relação aos valores de deslocamentos entre os elementos finitos Q4r e Q4CAD e os

elementos Q8r e Q8CAD. Por esta razão os gráficos plotados na presente análise

referiu-se apenas entre os elementos com integração completa e reduzida.

6.2.4 Elementos de Placas com Campo Assumido de Deformação: Linear

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