1.7
Estabilidade e Instabilidade
Defini¸c˜ao 1.7.1. Um conjunto H ´e dito est´avel se, dado uma vizinhan¸ca U de H, existir uma vizinhan¸ca W de H tal que Tn(W )⊂ U para todo n ∈ N.
Observa¸c˜ao 1.7.1. Se H ´e est´avel, ent˜ao H ´e tamb´em est´avel.
Exemplo 1.7.1. Consideremos a aplica¸c˜ao T :R2 → R2, T (x, y) = (x,−y). Pelo Exemplo
1.4.2, se (x0, y0) ∈ R2, ent˜ao Ω(x0, y0) = {(x0, y0), (x0,−y0)}. Tomemos H := Ω(x0, y0).
Dado uma vizinha U de H, seja r suficientemente pequeno tal que Br(x0, y0) ⊂ U e
Br(x0,−y0) ⊂ U. Tomemos W = Br(x0, y0)∪ Br(x0,−y0). Notemos que W ´e invariante,
pois T (Br(x0, y0)) = Br(x0,−y0) e T (Br(x0,−y0)) = Br(x0, y0). Logo, H ´e est´avel, pois
Tn(W ) = W ⊂ U.
Proposi¸c˜ao 1.7.2. Se H ´e est´avel, ent˜ao H ´e positivamente invariante. Em particular, se um ponto ´e est´avel, ent˜ao ´e um ponto de equil´ıbrio.
Prova:
Mostremos que se H ´e est´avel, ent˜ao H ´e positivamente invariante, ou seja, T (H)⊂ H. Consideremos as vizinhan¸cas Ui = B1/i(H), i ∈ N∗. Afirmamos inicialmente que H =
T∞
i=1Ui. De fato, seja x ∈
T∞
i=1Ui. Logo, ρ(x, H) < 1/i, para todo i ∈ N∗, o que implica
ρ(x, H) = 0 e ent˜ao, x ∈ H. Portanto T∞
i=1Ui ⊂ H. A outra inclus˜ao ´e trivial. Logo,
H =T∞
i=1Ui.
Pela estabilidade de H, existe vizinhan¸ca Wi de H tais que Tn(Wi) ⊂ Ui, para todo
n, i ∈ N, i 6= 0.
Afirmamos agora que H =T∞
i=1Wi. De fato, como Wi ⊂ Ui, ent˜ao Ti=1∞ Wi ⊂T∞i=1Ui =
H, o que implica T∞
i=1Wi ⊂ H. A outra inclus˜ao ´e trivial. Portanto H =
T∞
i=1Wi.
Conclu´ımos que H ´e positivamente invariante da seguinte forma: T (H) = T Ã∞ \ i=1 Wi ! = ∞ \ i=1 T (Wi)⊂ ∞ \ i=1 Ui = H ⇒ T (H) ⊂ H.
Ainda, se H = {p} ´e est´avel, temos que H = {p} ´e positivamente invariante, ou seja, T (H) ⊂ H implicando T p = p. Portanto, p ´e um ponto de equil´ıbrio.
Defini¸c˜ao 1.7.2. Para H um conjunto em Rm, definimos ˆH da seguinte forma: z ∈ ˆH se
existirem seq¨uˆencias xi ∈ Rm e ni ∈ N tais que xi → y ∈ H e Tni(xi)→ z, quando i → ∞.
Em dinˆamica topol´ogica, ˆH ´e chamado prolongamento de H. O conjunto de todos z para os quais ni → ∞, quando i → ∞, ´e chamado conjunto prolongamento limite de H, e denotamos
por ˆH∞.
Proposi¸c˜ao 1.7.3. Seja H um conjunto em Rm. As seguintes afirma¸c˜oes s˜ao verdadeiras:
(i) ˆH = ˆH, ˆH∞ ⊂ ˆH, e H ⊂ ˆH;
(ii) ˆH ⊂ ˆH∞∪S∞n=0Tn¡H¢ e, se H ´e positivamente invariante, ent˜ao ˆH = ˆH∞∪ H.
Prova:
(i) Se z ∈ H, tomando xi = z e ni = 0, temos z ∈ ˆH. Logo, H ⊂ ˆH. As demais rela¸c˜oes
deste item seguem diretamente da defini¸c˜ao.
(ii) Seja z ∈ ˆH. Ent˜ao, existem seq¨uˆencias xi ∈ Rm e ni ∈ N tais que xi → y ∈ H e
Tnix
i → z, quando i → ∞. Se a seq¨uˆencia ni ´e limitada, ent˜ao podemos assumir
que converge, digamos ni → k ∈ N. Como ni ´e uma seq¨uˆencia de inteiros, ent˜ao
existe i0 ∈ N tal que ni = k, para i ≥ i0. Logo, Tkxi = Tnixi, para i ≥ i0. Visto
que xi → y, pela continuidade de Tk, segue que Tky = z. Logo, z ∈ Tk¡H¢. Logo,
ˆ
H ⊂S∞
i=0Tn¡H¢.
Se a seq¨uˆencia ni n˜ao ´e limitada, podemos assumir ni → ∞ quando i → ∞. Logo,
z ∈ ˆH∞. Portanto, ˆ H ⊂ ˆH∞∪ ∞ [ i=0 Tn¡H¢ . Ainda, se H ´e positivamente invariante, S∞
i=0Tn¡H¢ ⊂ H e ˆH ⊂ ˆH∞∪ H. Mas, por
(i), temos ˆH∞∪ H ⊂ ˆH. Assim, ˆH = ˆH∞∪ H.
Proposi¸c˜ao 1.7.4. Seja H um conjunto limitado emRm. Ent˜ao valem as seguintes afirma¸c˜oes:
1.7 Estabilidade e Instabilidade 31 (ii) H ∪ Ω(H) ⊂ ˆH.
Prova:
(i) Seja z ∈ Ω(H). Ent˜ao, existem seq¨uˆencias ni ∈ N e xi ∈ H tais que Tnixi → z e
ni → ∞ quando i → ∞. Como H ´e limitado, ent˜ao H ´e compacto e, desta forma,
podemos assumir que xi converge, digamos xi → y ∈ H. Assim, z ∈ ˆH∞. Logo,
Ω(H) ⊂ ˆH∞. Ainda, sejam w ∈ ˆH∞ e B um conjunto aberto tal que H ⊂ B. Ent˜ao,
existem seq¨uˆencias xi ∈ B e ni ∈ N tais que xi → y ∈ H e Tnix → w e ni → ∞
quando i→ ∞. Portanto, w ∈ Ω(B). Conclu´ımos ent˜ao que Ω(H) ⊂ ˆH∞⊂ Ω(B).
(ii) Por (i) e pela Proposi¸c˜ao 1.7.3-(i), segue o resultado. Lema 1.7.5. (i) Se H ´e um conjunto est´avel, ent˜ao ˆH = H;
(ii) Se H ´e um conjunto compacto positivamente invariante, ent˜ao H ´e est´avel se, e somente se, ˆH = H;
(iii) Se H ´e um conjunto em Rm, ent˜ao ˆH e ˆH
∞ s˜ao positivamente invariantes;
(iv) Se H ´e um conjunto fechado invariante contido em um conjunto G aberto limitado positivamente invariante, ent˜ao ˆH e ˆH∞ s˜ao invariantes.
Prova:
(i) Seja H est´avel. Suponhamos que exista z ∈ ˆH− H. Logo, existem seq¨uˆencias xi ∈ Rm
e ni ∈ N tais que xi → y ∈ H e Tnixi → z. Tomemos alguma vizinhan¸ca U de H tal
que z /∈ U. Como H ´e est´avel, existe vizinhan¸ca W de H tal que Tn(W ) ⊂ U, para
todo n∈ N. Assim, para i = i0 suficientemente grande, xi ∈ W, i ≥ i0 e, desta forma,
Tni(x
i)∈ U, i ≥ i0. Como Tni(xi) → z, ent˜ao z ∈ U, o que ´e uma contradi¸c˜ao. Logo,
ˆ
H ⊂ H. A outra inclus˜ao ´e devido `a Proposi¸c˜ao 1.7.3-(i). Portanto ˆH = H.
(ii) Seja H um conjunto compacto positivamente invariante tal que ˆH = H. Suponhamos que H n˜ao seja est´avel. Logo, existe uma vizinhan¸ca U de H, que podemos assumir
limitada, tal que para qualquer vizinhan¸ca W de H, existe n(W ) ∈ N para o qual Tn(W )(W )* U.
Consideremos as vizinhan¸cas Wi = B1/i(H). Logo, existe n(Wi) ∈ N para o qual
Tn(Wi)(W
i) * U, para todo i ∈ N∗. Seja i0 ∈ N tal que Wi ⊂ U, para todo i ≥ i0.
Tomemos Πi = {n ∈ N : Tn(Wi) * U} e ni = min Πi. Notemos que Πi 6= ∅,
pois n(Wi) ∈ Πi; e ni ≥ 1, pois T0(Wi) = Wi ⊂ U. Desta forma, Tni(Wi) * U
e Tni−1(W
i) ⊂ U, o que acarreta Tni(Wi) ⊂ T (U). Como U ´e limitado, temos que
Tni(W
i) ´e tamb´em limitado (uniformemente em i).
Seja xi ∈ Wi, i ≥ i0, tal que Tni(xi) /∈ U. Logo, ρ(xi, H) < 1/i, para todo i ≥ i0.
Assim, ρ(xi, H) → 0, ou seja, xi → H. Agora, xi ∈ Wi ⊂ U, isto ´e, xi ´e limitada.
Ent˜ao, podemos assumir que xi → y ∈ H = H.
Agora, Tni(x
i) /∈ U e Tni(xi) ´e limitada. Assim, podemos assumir que Tni(xi)→ z ∈
Rm. Logo, z ∈ ˆH. Visto que Tni(x
i) /∈ U, temos que z /∈ U ⊃ H, isto ´e, z /∈ H.
Portanto, ˆH * H, ou seja ˆH 6= H, o que ´e uma contradi¸c˜ao. Provamos ent˜ao que H ´e est´avel se ˆH = H. A outra implica¸c˜ao ´e devido `a (i).
(iii) Seja z ∈ ˆH. Ent˜ao, existem seq¨uˆencias xi ∈ Rm e ni ∈ N tais que xi → y ∈ H e
Tnix
i → z. Logo, Tni+1(xi)→ T (z), e ent˜ao T (z) ∈ ˆH. Portanto, T ( ˆH)⊂ ˆH, ou seja,
ˆ
H ´e positivamente invariante. Analogamente para ni → ∞ quando i → ∞, temos que
T ( ˆH∞)⊂ ˆH∞, e logo ˆH∞ ´e tamb´em positivamente invariante.
(iv) Seja z ∈ ˆH∞. Ent˜ao, podemos assumir que existem seq¨uˆencias xi ∈ G e ni ∈ N
tais que xi → y ∈ H = H, Tnixi → z e ni → ∞ quando i → ∞. Como G ´e
positivamente invariante, temos que Tni−1x
i ∈ G, e esta ´e uma seq¨uˆencia limitada.
Conseq¨uentemente, podemos assumir que Tni−1x
i → w. Logo, w ∈ ˆH∞. E mais,
Tnix
i → T w = z, ou seja, ˆH∞ ⊂ T ( ˆH∞). Portanto, ˆH∞ ´e negativamente invariante
e, por (iii), ˆH∞ ´e invariante. Como H ´e invariante, ent˜ao pela Proposi¸c˜ao 1.7.3-(ii),
conclu´ımos que ˆH = T ( ˆH), ou seja ˆH ´e invariante, pois ˆ
1.7 Estabilidade e Instabilidade 33
Defini¸c˜ao 1.7.3. Um conjunto H ´e chamado atrator se existir uma vizinhan¸ca U de H tal que se x ∈ U, ent˜ao Tnx → H, quando n → ∞. H ´e assintoticamente est´avel se ´e um
atrator est´avel. Se H ´e assintoticamente est´avel e Tnx→ H, para qualquer x ∈ Rm, ent˜ao
H ´e dito globalmente assintoticamente est´avel. H ´e inst´avel se n˜ao ´e est´avel. Se H n˜ao ´e est´avel e tamb´em n˜ao ´e um atrator, dizemos que H ´e fortemente inst´avel.
Defini¸c˜ao 1.7.4. Um conjunto H em Rm ´e dito inversamente invariante se T−1(H) = H.
Proposi¸c˜ao 1.7.6. Seja H um conjunto em Rm. Ent˜ao:
(i) H ´e inversamente invariante se, e somente se, H ´e positivamente invariante e T−1(H)⊂
H.
(ii) H ´e negativamente invariante se, e somente se, T−1{x} intercepta H para cada x ∈ H.
Prova:
(i) Mostremos que H ´e positivamente invariante e T−1(H) ⊂ H, se H ´e inversamente
invariante. Como T−1(H) = H, ent˜ao T (H) = T (T−1(H)) ⊂ H.
Mostremos que H ´e inversamente invariante, se T (H) ⊂ H e T−1(H) ⊂ H. De fato,
H ⊂ T−1T (H)⊂ T−1(H), e da´ı T−1(H) = H.
(ii) Mostremos que T−1{x} intercepta H para cada x ∈ H, se H ´e negativamente invariante.
Seja x ∈ H. Como H ⊂ T (H), ent˜ao existe w ∈ H tal que T (w) = x. Logo, w∈ T−1{x} ∩ H, ou seja, T−1{x} ∩ H 6= ∅.
Mostremos que H ´e negativamente invariante, se T−1{x} intercepta H para cada x ∈
H. Seja x ∈ H. Por hip´otese, existe w ∈ T−1{x} ∩ H, e logo T w = x e w ∈ H.
Portanto H ⊂ T (H).
Defini¸c˜ao 1.7.5. A regi˜ao de atra¸c˜aoℜ(H) de um conjunto H ´e o conjunto de todos x ∈ Rm
Proposi¸c˜ao 1.7.7. Se H ´e assint´oticamente est´avel, ent˜ao: (i) ℜ(H) ´e aberto;
(ii) ℜ(H) e ∁ℜ(H) s˜ao inversamente invariantes. Prova:
(i) Mostremos que ℜ(H) ´e aberto. Seja x0 ∈ ℜ(H). Logo, Tnx0 → H quando n → ∞.
Como H ´e um atrator, ent˜ao existe U vizinhan¸ca de H tal que Tnw → H quando
n → ∞, para todo w ∈ U. Como Tnx
0 → H, temos, para n suficientemente grande,
Tnx
0 ∈ U, digamos, Tnx0 ∈ U, para n ≥ n0, n0 ∈ N. Como U ´e aberto, existe ǫ > 0
tal que Vǫ(Tn0x0)⊂ U. Mas Tn0 ´e cont´ınua, o que acarreta a existˆencia de δ > 0 tal
que: Tn0 (Vδ(x0))⊂ Vǫ(Tn0x0)⊂ U ⇒ Tn0(Vδ(x0))⊂ U. Seja y ∈ Vδ(x0). Logo, Tn0y∈ U e, Tn+n0 y = Tn(Tn0 y)→ H ⇒ Tny→ H, n → ∞.
Assim, y ∈ ℜ(H) e portanto, ℜ(H) ´e aberto.
(ii) Mostremos que ℜ(H) e ∁ℜ(H) s˜ao inversamente invariantes. De fato, z ∈ T−1(ℜ(H)) ⇔ T z ∈ ℜ(H)
⇔ Tn+1z = Tn(T z) → H, n → ∞
⇔ Tnz → H, n → ∞
⇔ z ∈ ℜ(H).
Portanto, T−1(ℜ(H)) = ℜ(H). E tamb´em ∁(ℜ(H)) ´e inversamente invariantes, pois
1.7 Estabilidade e Instabilidade 35 Observa¸c˜ao 1.7.8. Notemos que se H ´e globalmente assint´oticamente est´avel, ent˜aoℜ(H) = Rm.
Teorema 1.7.9. Seja G um conjunto aberto limitado positivamente invariante. Se (i) V ´e uma fun¸c˜ao de Liapunov de T em G; e
(ii) M ⊂ G;
ent˜ao M ´e um atrator e G ⊂ ℜ(M). Se, adicionalmente, (iii) V ´e constante em M ,
ent˜ao M ´e assint´oticamente est´avel (globalmente assint´oticamente est´avel relativamente `a G).
Prova:
Mostremos inicialmente que M ´e um atrator e G ⊂ ℜ(M). Como V e T s˜ao fun¸c˜oes cont´ınuas, ent˜ao ˙V = V (T )− V ´e cont´ınua e E = ( ˙V )−1(0) ´e fechado. Agora, M ´e o maior
conjunto invariante em E. Assim, M ⊂ E = E e M ⊂ G ´e limitado. Pela Proposi¸c˜ao 1.4.4-(ii), M ´e invariante. Logo, M = M , isto ´e, M ´e fechado, e ent˜ao M ´e compacto.
Pela Proposi¸c˜ao 1.6.2, temos que V ´e tamb´em uma fun¸c˜ao de Liapunov de (1.1) em G. Visto que G ´e limitado, ent˜ao G tamb´em ´e limitado. Como G ´e positivamente invariante, ent˜ao pela Proposi¸c˜ao 1.4.4-(i), G ´e positivamente invariante.
Assim, toda solu¸c˜ao x(n) come¸cando em G permanece em G e, desta forma, ´e limitada para todo n ∈ N. Pelo Teorema 1.6.1, x(n) → M, quando n → ∞. Logo, M ´e um atrator sobre G. Da´ı, segue que G⊂ ℜ(M).
Suponhamos que V seja constante em M . Mostraremos `a seguir que ˆM = M . Mostremos antes que V (z) = c,∀z ∈ ˆM . Seja z ∈ ˆM . Ent˜ao, podemos assumir que existem seq¨uˆencias xi ∈ G e ni ∈ N tais que xi → y ∈ M = M e Tni(xi) → z e ni → ∞ quando i → ∞.
Como G ´e positivamente invariante, Tni(x
i)∈ G, ∀i, e assim z ∈ G. Logo, ˆM ⊂ G. Assim,
convergente Tnjz → u ∈ M e Tnjz ∈ G. Notemos que − ˙V (w) ≥ 0, ∀w ∈ G, e Tnz ∈ G.
Como − ˙V (z) = −V (T z) + V (z) ≥ 0, ent˜ao V (z) ≥ V (Tn(z)),∀n ≥ 1, o que implica
V (z)≥ V (Tnjz)→ V (u) = c ⇒ V (z) ≥ c.
Tamb´em pelo fato de− ˙V (w) ≥ 0, ∀w ∈ G, e xi ∈ G e Tni(xi)∈ G, temos:
V (xi)≥ V (Tni(xi))⇒ c = V (y) ≥ V (z) ⇒ V (z) ≤ c.
Logo, V (z) = c. Provamos ent˜ao que V ´e constante em ˆM .
Ainda, pelo Lema 1.7.5-(iv), ˆM ´e invariante. Seja w ∈ ˆM . Ent˜ao T w ∈ ˆM e ˙V (w) = 0, pois
˙
V (w) = V (T w)− V (w) = c − c = 0.
Assim, ˆM ⊂ E. Mas M ´e o maior conjunto invariante em E, o que implica ˆM = M . Pelo Lema 1.7.5-(ii), M ´e est´avel. Como j´a vimos que M tamb´em ´e um atrator, ent˜ao M ´e assint´oticamente est´avel. Pelo fato de G ⊂ ℜ(M), ent˜ao podemos dizer que M ´e globalmente assint´oticamente est´avel em rela¸c˜ao `a G.
Cap´ıtulo 2
Sistemas Semidinˆamicos Discretos
N˜ao Lineares
Neste cap´ıtulo trataremos de sistemas discretos dependentes de um parˆametro. Em particular, utilizando fun¸c˜oes tipo Liapunov, estabelecemos resultados construtivos sobre estimativas uniformes de atrator. Tamb´em obtemos fun¸c˜oes tipo Liapunov para uma classe de sistemas lineares e de seus perturbados, inclusive com estimativas uniformes sobre as mesmas e sobre suas derivadas. No final, apresentamos simula¸c˜oes de alguns sistemas ca´oticos discretos cl´assicos. Alguns resultados apresentados acreditamos serem in´editos, tais como os Teoremas 2.1.1, 2.1.2, 2.1.12, 2.2.1, e as Proposi¸c˜oes 2.1.3, 2.1.10.
2.1
Teoremas e M´etodos
Teorema 2.1.1. Sejam Λ subconjunto compacto de um espa¸co de Banach e T : Rm × Λ →
Rm, V :Rm × Λ → R
+; a, b, c :Rm → R fun¸c˜oes cont´ınuas, satisfazendo:
0≤ a(x) ≤ V (x, λ) ≤ b(x), (2.1)
a(x) → ∞, quando |x| → ∞ e − ˙V (x, λ) ≥ c(x), para todo x ∈ Rm e λ ∈ Λ. Suponhamos
∞ > R > max
x∈C b(x) e −µ ≤ minx∈C c(x), e consideremos os conjuntos BR :={x ∈ R
m : b(x) ≤
R} e AR+µ:={x ∈ Rm : a(x)≤ R + µ}. Seja λ0 ∈ Λ. Ent˜ao,
(i) Se x0 ∈ BR, ent˜ao Tn(x0, λ0)∈ AR+µ,∀n ∈ N;
(ii) Se x0 ∈ Rm, existe n0 = n0(x0, λ0)∈ N tal que Tn(x0, λ0)∈ AR+µ,∀n ≥ n0;
(iii) Se x0 ∈ Rm, existe subseq¨uˆencia nj ∈ N, com nj → ∞ quando j → ∞, tal que
Tnj(x
0, λ0)∈ BR,∀j ∈ N.
Prova:
Denotamos T (·) = T (·, λ0) e V (·) = V (·, λ0). Observamos que se ρ ∈ R, ent˜ao Bρ ⊂
Vρ ⊂ Aρ, onde Bρ := {x ∈ Rm : b(x) ≤ ρ}, Vρ = Vρ(λ0) := {x ∈ Rm : V (x) ≤ ρ} e
Aρ := {x ∈ Rm : a(x) ≤ ρ}. Este fato decorre de (2.1). Observamos tamb´em que µ > 0.
Afirmamos que:
ρ≥ R + µ ⇒ Vρ ´e positivamente invariante com rela¸c˜ao `a T (·). (2.2)
De fato, seja x∈ Vρ. Se x∈ BR− C, ent˜ao c(x) > 0. Logo, inf x∈BR
c(x) = min
x∈C c(x) ≥ −µ.
Desta forma, se x ∈ BR, temos:
c(x) ≥ −µ ⇒ − ˙V (x) ≥ c(x) ≥ −µ ⇒ ˙V (x) ≤ µ ⇒ V (T (x)) − V (x) = ˙V (x) ≤ µ ⇒ V (T (x)) ≤ V (x) + µ ≤ b(x) + µ ≤ R + µ ≤ ρ ⇒ V (T (x)) ≤ ρ ⇒ T (x) ∈ Vρ.
Portanto, T (x)∈ Vρ, se x∈ BR. Al´em disso, se x∈ Vρ− BR, temos:
− ˙V (x) ≥ c(x) > 0 ⇒ ˙V (x) < 0
⇒ V (T (x)) − V (x) = ˙V (x) < 0 ⇒ V (T (x)) < V (x) ≤ ρ
2.1 Teoremas e M´etodos 39 Portanto, T (x)∈ Vρ, se x∈ Vρ− BR. Logo, T (x)∈ Vρ, ∀x ∈ Vρ.
Conclu´ımos que Tn(x)∈ V
ρ, ∀x ∈ Vρ, ∀n ∈ N. Em particular, ficou demonstrado que
se x0 ∈ BR, ent˜ao Tn(x0)∈ VR+µ ⊂ AR+µ,∀n ∈ N, ficando assim justificado o item (i).
Provaremos `a seguir que, dado x0 ∈ Rm, x0 ∈ B/ R,
existe n0 ≥ 1 tal que Tn0(x0)∈ BR.
(2.3)
Tomemos ρ = ρ(x0, λ0) := max{V (x0), R + µ}. Logo, Vρ´e positivamente invariante com
rela¸c˜ao `a T . Consideremos o conjunto
W = WR,x0,λ0 :={x ∈ R
m : V (x)
≤ ρ} − BR.
Notemos que se x∈ W , temos b(x) ≥ R > sup
y∈C
b(y), o que implica x /∈ C. Como W 6= ∅, pois x0 ∈ W e c(x) > 0 para todo x ∈ W , temos que 0 < m = m(x0, λ0) := min{c(x) :
x∈ W }, pois W ´e compacto e c ´e cont´ınua. Desta forma, − ˙V (x) ≥ c(x) ≥ m, ∀x ∈ W , ou ainda, ˙V (x)≤ −m, ∀x ∈ W . Como x0 ∈ W , temos:
˙
V (x0)≤ −m ⇒ V (T (x0))−V (x0) = ˙V (x0)≤ −m ⇒ V (T (x0))≤ −m+V (x0) < V (x0)≤ ρ.
Se T (x0)∈ BR, a afirma¸c˜ao acima estaria satisfeita tomando-se n0 = 1. Se T (x0) /∈ BR,
do c´alculo acima, decorre que T (x0)∈ W ⊂ W . Logo,
V (T2(x0))− V (T (x0)) = ˙V (T (x0))≤ −m ⇒ V (T2(x0))≤ −m + V (T (x0))
⇒ V (T2(x0))≤ −2m + V (x0) < V (x0)≤ ρ.
Se T2(x
0)∈ BR, a afirma¸c˜ao acima estaria satisfeita tomando-se n0 = 2. Se T2(x0) /∈ BR,
das ´ultimas desigualdades decorre que T2(x
0) ∈ W ⊂ W . Por indu¸c˜ao, se Tj(x0) /∈ BR e
Tj(x
0)∈ W , para j = 1, ..., n, conclu´ımos que 0 ≤ a(Tn(x0))≤ V (Tn(x0))≤ −nm + V (x0).
Se Tn(x
0, λ0) /∈ BR,∀n ∈ N, ent˜ao existe np ∈ N tal que V (Tn(x0))≤ −npm+V (x0) < 0,
o que consiste numa contradi¸c˜ao, pois V ≥ 0. Logo, se x0 ∈ B/ R, ent˜ao existe n0 tal que
BR∋ Tn(x0)→ Tn0(x0). Agora, se x0 ∈ BR, seja y0 = T (x0). Se y0 ∈ BR a afirma¸c˜ao acima
tal que Tn0
(y0) = Tn0(T (x0)) = Tn0+1(x0) ∈ BR. Provamos, ent˜ao, que existe n0 ≥ 1 tal
que Tn0(x
0)∈ BR, para qualquer x0 ∈ Rm.
Vamos demonstrar (ii) a seguir. Seja x0 ∈ Rm. Se x0 ∈ BR, por (i), a afirma¸c˜ao est´a
satisfeita. Se x0 ∈ B/ R, pela Afirma¸c˜ao (2.3), existe n0 ≥ 1 tal que Tn0(x0) ∈ BR. E como
BR⊂ VR⊂ AR⊂ AR+µ, pela Afirma¸c˜ao (2.2), temos que Tn(x0)∈ AR+µ,∀n ≥ n0.
Vamos demonstrar (iii) a seguir. Seja x0 ∈ Rm. Pela Afirma¸c˜ao (2.3), existe n0 ≥ 1
tal que Tn0
(x0) ∈ BR. Seja y0 = Tn0(x0) ∈ BR. Novamente pela Afirma¸c˜ao (2.3), existe
p1 ≥ 1 tal que Tp1(y0) = Tp1(Tn0(x0)) = Tp1+n0(x0) ∈ BR. Tomemos n1 = p1 + n0 > n0.
Logo, Tn1(x
0)∈ BR. E, desta maneira, constru´ımos uma subseq¨uˆencia nj ∈ N estritamente
crescente tal que Tnj(x
0)∈ BR, ∀j ∈ N, com nj → ∞ quando j → ∞.
Teorema 2.1.2. (Princ´ıpio da Invariˆancia Uniforme)
Sejam cont´ınuas as fun¸c˜oes T :Rm × Λ → Rm, V :Rm × Λ → R
+, e tamb´em cont´ınuas
as fun¸c˜oes a, c : Rm → R, satisfazendo 0 ≤ a(x) ≤ V (x, λ), a(x) → ∞ quando |x| → ∞
e − ˙V (x, λ) ≥ c(x) ≥ 0, para todo x ∈ Rm e todo λ ∈ Λ. Sejam x
0 ∈ Rm, λ0 ∈ Λ. Ent˜ao
Ec :={x ∈ Rm : c(x) = 0} 6= ∅ e Tn(x0, λ0) tende, quando n → ∞, para o maior conjunto
invariante de T (·, λ0) contido em Ec.
Prova:
Denotamos T (·) = T (·, λ0) e V (·) = V (·, λ0). Assim, como c(x) ≥ 0, ∀x ∈ Rm, ent˜ao
− ˙V (x) ≥ c(x) ≥ 0 ⇒ − ˙V (x) ≥ 0, ∀x ∈ Rm. E mais, ˙ V (x)≤ 0 ⇒ V (T (x0))− V (x0)≤ 0 ⇒ V (T (x0))≤ V (x0) ⇒ V (Tn(x0))≤ ... ≤ V (T2(x0))≤ V (T (x0))≤ V (x0) ⇒ V (Tn(x0))≤ V (x0) =: ρ(x0, λ0) = ρ ⇒ Tn(x0)∈ Vρ= Vρ(λ0) :={x ∈ Rm : V (x)≤ ρ}. Logo, Tn(x
0) ´e limitada, pois x∈ Vρ⇒ V (x, λ) ≤ ρ ⇒ a(x) ≤ V (x, λ) ≤ ρ ⇒ a(x) ≤ ρ.
2.1 Teoremas e M´etodos 41 Conclu´ımos que V ´e uma fun¸c˜ao de Liapunov em todo Rm. Como toda solu¸c˜ao x(n) =
x(n, λ0) = Tn(x0) ´e limitada em Rm, ∀n ∈ N, ent˜ao, pelo Teorema 1.6.1, x(n) aproxima-se
do maior conjunto invariante contido em E = Eλ0 ={x ∈ R
m : ˙V (x) = 0} quando n → ∞.
E mais,
x∈ E ⇒ ˙V (x) = 0 ⇒ 0 = − ˙V (x) ≥ c(x) ≥ 0 ⇒ c(x) = 0 ⇒ x ∈ Ec⇒ E ⊂ Ec.
Pelo Teorema 1.6.1, ∅ 6= Ω(x(0)) ⊂ E, o que conclui a demonstra¸c˜ao. Proposi¸c˜ao 2.1.3. Consideremos as fun¸c˜oes cont´ınuas a, b :Rm → R
+ tais que 0≤ a(x) ≤
b(x) e a(x)→ ∞ quando |x| → ∞. Sejam A, B : R+→ R+ fun¸c˜oes definidas por:
A(r) := inf
|x|≥ra(x) e B(r) := sup|x|≤rb(x).
Ent˜ao,
A(r) = min
|x|≥ra(x) e B(r) = max|x|≤rb(x).
Al´em disso, A e B s˜ao n˜ao-decrescentes, cont´ınuas, A(r)→ ∞ quando r → ∞, e A(|x|) ≤ a(x) e B(|x|) ≥ b(x), ∀x ∈ Rm.
Prova:
Dado r > 0, como a(x)→ ∞ quando |x| → ∞, existe ρ = ρ(r) > r tal que a(x) > M, para |x| ≥ ρ, onde M > A(r). Logo A(r) = inf
|x|≥ρa(x) = minr≤|x|≤ρa(x) = min|x|≥ra(x). O fato de
que B(r) = sup
|x|≤r
b(x) = max
|x|≤rb(x) ´e trivial.
Mostremos que A e B s˜ao n˜ao-decrescentes. Sejam r1, r2 ∈ R+ tais que r1 ≤ r2. Como
{x ∈ Rm : |x| ≥ r 1} ⊃ {x ∈ Rm : |x| ≥ r2} e {x ∈ Rm : |x| ≤ r1} ⊂ {x ∈ Rm : |x| ≤ r2}, temos: A(r2) = inf |x|≥r2 a(x)≥ inf |x|≥r1
a(x) = A(r1)⇒ A(r2)≥ A(r1) e
B(r2) = sup |x|≤r2
b(x)≥ sup
|x|≤r1
b(x) = B(r1)⇒ B(r2)≥ B(r1).
Afirmamos tamb´em que A(r) → ∞ quando r → ∞. Seja M > 0. Como a(x) → ∞ quando |x| → ∞, x ∈ Rm, ent˜ao existe R > 0 tal que a(x) ≥ M, se |x| ≥ R. Tomemos
r > R. Logo, como A(r) = min
|x|≥ra(x), existe y ∈ R
m tal que|y| ≥ r > R e A(r) = a(y) ≥ M.
Assim, A(r) → ∞ quando r → ∞
Garantimos que A(|x|) ≤ a(x) e B(|x|) ≥ b(x), ∀x ∈ Rm. Seja x ∈ Rm. Como A(|x|) =
min
|y|≥|x|a(y), ent˜ao A(|x|) ≤ a(y), se |y| ≥ |x| e, desta forma, A(|x|) ≤ a(x). E mais, B(|x|) =
max
|y|≤|x|b(y)⇒ B(|x|) ≥ b(y), se |y| ≤ |x|. Logo, B(|x|) ≥ b(x).
Provemos a continuidade de A pela direita. Seja rnuma seq¨uˆencia real positiva convergente
tal que rn → r0, rn > r0,∀n ∈ N∗. Garantimos que A(rn) → A(r0). Seja ρ0 > r0 tal que
a(x) > A(r0), para |x| ≥ ρ0. Seja x0 ∈ Rm tal que r0 ≤ |x0| ≤ ρ0 e a(x0) = min r0≤|x|≤ρ0
a(x) = A(r0).
Suponhamos primeiramente que |x0| > r0. Afirmamos que, para n suficientemente
grande, A(rn) = A(r0). De fato, como rn → r0, rn > r0,∀n ∈ N∗, ent˜ao existe n0 ∈ N∗
tal que rn < |x0|, para n ≥ n0. Logo, para n ≥ n0 e |x| ≥ rn, temos que |x0| > rn e
a(x)≥ a(x0). Portanto, A(rn) = min |x|≥rn
a(x) = a(x0) = A(r0), se n≥ n0.
Agora, consideremos |x0| = r0. Seja ǫ > 0. Pela continuidade de a, existe δ > 0 tal que
a(x0)− ǫ < a(x) < a(x0) + ǫ, se x ∈ Bδ(x0). Como rn → r0, rn > r0,∀n ∈ N∗, ent˜ao existe
n0 ∈ N∗ tal que r0 < rn< r0+δ, para n≥ n0. Logo, se n≥ n0, temos 0≤ A(rn)−A(r0)≤ ǫ,
pois A(rn) = min |x|≥rn
a(x) ≤ min{a(x) : |x| ≥ rn e x ∈ Bδ(x0)} ≤ a(x0) + ǫ = A(r0) + ǫ.
Logo, A ´e cont´ınua pela direita.
Provemos a continuidade de A pela esquerda. Seja rn uma seq¨uˆencia real positiva
convergente tal que rn → r0, rn < r0,∀n ∈ N∗. Garantimos que A(rn) → A(r0). Seja
ρ0 > r0 tal que a(x) > A(r0)≥ A(rn), para |x| ≥ ρ0. Seja x0 ∈ Rm tal que r0 ≤ |x0| ≤ ρ0
e a(x0) = min r0≤|x|≤ρ0
a(x) = A(r0). Logo, A(rn) = min |x|≥rn
a(x) = min
rn≤|x|≤ρ0
a(x). Seja yn ∈ Rm tal
que rn ≤ |yn| ≤ ρ0 e A(rn) = a(yn). Podemos supor que yn→ y0, r0 ≤ |y0| ≤ ρ0. Afirmamos
que a(x0) = a(y0). De fato, a(x0) ≥ a(y0), pois a(x0) = A(r0) ≥ A(rn) = a(yn) → a(y0),
e suponhamos a(y0) < a(x0). Por´em, isto n˜ao ´e poss´ıvel, pois a(x0) = min |x|≥r0
a(x). Assim, A(rn) = a(yn) → a(y0) = a(x0) = A(r0) ⇒ A(rn) → A(r0). Logo, A ´e cont´ınua pela
esquerda.
2.1 Teoremas e M´etodos 43 convergente tal que rn → r0, rn < r0,∀n ∈ N∗. Garantimos que B(rn) → B(r0). Seja
x0 ∈ Rm tal que |x0| ≤ r0 e b(x0) = max |x|≤r0
b(x) = B(r0).
Suponhamos primeiramente que |x0| < r0. Afirmamos que, para n suficientemente
grande, B(rn) = B(r0). De fato, como rn → r0, rn < r0,∀n ∈ N∗, ent˜ao existe n0 ∈ N∗ tal
que rn>|x0|, para n ≥ n0. Logo, para n≥ n0 e|x| ≤ rn, temos que|x0| < rne b(x)≤ b(x0).
Portanto, B(rn) = max |x|≤rn
b(x) = b(x0) = B(r0), se n≥ n0.
Agora, consideremos |x0| = r0. Seja ǫ > 0. Pela continuidade de b, existe δ > 0 tal que
b(x0)− ǫ < b(x) < b(x0) + ǫ, se x ∈ Bδ(x0). Como rn → r0, rn < r0,∀n ∈ N∗, ent˜ao existe
n0 ∈ N∗ tal que r0− δ < rn< r0, para n≥ n0. Logo, se n≥ n0, temos B(rn)− B(r0)≥ −ǫ,
pois B(rn) = max |x|≤rn
b(x) ≥ max{b(x) : |x| ≤ rn e x ∈ Bδ(x0)} ≥ b(x0)− ǫ = B(r0)− ǫ.
Logo, B ´e cont´ınua pela esquerda.
Provemos a continuidade de B pela direita. Seja rnuma seq¨uˆencia real positiva convergente
tal que rn→ r0, rn> r0,∀n ∈ N∗. Garantimos que B(rn)→ B(r0). Sejam x0, yn ∈ Rm,∀n ∈
N∗ tais que B(r 0) = max |x|≤r0 b(x) = b(x0) e B(rn) = max |x|≤rn b(x) = b(yn), onde |x0| ≤ r0 e
|yn| ≤ rn < L, para algum L. Logo, podemos supor que yn → y0, |y0| ≤ r0. Afirmamos
que b(x0) = b(y0). De fato, b(x0) ≤ b(y0), pois b(x0) = B(r0) ≤ B(rn) = b(yn) → b(y0),
e suponhamos b(y0) > b(x0). Por´em, isto n˜ao ´e poss´ıvel, pois b(x0) = max |x|≤r0
b(x). Assim, B(rn) = b(yn)→ b(y0) = b(x0) = B(r0)⇒ B(rn)→ B(r0). Logo, B ´e cont´ınua pela direita.
Defini¸c˜ao 2.1.1. Sejam X espa¸co de Banach,L(X) o conjunto dos operadores limitados de X em X, A ∈ L(X) e λ ∈ C. Se A − λ ´e invers´ıvel e Rλ(A) := (A− λ)−1 ∈ L(X), dizemos
que λ pertence ao conjunto resolvente de A e denotamos ρ(A). Chamamos de operador resolvente de A a fun¸c˜ao Rλ. O conjunto complementar σ(A), em C, de ρ(A) ´e denominado
espectro de A.
Proposi¸c˜ao 2.1.4. Seja (X,| · |) espa¸co de Banach e A ∈ L(X). Ent˜ao, vale a igualdade lim
n→∞|A
n|1/n = inf n=1,2,...|A
n|1/n.
Defini¸c˜ao 2.1.2. Seja (X,| · |) espa¸co de Banach e A ∈ L(X). Chamamos de raio espectral de A, e denotamos por r(A), o limite r(A) := lim
n→∞|A n
|1/n. Notemos que pela Proposi¸c˜ao 2.1.4, segue que r(A) = lim
n→∞|A
n|1/n = inf n=1,2,...|A
n|1/n.
Proposi¸c˜ao 2.1.5. Sejam X espa¸co de Banach e A ∈ L(X). Ent˜ao, r(A) = max
λ∈σ(A)|λ| e
σ(A) ´e um conjunto compacto em C.
Estes resultados podem ser encontrados em [22], p´agina 151.
Defini¸c˜ao 2.1.3. Seja X espa¸co de Banach munido da norma|·|. Vamos definir uma norma no espa¸co L(X) como sendo
|A| := sup
06=x∈X
|Ax|
|x| = sup|x|=1|Ax| = sup|x|≤1|Ax|, A ∈ L(X).
(2.4) Observa¸c˜ao 2.1.6. Na Defini¸c˜ao 2.1.3, se dim X < ∞, podemos trocar “sup” por “max” em (2.4) devido `a compacidade do conjunto dos x tais que |x| = 1.
Proposi¸c˜ao 2.1.7. Sejam (X,| · |) espa¸co de Banach e A, B ∈ L(X). Ent˜ao r(A) ≤ |A|, |AB| ≤ |A|.|B| e (L(X), | · |) ´e um espa¸co de Banach.
Estes resultados podem ser encontrados em [15], p´aginas 26 e 176.
Lema 2.1.8. A aplica¸c˜ao L(X) ∋ A 7→ σ(A) ´e semicont´ınua superiormente, ou seja, dados A∈ L(X) e ǫ > 0, existe δ > 0 tal que σ(B) ⊂ Vǫ(σ(A)), se |B − A| < δ, para B ∈ L(X).
Este resultado pode ser encontrado em [15], p´agina 208.
Proposi¸c˜ao 2.1.9. A aplica¸c˜ao L(X) ∋ A 7→ r(A) ´e semicont´ınua superiormente, ou seja, dados A ∈ L(X) e ǫ > 0, existe δ > 0 tal que r(B) < r(A) + ǫ, se |B − A| < δ, para B ∈ L(X).
Prova:
Sejam A ∈ L(X) e ǫ > 0. Como a aplica¸c˜ao L(X) ∋ A 7→ σ(A) ´e semicont´ınua superiormente, ent˜ao pelo Lema 2.1.8, existe δ > 0 tal que σ(B)⊂ Vǫ(σ(A)), se|B − A| < δ,
2.1 Teoremas e M´etodos 45 Em virtude da Proposi¸c˜ao 2.1.5, existe λ1 ∈ σ(B) tal que r(B) = |λ1|. Como λ1 ∈
Vǫ(σ(A)), temos que existe λ0 ∈ σ(A) tal que |λ1− λ0| < ǫ. Assim, r(B) < r(A) + ǫ, pois
|λ1| − |λ0| ≤ |λ1− λ0| < ǫ ⇒ |λ1| < |λ0| + ǫ ≤ r(A) + ǫ.
Proposi¸c˜ao 2.1.10. Sejam X espa¸co de Banach, Γ subconjunto compacto de X e f : Γ→ R semicont´ınua superiormente. Ent˜ao, existe γ ∈ Γ tal que f(γ) ≥ f(γ), ∀γ ∈ Γ.
Prova:
Afirmamos que f ´e limitada superiormente em Γ. De fato, suponhamos que exista seq¨uˆencia γn ∈ Γ tal que f(γn) → ∞. Podemos supor f(γn) > 0,∀n ∈ N. Como Γ ⊂ X ´e
compacto, podemos tamb´em supor que γn → γ0 ∈ Γ. Seja ǫ > 0. Como f ´e semicont´ınua
superiormente, existe δ > 0 tal que f (γ) < f (γ0) + ǫ, se γ ∈ Bδ(γ0). Como γn → γ0, existe
n0 ∈ N tal que, para n ≥ n0, temos γn ∈ Bδ(γ0), o que acarreta f (γn) < f (γ0) + ǫ, o que ´e
uma contradi¸c˜ao. Logo, f ´e limitada. Seja S := sup
γ∈Γ
f (γ) ∈ R. Logo, S ≥ f(γ), ∀γ ∈ Γ. Ent˜ao, existe (γn) ⊂ Γ tal que
f (γn) → S. Podemos supor γn → γ ∈ Γ. Mostremos que f(γ) = S. De fato, seja ǫ > 0
um n´umero real qualquer. Como f ´e semicont´ınua superiormente, existe δ > 0 tal que f (γ) < f (γ) + ǫ, se γ ∈ Bδ(γ). Como γn → γ, existe n0 ∈ N tal que, para n ≥ n0, temos
γn ∈ Bδ(γ), o que acarreta f (γn) < f (γ) + ǫ. Logo, fazendo n→ ∞, temos S ≤ f(γ) + ǫ,
para qualquer ǫ > 0. Portanto, S ≤ f(γ) e, da´ı, S = f(γ). Analogamente, temos a seguinte proposi¸c˜ao:
Proposi¸c˜ao 2.1.11. Sejam X espa¸co de Banach, Γ subconjunto compacto de X e f : Γ→ R semicont´ınua inferiormente, ou seja, dados α ∈ X e ǫ > 0, existe δ > 0 tal que f(β) > f (α)− ǫ, se |β − α| < δ, para β ∈ X. Ent˜ao, existe γ ∈ Γ tal que f(γ) ≤ f(γ), ∀γ ∈ Γ. Teorema 2.1.12. Sejam X espa¸co de Banach, Γ subconjunto compacto de um espa¸co de Banach e cont´ınua a aplica¸c˜ao Γ ∋ γ 7→ Aγ ∈ L(X). Suponhamos ainda que |λ| < 1, ∀λ ∈
Prova:
Como pela Proposi¸c˜ao 2.1.7, a aplica¸c˜aoL(X) ∋ Aγ 7→ r(Aγ) ´e semicont´ınua superiormente,
ent˜ao tamb´em a aplica¸c˜ao γ ∈ Γ 7→ r(Aγ) ´e semicont´ınua superiormente. Pela Proposi¸c˜ao
2.1.10, existe γ ∈ Γ tal que r(Aγ) ≥ r(Aγ),∀γ ∈ Γ. Tomando θ := r(Aγ) = supλ∈σ(Aγ)|λ|,
temos r(Aγ)≤ θ < 1, ∀γ ∈ Γ.
Observa¸c˜ao 2.1.13. Dado K ⊂ C, K compacto, existe espa¸co de Hilbert H e operador A∈ L(H) tal que σ(A) = K.
Este resultado pode ser encontrado em [28], p´agina 263, exerc´ıcio 1.
Teorema 2.1.14. (Holmes) Seja (X,| · |) espa¸co de Banach. Dados A ∈ L(X) e ǫ > 0, existe k · k = k · kA,ǫ norma em X, equivalente `a | · |, tal que r(A) ≤ kAk ≤ r(A) + ǫ.
Prova:
Pela defini¸c˜ao de raio espectral, existe s(A, ǫ) = s∈ N tal que, se n > s, temos |An|1/n <
r(A) + ǫ := k(A, ǫ) = k e |An| < kn se n > s. Logo,
|Anx| kn ≤ |An||x| kn ≤ kn|x| kn =|x| ⇒ |Anx| kn ≤ |x|, ∀n > s. (2.5)
Afirmamos que k · k = k · kA,ǫ ´e uma norma equivalente `a | · | em X dada por
kxk := maxp=0,...,s½ |A
px|
kp
¾
,∀x ∈ X.
De fato, Sejam x, y ∈ X e α ∈ C. Provemos primeiramente que kxk ≥ 0 e kxk = 0 ⇔ x = 0. De fato, como | · | ´e uma norma em X, ent˜ao kxk ≥ 0, pois |Apx| ≥ 0, ∀p ∈ N.
Ainda, se x = 0 ⇒ Apx = 0 ⇒ |Apx| = 0, ∀p ∈ N, o que acarreta kxk = 0. Suponhamos
agora kxk = 0. Logo |Akppx| = 0, para p = 0, ..., s, e da´ı|x| = 0. Assim x = 0.
2.1 Teoremas e M´etodos 47 |Apx| + |Apy|, ∀p ∈ N, por | · | ser norma, temos:
kx + yk = max p=0,...,s ½ |Ap(x + y)| kp ¾ ≤ max p=0,...,s ½ |Apx| + |Apy|)| kp ¾ = max p=0,...,s ½ |Apx|)| kp ¾ + max p=0,...,s ½ |Apy|)| kp ¾ = kxk + kyk.
Provemos quekαxk = |α|.kxk. De fato, visto que |Ap(αx) =|αApx| = |α||Apx|, ∀p ∈ N,
por | · | ser norma, temos: kαxk = max p=0,...,s ½ |Ap(αx)| kp ¾ = max p=0,...,s ½ |α||Apx| kp ¾ =|α| max p=0,...,s ½ |Apx| kp ¾ =|α|.kxk. E temos tamb´em que | · | e k · k s˜ao equivalentes, pois:
|x| ≤ max p=0,...,s ½ |Apx| kp ¾ ≤ max p=0,...,s ½ |Ap||x| kp ¾ ≤ |x| max p=0,...,s ½ |Ap| kp ¾ ⇒ |x| ≤ kxk ≤ |x| maxp=0,...,s½ |A p| kp ¾
Seja 06= x ∈ X. Agora, kAk ≤ r(A) + ǫ, pois por (2.5), temos: kAxk = maxp=0,...,s½ |A p(Ax)| kp ¾ = = max p=0,...,s ½ |Ap+1x| kp ¾ = k max p=0,...,s ½ |Ap+1x| kp+1 ¾ ≤ k maxp=0,...,s−1½ |A p+1x| kp+1 ,|x| ¾ = kkxk. Pela Proposi¸c˜ao 2.1.7, segue o resultado.
Observa¸c˜ao 2.1.15. Se X ´e um espa¸co de Hilbert na Proposi¸c˜ao 2.1.14, poder´ıamos utilizar a norma 9· 9 = 9 · 9A,ǫ, dada por
9x9 = " n X p=0 µ |Apx| kp ¶2#1/2 , x∈ X,
Corol´ario 2.1.16. Sejam (X,| · |) espa¸co de Banach e A ∈ L(X), e suponhamos |λ| < 1,∀λ ∈ σ(A). Ent˜ao, A ´e uma contra¸c˜ao em alguma norma equivalente `a | · | em X.
Prova:
Seja ǫ > 0 tal que r(A) + ǫ < 1. Pelo Teorema 2.1.14, existe k · kA,ǫ norma em X,
equivalente `a | · |, tal que kAkA,ǫ ≤ r(A) + ǫ < 1. Logo, A ´e uma contra¸c˜ao em rela¸c˜ao `a
norma k · kA,ǫ.
Proposi¸c˜ao 2.1.17. Sejam X espa¸co de Banach, Γ subconjunto compacto de um espa¸co de Banach. Suponhamos cont´ınua a aplica¸c˜ao Γ∋ γ 7→ Aγ ∈ L(X) e que |λ| < 1, ∀λ ∈ σ(Aγ).
Ent˜ao, existem M > 0 e θ ∈ (0, 1) tais que |Ak
γ| ≤ Mθk para quaisquer γ ∈ Γ e k ∈ N. Prova: Sejam γ ∈ Γ, k ∈ N, A = Aγ ∈ L(X), M := sup λ∈Cθ ¯ ¯(Aγ− λ)−1 ¯ ¯= max λ∈Cθ ¯ ¯(Aγ− λ)−1 ¯ ¯, Cθ o c´ırculo de centro na origem e raio θ e γ orientada positivamente. Por [28], p´agina 287, temos que Ak = 1 2πi I Cθ λkRλdλ ⇒ Ak = 1 2πi I Cθ λk(A− λ)−1dλ ⇒ |Ak| ≤ 1 2πλ∈Csupθ ¯ ¯λk(Aλ)−1 ¯ ¯2πθ≤ Mθk+1 ≤ Mθk.
Defini¸c˜ao 2.1.4. Seja H espa¸co de Hilbert e A um operador em H. Por [12], p´agina 39, existe um ´unico operador A∗, chamado adjunto de A, tal que (Ax|y) = (x|A∗y), para todo
x, y ∈ H; e |A∗| = |A|
Proposi¸c˜ao 2.1.18. Sejam X espa¸co de Banach, Γ um subconjunto compacto de um espa¸co de Banach e fk: Γ→ X fun¸c˜oes cont´ınuas, com |fk(γ)| ≤ αk, ∀γ ∈ Γ, e P αk<∞. Ent˜ao
a aplica¸c˜ao γ 7→P∞
k=0fk(γ) =: F (γ) ´e uniformemente cont´ınua em Γ.
2.1 Teoremas e M´etodos 49 Dado ǫ > 0,∃ k0(ǫ) tal que n ≥ k0 e
¯ ¯ ¯ ¯ ¯ k0 X k=0 fk(x)− F (γ) ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ < ǫ⇒ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ∞ X k=k0+1 fk(γ) ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ≤ ∞ X k=k0+1 αk < ǫ,∀γ ∈ Γ Assim, temos: |F (γ1)− F (γ2)| = ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ k0 X k=0 fk(γ1) + ∞ X k=k0+1 fk(γ1)− k0 X k=0 fk(γ2)− ∞ X k=k0+1 fk(γ2) ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ = ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ k0 X k=0 |fk(γ1)− fk(γ2)| ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ + 2ǫ.
Tomamos ent˜ao fk, k = 0, ..., k0. Assim, ∃ δk = δk(ǫ) > 0 tal que
|fk(γ1)− fk(γ2)| <
ǫ k0+ 1
, para|γ1− γ2| < δk.
Tomando δ = min{δk, k = 0, .., k0}, temos:
|γ1− γ2| < δ ⇒ |F (γ1)− F (γ2))| <
ǫ k0+ 1
.(k0 + 1) + 2ǫ = 3ǫ.
Daqui para a frente assumimos que H =Rm; e fixamos as matrizes, n× n,
Aγ, C e Bγ :=P∞k=0(A∗γ)kCAkγ, com γ ∈ Γ, e
Γ subconjunto compacto de um espa¸co de Banach. (2.6) Seja x = x1 ... xm ∈ H
e A = (aij). Denotamos x∗ = [x1 ... xm] e A∗ pela matriz transposta conjugada de A.
Consideraremos os operadores deL(H) definidos da seguinte maneira: dada a matriz A e x como explicitados acima, Ax ´e definido por
(aij) x1 ... xm .
Neste caso, o operador A∗ estar´a relacionado com a matriz transposta conjugada de
A = (aij).
Teorema 2.1.19. Se |λ| < 1, ∀λ ∈ σ(Aγ), ent˜ao a s´erie P∞k=0(A∗γ)kCAkγ ´e absolutamente
uniformemente convergente e a aplica¸c˜ao γ 7→ Bγ =P∞k=0(A∗γ)kCAkγ ´e cont´ınua.
Prova:
De fato, pela Proposi¸c˜ao 2.1.17, existem M > 0 e θ ∈ (0, 1) tais que |Ak
γ| ≤ Mθk para quaisquer γ ∈ Γ, θ ∈ (0, 1) e k ∈ N. Logo, |Bγ| ≤ ∞ X k=0 |(A∗ γ)k||C||Akγ| = ∞ X k=0 |A∗γ|k|C||Aγ|k = ∞ X k=0 |Aγ|k|C||Aγ|k = ∞ X k=0 |C||Aγ|2k = |C| ∞ X k=0 |Aγ|2k ≤ |C|M2 ∞ X k=0 θ2k.
Assim, Bγ converge absolutamente e pela majora¸c˜ao da s´erie num´erica |C|M2P∞k=0θ2k,
decorre a convergˆencia uniforme da s´erieP∞
k=0(A∗γ)kCAkγ. Pela Proposi¸c˜ao 2.1.18, a aplica¸c˜ao
γ 7→ Bγ ´e cont´ınua.
Defini¸c˜ao 2.1.5. Seja V : Rm → R. Dizemos que V ´e definida positiva em rela¸c˜ao `a x
se V (x) = 0 e existir uma vizinhan¸ca G de x tal que V (x) > 0,∀x ∈ G, x 6= x. Dizemos simplesmente que V ´e definida positiva se V ´e definida positiva em rela¸c˜ao `a origem, isto ´e, V (0) = 0 e V (x) > 0 para x em uma vizinhan¸ca de 0 e x6= 0. Ainda, se D ´e um operador em Rm, dizemos que D ´e definida positiva se a forma quadr´atica (Dx|x) := x∗Dx for definida
2.1 Teoremas e M´etodos 51 Proposi¸c˜ao 2.1.20. S˜ao v´alidas as seguintes afirmativas:
(i) A∗
γBγAγ− Bγ =−C;
(ii) Se C ´e definida positiva, ent˜ao Bγ tamb´em ´e definida positiva;
(iii) Se C ´e sim´etrica, ent˜ao Bγ tamb´em ´e sim´etrica.
Prova: Fixemos A := Aγ e B := Bγ. Seja 06= x ∈ Rm. (i) A∗BA− B = A∗ Ã ∞ X k=0 (A∗)kCAk ! A− B = ∞ X k=0 (A∗)k+1CAk+1− B = ∞ X k=0 (A∗)k+1CAk+1+ C − C − B = ∞ X k=0 (A∗)kCAk− C − B = B− C − B = −C.
(ii) Notemos que x∗Cx > 0. Assim,
(Bγx|x) = x∗Bγx = x∗ Ã ∞ X k=0 (A∗)kCAk ! x = ∞ X k=0 x∗¡(A∗)kCAk¢ x = ∞ X k=0 x∗(A∗)kCAkx = ∞ X k=0 ¡Akx¢∗ CAkx > 0.
(iii) B∗ = Ã ∞ X k=0 (A∗)kCAk !∗ = ∞ X k=0 ¡(A∗)kCAk¢∗ = ∞ X k=0 ¡CAk¢∗ ¡(A∗)k¢∗ = ∞ X k=0 ¡Ak¢∗ CAk = ∞ X k=0 (A∗)kCAk = B.
Teorema 2.1.21. Seja C definida positiva e suponhamos |λ| < 1, ∀λ ∈ σ(Aγ). Seja Tγx :=
Aγx e Vγ(x) = (Bγx|x) = x∗Bγx,∀x ∈ Rm. Ent˜ao, para todo x ∈ Rm e todo γ ∈ Γ, temos
que:
(i) Vγ ´e definida positiva e existe constante c0 > 0 tal que − ˙Vγ(x) = x∗Cx ≥ c0|x|2,∀x ∈
Rm;
(ii) Existem constantes c1, c2 > 0 tais que c1|x|2 ≤ Vγ(x)≤ c2|x|2,∀x ∈ Rm.
Prova:
(i) Pelo Teorema 2.1.19, Bγ ´e cont´ınua em γ. Como C ´e definida positiva, ent˜ao B
´e definida positiva, devido `a Proposi¸c˜ao 2.1.20-(ii). Isto implica que V ´e definida positiva. Para simplificar nota¸c˜oes, coloquemos A := Aγ, B := Bγ, T := Tγ e V := Vγ.
2.2 Exemplos de Sistemas N˜ao Lineares 53