O universo de pesquisas realizadas no contexto da educação e, especificamente, na Educação Matemática, é amplo e suas contribuições são as mais variadas possíveis. Para corroborar o estudo do nosso tema buscamos, incialmente, encontrar pesquisas que evidenciassem a resolução de problemas nos anos iniciais e, em especial, que abordassem as noções de Contrato Didático e da Teoria das Situações Didáticas. Constatamos, em nossa busca, que há sim, trabalhos com estes temas, porém não há muitos que tratam dessas noções nos anos iniciais da escolaridade.
Assim, nesta seção, faremos a apresentação de algumas pesquisas que consideramos pertinentes em nossa busca na correlação ao tema por nós desenvolvido, nas quais encontramos contribuições às discussões que propomos. Priorizamos assim, as que tinham como cenário os anos iniciais (ou séries próximas, como a 5ª série, atual 6º ano) e que tivessem também um olhar para a figura do professor. A pesquisa de Fabiani (1998) da Unesp–Rio Claro, mesmo tendo sido realizada com alunos do Ensino Médio, atraiu especificamente nossa atenção por desenvolver um estudo pautado em uma opção metodológica bastante similar à citada e aplicada pelos sujeitos de nossa investigação nas aulas em que trabalham resolução de problemas, denominada por eles de Painel de Soluções.
No artigo de Pessoa (2004), encontramos o relato de um estudo, cuja investigação contou também com alunos do quinto ano (quarta série). Foi realizado com 50 alunos de 9 a 13 anos de duas quartas séries de uma escola pública estadual de Olinda, Pernambuco. O trabalho foi desenvolvido com uma dupla de cada vez, onde os alunos resolviam três problemas, sendo orientados para um ajudar o outro a compreender o problema, “pensando em voz alta”, para que um soubesse o que o outro estava pensando.
Foi realizada uma análise qualitativa dos dados, observando-se as estratégias desenvolvidas pelas duplas ao resolverem os problemas. Procurou- se analisar como os alunos compreendiam e resolviam os problemas e a influência do contrato didático nas estratégias de solução.
Segundo a autora, os problemas apresentados não eram cobertos pelo contrato didático, pois tratavam de conteúdos ainda não vistos formalmente pelos alunos da 4ª série. Esses problemas foram denominados problemas abertos, e caracterizam-se pela existência de vários caminhos de resolução que permitem chegar à solução, ao contrário dos problemas “fechados” – aqueles comuns em sala de aula e nos livros didáticos nos quais o aluno sabe que, fazendo determinada conta consegue resolvê-lo, ou seja, fazem parte do contrato didático em matemática – que diz que todo problema é resolvido através de uma conta e que, geralmente, seu enunciado dá a pista sobre qual operação utilizar (Henry, 1991, apud Pessoa, 2004).
Problemas abertos encontram-se dentro de um domínio conceitual familiar ao aluno (Medeiros, 1999), o qual precisará desenvolver uma estratégia espontânea de resolução, amparado em procedimentos anteriores e não amparado em ensino direto de um conteúdo, uma vez que este ainda não foi trabalhado em sala de aula. Portanto, apesar de fazer parte de seu domínio conceitual, o aluno ainda não está “instrumentalizado” sobre a “técnica” de resolução.
Percebeu-se, fortemente, as regras implícitas do contrato didático na aplicação da pesquisa. O primeiro procedimento das duplas, apesar das instruções dadas, foi sempre utilizar uma das operações que eles já conheciam.
Ao serem questionados pelo pesquisador se a resposta encontrada era válida para o problema e sobre o que entenderam sobre o mesmo, os alunos voltavam à resolução entendendo que haviam feito errado e passavam então a outras tentativas, com outras operações ou buscando palavras que servissem de pistas. Só utilizavam novas estratégias quando o experimentador os lembrava que poderiam utilizá-las e quando se esgotavam todas as possibilidades de operações.
Essa resposta decorre de uma das regras do contrato didático que diz que, quando o professor pergunta sobre a resolução, é porque algo não está certo e quando ele não fala nada é porque está certo.
Observou-se que, mesmo iniciando espontaneamente as resoluções obedecendo a regras do contrato didático, os alunos, ao serem incentivados,
desenvolveram estratégias interessantes de resolução. Isso se deve, segundo a autora, ao uso de problemas abertos, que oferecem essa possibilidade de criar diferentes caminhos, levantar diferentes hipóteses sobre a resolução e o resultado, ou seja, favorecem a quebra das regras do contrato didático vigente em resolução de problemas matemáticos.
Outra pesquisa de mestrado, Medeiros (1999), despertou nosso interesse por investigar, de maneira correlata, sobre a influência do contrato didático na resolução de problemas, sublinhando também o papel do professor nesta relação. O objetivo era observar como a relação professor/aluno/conhecimento, inserida no sistema didático e observada à luz do contrato didático, poderia ser alterada quando passassem a trabalhar, na sala de aula com os problemas abertos, procurando estabelecer uma comparação entre o trabalho com os dois tipos de problemas. Além disso, observar as possíveis mudanças que poderiam ocorrer na variação do trabalho com problemas fechados para abertos. Foram observadas as respostas e estratégias dos alunos diante de problemas que não induzissem à forma de resolução (abertos). A pesquisa foi realizada com uma turma de 5ª série de uma escola estadual de Recife. Antes, foi feita uma entrevista com o professor da turma para explicar o que era considerado problema fechado e aberto, saber os conteúdos trabalhados recentemente, livro didático adotado, quais suas expectativas quanto ao trabalho com resolução de problemas e como vinha trabalhando este tema. Na primeira parte, foi pedido ao professor que elaborasse um problema fechado por sessão. Ele utilizou o livro didático e elaborou seis problemas. Na segunda parte, o professor aplicou os problemas abertos, que foram levados pela pesquisadora, para evitar que o professor recaísse nos efeitos do contrato didático e “fechasse” o problema. O que emergiu da análise desse experimento foi a possibilidade de observar como a relação do professor com o conhecimento, em cada uma das fases, não permaneceu a mesma. Com os problemas fechados, ele passou a impressão aos alunos de se tratar uma atividade familiar para ambos. Nesse caso o conhecimento estava próximo do professor. Já com os problemas abertos, havia um maior distanciamento entre o professor e o conhecimento (aqui representado pelo problema matemático). Na primeira fase ele dizia, subliminarmente, que o aluno deveria utilizar as regras do contrato didático para resolver os problemas.
Na segunda, com os problemas abertos, ele interagia com os alunos para ajudar a estabelecer novas regras. Ao terminar esta pesquisa, levando em conta a relação professor/aluno/conhecimento, foi observado que no trabalho com problemas abertos ocorreu uma mudança na relação do professor com o conhecimento e do professor com o aluno. Em cada fase do experimento, houve uma clara diferença nessas relações. No caso da relação do aluno com o conhecimento, havia uma maior dificuldade de surgir um novo posicionamento, o qual poderia permitir a exploração de novas estratégias de resolução. Percebe- se que existiram, ao longo da pesquisa, dois contratos didáticos: um com problemas fechados e outro nas sessões com problemas abertos.
Cruz (2006), em sua pesquisa qualitativa de mestrado profissional em Educação Matemática realizada na PUC/SP, buscou analisar e identificar concepções, crenças, atitudes e práticas de professores de 1ª a 4ª séries do Ensino Fundamental de uma escola da rede pública estadual de São Paulo sobre o tema Resolução de Problemas e a disposição, por parte desses professores, em ouvir a voz do aluno durante o processo de ensino- aprendizagem; e se discussões, sugestões e encaminhamentos de atividades em reuniões pedagógicas podem ser levadas a efeito, permitindo mudanças de concepções com reflexos na prática desenvolvida na sala de aula. A pesquisa desenvolveu-se por meio de discussões de textos, atividades, procedimentos e processos, realizados em reuniões pedagógicas com todo o grupo de professores da escola; da gravação das aulas de quatro professoras de 1ª a 4ª série (uma de cada série) e assistência e análise destas por parte do pesquisador e dos sujeitos da investigação com posteriores entrevistas com essas professoras para a reflexão sobre a prática desenvolvida .O objetivo deste estudo foi contribuir para o aperfeiçoamento de ações de formação de professores em serviço tendo a escola como lócus e a perspectiva de constituição de grupos de estudo e reflexão sobre a própria prática com foco na resolução de problemas. As questões de pesquisa foram as seguintes: Que concepções, professoras de 1ª a 4ª série do Ensino Fundamental de uma escola da rede pública estadual de São Paulo, têm sobre Resolução de Problemas e que atitudes revelam frente ao tema? Há disposição, por parte dessas professoras, em ouvir a voz do aluno durante o processo de ensino-
aprendizagem e como elas conduzem seu discurso para permitir a participação efetiva do grupo de alunos na aula e desencadear um processo de discussão de hipóteses e raciocínios envolvidos e desenvolvidos para a resolução de problemas e das situações-problema propostos? A HTPC pode ser um espaço de formação continuada de professores que permita reflexões e provoque modificações no trabalho desenvolvido em sala de aula? As análises concluíram que, quanto à natureza da resolução, as professoras polivalentes que participaram do estudo a concebiam como uma maneira de apresentar a aplicação da matemática essencialmente em relação à habilidade de realizar cálculos e que os alunos para resolver problemas devem dominar alguns pré- requisitos e a teoria pertinente, ler e interpretar um texto escrito. Também concluiu-se que as professoras compreendiam a resolução de problemas como uma aplicação de algoritmos e que os problemas são utilizados para testar a aprendizagem sobre os conteúdos matemáticos abordados e não como metodologia de ensino. Quanto à HTPC, foi considerada como um importante espaço de formação continuada, porém insuficiente para que se tenha uma mudança de impacto no processo de ensino e aprendizagem.
A dissertação de mestrado de Fabiani (1998), desenvolvida na Unesp – Rio Claro, intitulada “Números Complexos via Resolução de Problemas”, teve como objetivo principal apresentar uma proposta de trabalho para a sala de aula direcionada ao ensino-aprendizagem dos números complexos com compreensão e significado, no Ensino Médio. A proposta foi elaborada segundo o ensino da matemática via resolução de problemas. Para desenvolver este projeto foi necessário trabalhar sobre o conhecimento matemático dos professores e sobre as crenças que traziam a respeito da matemática e do ensino-aprendizagem de matemática. Com a participação dos professores, esquematizaram uma aula na qual um objeto matemático fosse trabalhado, visando a um ensino-aprendizagem acompanhado de compreensão e significado, através da resolução de problemas. A proposta desenvolveu-se da seguinte forma: (a) Formar Grupos e entregar uma atividade, valorizando os processos de interação e conhecimento compartilhado; (b) Destacar o papel do professor: mudando-o de comunicador do conhecimento para o de observador, organizador, mediador, controlador e incentivador da aprendizagem; (c) Resultados na lousa: todos os resultados
obtidos pelos alunos são expostos: certos, errados ou feitos por diferentes procedimentos ou estratégias; (d) Plenária: O professor chama todos os alunos, de todos os grupos, para uma assembleia plena, para defenderem seus pontos de vista e escutarem os dos colegas; (e) Análise dos resultados: nessa fase os pontos de dificuldade descobertos pelos alunos são novamente trabalhados. Surgem problemas secundários que, se não resolvidos, poderão impedir que se leve o trabalho à frente. O aspecto exploração é deveras importante nesta análise; (f) Consenso: a partir da análise feita, com a decorrente retirada das dúvidas, busca-se um consenso sobre o resultado pretendido; (g) Formalização: Num trabalho conjunto dos alunos com o professor, com este último dirigindo o trabalho, é feita uma síntese do que se objetivava aprender a partir do problema dado. São colocadas as devidas definições, identificadas as propriedades e feitas as demonstrações, dando destaque ao que de novo se construiu em matemática, utilizando já novas terminologias. A pesquisa valorizou esse tipo de abordagem incentivando-a para a prática pedagógica em matemática.
Terminada esta seção que agrega contribuições interessantes à nossa investigação e por consequência à análise de nossos dados, passaremos no próximo capítulo à descrição de nossa metodologia.
CAPÍTULO TRÊS Não basta acumular dados. É preciso articular, deduzir uma coisa de outra. O conhecimento é um entrelaçamento de significados.
Nilson José Machado APORTES METODOLÓGICOS
O objetivo deste capítulo é apresentar o referencial metodológico, bem como descrever o percurso e os procedimentos desenvolvidos na realização desta pesquisa. Também caracterizaremos os instrumentos utilizados na investigação, os sujeitos participantes e o contexto no qual se inserem.
3.1 Natureza e procedimentos metodológicos
3.1.1 Pesquisa Qualitativa
Para responder aos questionamentos realizados neste trabalho, optamos por uma pesquisa que se caracteriza como qualitativa. Nessa abordagem, de acordo com Appolinário (2009, p.155), “os dados são coletados através de interações sociais e analisados subjetivamente pelo pesquisador”.
Pensando no contexto em que se insere o tema abordado, justificamos a escolha da pesquisa qualitativa por concordarmos com Luna (1998) e Lüdke e André (1986) quando asseveram que a pesquisa qualitativa preocupa-se com um nível de qualidade que não pode ser quantificado diretamente e atua em um universo de significados, motivos, crenças e valores.
Desta forma, compreendemos que, a pesquisa qualitativa seria a mais indicada para atingir os objetivos a que nos propusemos e responder às perguntas que desencadearam este estudo. Como a origem de nossas questões, retomamos, nasceu da própria atuação em sala de aula, é para ela que voltamos nossas lentes de observação, porém sob novo prisma, o de entender os fenômenos que perpassam as aulas de matemática dos anos
iniciais, do ponto de vista da Teoria das Situações Didáticas e em particular, como se manifestam os fenômenos relativos ao contrato didático, suas rupturas e negociações levando em conta todo o dinamismo que ocorre nesse ambiente.
Segundo Morse (1994, apud BORBA E ARAÚJO, 2004, p.220): “A chave para selecionar um tópico de pesquisa com qualidade é identificar algo que prenderá nossa atenção no decorrer do tempo”.
E quando um professor (de Matemática) se dispõe a realizar uma pesquisa na área de Educação (Matemática), talvez seja porque ele vem problematizando sua prática, o que poderá levá-lo a se dedicar com afinco ao desenvolvimento de uma pesquisa originada dessa problematização, e, para isso, é preciso que ele sintetize suas inquietações iniciais em uma (primeira) pergunta diretriz. Isso está de acordo com Morse (1994), quando afirma que, muitas vezes, as questões de pesquisa se originam na própria prática profissional do pesquisador (MORSE apud BORBA E ARAÚJO, 2004, p. 220).
Justamente por buscarmos respostas às questões nascidas em nossa própria prática profissional, e por suas particularidades já descritas, outro ponto que justifica a escolha pela abordagem qualitativa é sua essência descritiva, fundamental para a compreensão dos fenômenos que queremos investigar. Oliveira (2007, p.30) traz à tona a importância da descrição para a interpretação dos dados:
Uma pesquisa de caráter qualitativo é descritiva, sendo que palavras e/ou imagens são mais adequadas à descrição do que números. São comuns na apresentação dos resultados, excertos retirados dos dados, de forma a “ilustrar e substanciar a apresentação”, procurando respeitar a forma pela qual foram obtidos. Os relatórios resultantes podem, desta maneira, surgir de forma minuciosa, considerando que nenhuma visão de mundo pode ser reduzida à trivialidade e nenhum detalhe é vazio de significado (OLIVEIRA, 2007, p.30).
Bogdan e Biklen (1994) também apresentam algumas características que delimitam e especificam a pesquisa qualitativa, as quais se afinaram efetivamente com os propósitos deste trabalho. São elas:
O pesquisador é o instrumento mais valioso neste tipo de estudo e o ambiente natural sua fonte direta de dados. Os autores enfatizam a
relevância do contexto onde ocorrem os fenômenos e a presença do investigador in loco permite que este possa analisá-lo e compreender melhor como ocorrem as interações em suas diversas perspectivas (realizamos questionários com professores na escola e depois fizemos observação de suas aulas).
“Os dados coletados são predominantemente descritivos...Todos os dados da realidade são considerados importantes”. Assim, o material coletado nessa modalidade de pesquisa consiste de abundantes descrições de pessoas, situações e fatos; pode incluir transcrições de entrevistas, relatos, questionários, fotografias etc. (realizamos detalhadas descrições das aulas as quais assistimos, bem como dos sujeitos, do ambiente investigado e da aplicação dos questionários).
A ênfase é dada muito mais para o processo da investigação do que para o produto ou resultados; o que importa é a maneira como ocorrem as interações na problemática observada e em seu ambiente natural. Assim, é sempre possível que as interações tragam respostas para as questões elaboradas, porém também é provável que levantem ou tragam à tona outras questões entrelaçadas à teoria que embasou determinado estudo. O “significado” que os sujeitos dão aos fatos deve ser um foco de atenção
sui generis; em sua observação o pesquisador deve tentar apreender as diferentes perspectivas que estes tenham sobre as questões focalizadas e não perdê-las de vista em suas análises (preparamos um questionário que objetivou levantar o perfil dos professores e suas concepções sobre a Resolução de Problemas).
Ao refletir sobre o processo de observar e descrever, não podemos nos furtar do pensamento sobre o ato de interpretar. Optamos também por esta escolha na construção do método, o enfoque interpretativo. Isto posto, julgamos que, como o objeto de estudo desta pesquisa são as relações que se desenvolvem nas aulas de matemática, e as posturas metodológicas dos professores quanto à Resolução de Problemas, bem como suas concepções quanto a este tema e a interferência que exercem em sua prática, entendemos que a observação de suas aulas e subsequentes descrições teriam um papel
imprescindível na coleta e posterior análise de dados, somando-se à interpretação, fundamentada em nosso quadro teórico.
Nesse sentido Bogdan e Biklen (1994, pp.205-206), refletem sobre essa abordagem, considerando que a tarefa analítica consiste no trabalho de “interpretar e tornar compreensíveis os materiais recolhidos (...)”. Além disso, afirmam que a tarefa de análise pode ser concomitante em relação à coleta de dados e que esta abordagem é utilizada mais frequentemente por pesquisadores qualitativos.
Para Lüdke e André (1986), analisar os dados significa “trabalhar” todo o material apreendido no decorrer da investigação, abrangendo todas as técnicas de coleta que foram empregadas. Afirmam que o trabalho de análise consiste na organização desse material num primeiro momento; identificando tendências e padrões relevantes. Em um segundo momento, o movimento é o de reavaliação, buscando-se relações e inferências em um nível de abstração mais elevado.
Para as autoras, o trabalho de análise está presente em vários estágios da investigação, porém, ocorre de forma mais sistemática e formal após o término da fase de coleta. Desde o início do estudo, fizemos uso de procedimentos analíticos, como verificarmos, por exemplo, a pertinência das questões elaboradas frente às características do fenômeno pesquisado.
Assim, procedemos nesse estudo, inclusive quanto à formação das categorias de análise, as quais trataremos no capítulo a seguir. Vale ressaltar que o método de análise supracitado ocorreu processualmente e de maneira gradativa, apoiando-se fundamentalmente nos princípios teóricos adotados como diretrizes para compreensão da problemática investigada. Mesmo a execução de tarefas “mecânicas”, como as transcrições de aulas gravadas em áudio, por exemplo, foram momentos que trouxeram reflexões acerca dos propósitos investigativos. A leitura atenta às respostas dos sujeitos aos questionários, também contribuiu e orientou os focos de observação das aulas, bem como suas análises em conformidade com a proposta do estudo.
No contexto deste trabalho, a opção pela pesquisa qualitativa mostrou-se, desde os estágios iniciais do planejamento, aquela que nos parecia a mais adequada. As questões geradoras da investigação nos impulsionavam a uma
busca de sentidos e significados e apresentavam, desde o início, um caráter bastante particular, não podendo ser generalizadas, de acordo com Oliveira (2007), em torno de quantidades sempre aplicáveis e de percentuais infalíveis, necessitando, antes, descrições que apontassem na busca de respostas direcionadas pelo problema e pelas questões norteadoras.