As estimativas dos contrastes médios das velocidades e da densidade de ondas sísmicas p e s registradas em superfície têm consumido grande parte do interesse das investigações sismológicas (Demirbarg & Çoruh, 1988). Particularmente, a inversão desses contrastes a partir de dados de AVO é um procedimento indispensável para estimar esses parâmetros, tanto pela sua grande potencialidade como discriminador litológico quanto como diagnóstico do conteúdo de saturação de fluido da formação (Regueiro & Pena, 1996; Castagna, 2001).
Nesta seção é apresentado o algoritmo de Levenberg-Marquardt, utilizado para estimar os contrastes médios relativos dos modelos A, B e C descritos e estudados na seção anterior. Os dados sintéticos obtidos a partir das equações de Knott-Zöeppritz são analisados sem e com contaminação de ruído de no máximo 5%.
5.1- FORMULAÇÃO NUMÉRICA DO ALGORITMO DE LEVENBERG-MARQUARDT O problema de inversão quadrática dos parâmetros consiste na minimização dos funcionais ppφ e spφ definidos em (4.1) e (4.2), respectivamente, e considerando-se apenas o casos dissociados.
Retomando as expressões dos funcionais, temos:
( )
( )
( )
( )
2 obs N 1 j p k M t p p t k m k obs pp R p pp ∑ = θ − θ δ −δ θ δ = δ φ (5.1)( )
( ) ( )
( )
2 obs N 1 j p k Q t p p t k q k obs sp R p sp ∑ = θ − θ δ −δ θ δ = δ φ . (5.2)O cálculo de δ que minimiza os funcionais ppp* φ e spφ é equivalente a resolver as equações
( )
p*pp
∇φ δ = 0 e
( )
p*sp
geral, ser obtida analiticamente, exigindo, portanto, as aplicações de técnicas numéricas para obtê-las. Dentre estas técnicas, o método de Newton surge como um dos mais promissores e eficientes, desde que os funcionais satisfaçam as condições necessárias para a aplicação do método. A idéia do método de Newton pode ser entendida a partir do seguinte algoritmo:
i) Escolhe-se pδ 0 inicial
ii) Resolve-se o sistema ∇2φξ
(
δpk)
∆pk = −∇φξ(
δpk)
, ,....k=0,1,2 iii) Atualiza-se o valor de δ calculando pk δpk+1= δ + ∆pk p .kiv) O processo é interrompido quando ∇φ δξ
(
pk+1)
< ε.No algoritmo acima, ξ =pp ou sp e ε corresponde a uma tolerância previamente definida.
O método de Newton normalmente deveria convergir para a solução final δ , desde que p* houvesse uma escolha adequada da estimativa inicial pδ 0. Entretanto o algoritmo pode falhar nas seguintes possíveis circunstâncias:
i) A convergência para uma solução não é garantida, por conta do caráter local do método.
ii) A matriz hessiana ∇2φξ
( )
δpk , em geral, pode apresentar problemas de mal condicionamento, podendo conduzir a singularidades ou a resultados divergentes.iii) Como somente uma solução é encontrada, mantida a condição inicial, nenhuma informação pode ser obtida das eventuais soluções não detectadas, e também não há informação se a solução obtida corresponde ao mínimo global ou não.
Devido às limitações desse algoritmo optou-se para o uso do algoritmo de Levenberg- Marquardt.
5.2 – ALGORITMO DE LEVENBERG-MARQUARDT
Como referido acima, uma das principais limitações do método de Newton envolve o comportamento da matriz hessiana ∇2φξ
( )
δpk , principalmente com relação ao item iii). Diante disto, torna-se essencial se adotar uma estratégia alternativa quando ocorrer um mal- condicionamento extremo. Neste 0caso, o algoritmo de Levenberg-Marquardt surge como um algoritmo bastante robusto e muito usual em caso de ajustes não lineares. Esse algoritmo se encarrega de modificar e inverter a matriz hessiana de forma a evitar o mal-condicionamento; essa modificação é feita a partir da alteração apenas das componentes a da diagonal principal ii de ∇2φξ( )
δpk , resultando em componentes modificadas a'ii =aii+ µ . Algumas implementações realizam esta modificação na forma aii' =a (ii 1+ µ), porém com efeitos similares.A escolha do parâmetro µ deve ser bastante criteriosa, caso contrário o algoritmo não terá uma convergência garantida. As possíveis condições na escolha de µ são:
i) Se µ for muito grande, a matriz hessiana modificada torna-se dominante em relação a matriz hessiana original. Assim sendo o procedimento de minimização segue uma trajetória em zig-zag, caso o ponto inicial esteja localizado próximo ao mínimo. As iterações tornam-se muito lentas, em virtude do elevado número de passos requeridos. Caso contrário, se o ponto inicial escolhido estiver distante do mínimo as iterações serão bem mais rápidas, com um número menor de passos. Isto, porém, irá depender da escolha apropriada de µ para obter melhores resultados. ii) Se µ for muito pequeno, as direções de busca são similares às do método de Newton.
O parâmetro µ deve ser escolhido de forma a evitar essas duas situação citadas acima, e esse valor precisa ser relacionado com a magnitude (módulo) da matriz hessiana, uma medida provida pelo traço dessa matriz que é dada:
( )
∑
∑
( )
δ ξ φ ∇ = λ = δ ξ φ ∇ ii k 2 i k 2 p p tr . (5.3)sendo cada λ o auto-valor de i
( )
ii k 2 p δ ξ φ∇ . Em geral, µ apresenta valores da ordem de 10−4.
O valor do parâmetro µ pode ser alterado a cada iteração, de forma a obter uma redução do valor das função objetivo φξ
( )
δpk , ou seja: em cada iteração k ; φξ( )
δpk é avaliado.i) Caso φξ
( )
δpk <φξ(
δpk−1)
, o valor de µ é reduzido, e passa-se para a próxima k iteração.i) Caso φξ
( )
δpk >φξ(
δpk−1)
o valor de µ é aumentado, e k φξ( )
δpk é novamente avaliado. O processo é repetido até que a condição φξ( )
δpk <φξ(
δpk−1)
seja então satisfeita.As figuras apresentadas a seguir são obtidas a partir da fixação do parâmetro do módulo de cisalhamento (δµ ), variando-se os outros dois. Estas figuras são baseadas nos modelos A, B e C descritas na seção 4, representado como modelos de baixo, moderado e alto contrastes, sem e com contaminação de 5% de ruído.
MODELO A - Rpp
(a) (b)
Curvas de contornos com as iterações Inversão dos parâmetros
(c) (d)
Curvas de contornos com as iterações Inversão dos parâmetros
Figura 5.1: (a) e (c): curvas de contornos do modelo A mostrando seus respectivos pontos de iterações; (b) e (d): coeficientes de reflexões quadráticos obtidos a partir dos dados originais e recuperados, representados pelas linhas vermelha e azul, sem e com contaminação de 5% de ruído.
MODELO B - Rpp
(a) (b)
Curvas de contornos com as iterações Inversão dos parâmetros
(c)
(d)
Curvas de contornos com as iterações Inversão dos parâmetros
Figura 5.2: (a) e (c): curvas de contornos do modelo B mostrando seus respectivos pontos de iterações; (b) e (d): coeficientes de reflexões quadráticos obtidos a partir dos dados originais e recuperados, representados pelas linhas vermelha e azul, sem e com contaminação de 5% de ruído.
MODELO C - Rpp
(a) (b)
Curvas de contornos com as iterações Inversão dos parâmetros
(c) (d)
Curvas de contornos com as iterações Inversão dos parâmetros
Figure 5.3: (a) e (c): curvas de contornos do modelo C mostrando seus respectivos pontos de iterações; (b) e (d): coeficientes de reflexões quadráticos obtidos a partir dos dados originais e recuperados, representados pelas linhas vermelha e azul, sem e com contaminação de 5% de ruído.
MODELO A - Rsp
(a) (b)
Curvas de contornos com as iterações Inversão dos parâmetros
(a) (d)
Curvas de contornos com as iterações Inversão dos parâmetros
Figure 5 4: (a) e (c): curvas de contornos do modelo A mostrando seus respectivos pontos de iterações; (b) e (d): coeficientes de conversões quadráticos obtidos a partir dos dados originais e recuperados, representados pelas linhas vermelha e azul, sem e com contaminação de 5% de ruído.
MODELO B - Rsp
(a) (b)
Curvas de contornos com as iterações Inversão dos parâmetros
(c) (d)
Curvas de contornos com as iterações Inversão dos parâmetros
Figura 5.5: (a) e (c): curvas de contornos do modelo B mostrando seus respectivos pontos de iterações; (b) e (d): coeficientes de conversões quadráticos obtidos a partir dos dados originais e recuperados, representados pelas linhas vermelha e azul, sem e com contaminação de 5% de ruído.
MODELO C - Rsp
(a) (b)
Curvas de contornos com as iterações Inversão dos parâmetros
(c) (d)
Curvas de contornos com as iterações Inversão dos parâmetros
Figura 5.6: (a) e (c): curvas de contornos do modelo C mostrando seus respectivos pontos de iterações; (b) e (d): coeficientes de conversões quadráticos obtidos a partir dos dados originais e recuperados, representados pelas linhas vermelha e azul, sem e com contaminação de 5% de ruído.
5.2 – ANÁLISE DOS RESULTADOS a) Amplitudes refletidas Rpp
No caso do modelo A, as Figuras 5.1 (a) e (b) ilustram as curvas de contorno, as iterações da inversão e os gráficos comparativos das amplitudes Rpp sem ruído, enquanto as Figuras 5.1 (c) e (d) ilustram os mesmos atributos considerando-se a presença de 5% de ruído. Observa-se que, que em ambos os casos, os parâmetros Zδ e δα são muito bem recuperados, dentro do intervalo angular [0° 40°].
Quanto ao modelo B, as Figuras 5.2 (a) e (b) ilustram as curvas de contorno, as iterações da inversão e os gráficos comparativos das amplitudes Rpp sem ruído, enquanto as Figuras 5.2 (c) e (d) ilustram os mesmos atributos considerando-se a presença de 5% de ruído. Observa-se, em ambos os casos, uma boa recuperação, mas sem a performance apresentado no caso do modelo A.
Finalmente, considerando-se o modelo C, as Figuras 5.3 (a) e (b) ilustram as curvas de contorno, as iterações da inversão e os gráficos comparativos das amplitudes Rpp sem ruído, enquanto as Figuras 5.3 (c) e (d) ilustram os mesmos atributos considerando-se a presença de 5% de ruído. Os parâmetros estimados ficam um pouco distantes dos parâmetros exatos, entretanto, as amplitudes são muito bem recuperadas, refletindo a alto grau de ambigüidade já previstos na seção anterior.
b) Amplitudes convertidas Rsp
No caso do modelo A, as Figuras 5.4 (a) e (b) ilustram as curvas de contorno, as iterações da inversão e os gráficos comparativos das amplitudes Rsp sem ruído, enquanto as Figuras 5.4 (c) e (d) ilustram os mesmos atributos considerando-se a presença de 5% de ruído.
Observa-se que, no caso da amplitude sem ruído, que os parâmetros Zδ e δα são muito bem recuperados, dentro do intervalo angular [0° 40°], enquanto que no caso da amplitude com ruído não apresenta uma boa recuperação.
Quanto ao modelo B, as Figuras 5.5 (a) e (b) ilustram as curvas de contorno, as iterações da inversão e os gráficos comparativos das amplitudes Rpp sem ruído, enquanto as Figuras 5.5 (c) e (d) ilustram os mesmos atributos considerando-se a presença de 5% de ruído. Observa-se, no caso da amplitude sem ruído, uma boa recuperação, enquanto que a amplitude contaminada com 5% de ruído sofre uma pequena dispersão na amplitude invertida.
Finalmente, considerando-se o modelo C, as Figuras 5.6 (a) e (b) ilustram as curvas de contorno, as iterações da inversão e os gráficos comparativos das amplitudes Rpp sem ruído, enquanto as Figuras 5.6 (c) e (d) ilustram os mesmos atributos considerando-se a presença de 5% de ruído. Os parâmetros estimados ficam um pouco distantes dos parâmetros exatos, entretanto, as amplitudes são bem recuperadas, refletindo, como no caso Rpp, a alto grau de ambigüidade já previsto na seção anterior. Os parâmetros estimados são apresentados e comparados com os seus valores exatos nas Tabelas 5.1 a 5.6.
Dos resultados apresentados, observa-se que o parâmetro zδ apresenta excelente resolubilidade para os dados de Rpp em todos os modelos estudados. Entretanto, a sua estimativa não apresenta bom desempenho considerando-se dados de Rsp. Quanto ao parâmetro δα , a sua estimativa apresenta um bom desempenho para os dados de Rpp, no caso particular do modelo A. Com relação aos modelos B e C a recuperação desse parâmetro apresenta razoável desvio do valor observado.
Conclui–se, então, que a aplicação do Algoritmo de Levenberg-Marquardt na inversão quadrática dos parâmetros Zδ e δα apresenta bom desempenho no caso dos eventos refletidos, comportando-se, entretanto, com mais parcimônia no caso de eventos convertidos.
MODELO A
Tabela 5.1: Parâmetros reais e estimados dos coeficientes de reflexões Rpp do modelo A. Parâmetros Exato Estimado
Z
δ 0.0116 0.0117
δα 0.0165 0.0162
Tabela 5.2: Parâmetros reais e estimados dos coeficientes de conversão Rsp do modelo A. Parâmetros Exato Estimado
Z
δ 0.0116 0.0260
δα 0.0165 0.0340
δµ 0.2283 0.2283
MODELO B
Tabela 5.3: Parâmetros reais e estimados dos coeficientes de reflexão Rpp do modelo B. Parâmetros Exato Estimado
Z
δ 0.0204 0.0217
δα -0.0281 -0.1080
δµ 0.3699 0.3699
Tabela 5.4: Parâmetros reais e estimados dos coeficientes de conversão Rsp do modelo B. Parâmetros Exato Estimado
Z
δ 0.0204 0.0125
δα -0.0281 -0.0245
MODELO C
Tabela 5.5: Parâmetros reais e estimados dos coeficientes de reflexão Rpp do modelo C. Parâmetros Exato Estimado
Z
δ 0.1841 0.1818
δα 0.1364 0.3577
δµ 0.7329 0.7329
Tabela 5.6: Parâmetros reais e estimados dos coeficientes de conversão Rpp do modelo C. Parâmetros Exato Estimado
Z
δ 0.1841 0.2371
δα 0.1364 0.1948