6 Empirical Results and Analysis
6.2 Results for the growth index
Vimos na Seção 4.3 que a existência de um isomorfismo reversível-equivariante L : V → V determina a classificação reversível-equivariante em espaços auto-duais a partir da classifi- cação puramente equivariante correspondente e vice-versa. Entretanto, para a classificação de germes de aplicações reversíveis-equivariantes em espaços não auto-duais não existe uma tal associação direta com a classificação equivariante, de modo que as técnicas da Seção 4.2 devem ser aplicadas. Neste caso, podemos investigar a diferença das dimensões de subespaços de pontos fixos específicos de um subgrupo Σ de Γ, chamado σ−índice de Σ. Isto é feito em detalhes no próximo capítulo usando ferramentas de teoria de representação de grupos de Lie compactos e integração de Haar.
No contexto equivariante, a representação de Γ em V é genericamente absolutamente irredutível ([25, XIII, Proposition 3.2]) e isto implica que (dg)(0,λ)é genericamente invertível e
hiperbólica, para todo g ∈ →E(Γ) e λ não nulo. No nosso contexto, se V é auto-dual e g∗ = Lg∈ →
F(Γ), então devemos ter (dg∗)(0,λ) = L(dg)(0,λ) também genericamente invertível. Entretanto,
se V é não auto-dual, então (dg∗)(0,λ) é sempre singular, g∗ ∈ →
F(Γ), e não temos uma condição que garanta bifurcação em todo V. Portanto, neste caso, é natural restringir o estudo de bifurcações de pontos de equilíbrios de g∗ a ker(dg∗)(0,λ). O caso não auto-dual em que todas
as aplicações lineares Γ−reversíveis-equivariante são identicamente nulas ¡ker(dg∗)(0,λ) = V
¢ é totalmente degenerado do ponto de vista de bifurcação.
O Lema dos Ramos Equivariantes ([25, XIII, Theorem 3.3]) é uma ferramenta fundamental em teoria de bifurcação equivariante ([25, 26, 48, 56]). No contexto puramente equivariante, ele é o principal resultado sobre existência de ramos de pontos de equilíbrios para uma classe especial de subgrupos de isotropia, chamados axiais, sob certas condições técnicas de gene- ricidade. O resultado foi primeiramente formulado por Vanderbauwhede ([56]) para o caso de bifurcação de soluções estacionárias e então estendido a outros contextos, em particular a bifurcação de Hopf ([26]).
Nesta seção, discutimos resultados parciais em teoria de bifurcação reversível-equivariante e apresentamos a generalização do Lema dos Ramos Equivariantes para este contexto. No que segue, Γ é um grupo de Lie compacto agindo como um grupo de simetrias generalizado em V e (ρσ, V ) é a representação dual de (ρ, V ).
Seja A : V → V uma aplicação linear Γ−reversível-equivariante. Então, ker A é um subespaço Γ−invariante de V. De fato, se x ∈ ker A, então
implicando que γx ∈ ker A, para todo γ ∈ Γ. Além disso, se Γ age irredutivelmente em V, então ou ker A = {0}, ou ker A = V. No primeiro caso, A é invertível e V é um espaço vetorial auto-dual. No segundo caso, A ≡ 0 e V é não auto-dual.
Como mencionado acima, a irredutibilidade absoluta de Γ tem uma importante impli- cação em bifurcações de pontos de equilíbrios puramente equivariantes, pois determina uma situação genérica. No caso de bifurcações de pontos de equilíbrios reversíveis-equivariantes auto-duais obtemos uma interpretação análoga de genericidade. De fato, o pullback L∗restrito
a GL(V )∩ →E(Γ) é um isomorfismo sobre GL(V )∩F(Γ). Isto motiva a seguinte definição:→ Definição 4.6.1. Seja (ρ, V ) uma representação de Γ em V sob a qual V é auto-dual e seja L : V → V um isomorfismo linear reversível-equivariante. Dizemos que a representação de Γ em V é σ-absolutamente-irredutível se as únicas aplicações lineares em V que comutam e anti-comutam com Γ são as múltiplas escalares de L.
Assim, se (ρ, V ) é uma representação auto-dual de Γ em V, então (ρ, V ) é absolutamente- irredutível se, e somente se, (ρ, V ) é σ−absolutamente-irredutível, ou seja, a representação de Γ em V é genericamente σ−absolutamente-irredutível.
A seguir tratamos do Lema dos Ramos Equivariantes em nosso contexto. Seja Σ ⊆ Γ um subgrupo e considere os subespaços de pontos fixos de Σ em (ρ, V ) e (ρσ, V ), a saber
FixV(Σ) ={x ∈ V : γx = x, ∀γ ∈ Σ}
e
FixVσ(Σ) ={x ∈ V : σ(γ)γx = x, ∀γ ∈ Σ}.
Notamos que ou FixV(Σ)∩ FixVσ(Σ) = {0} (se Σ contém pelo menos uma anti-simetria), ou
FixV(Σ) = FixVσ(Σ) (caso contrário). Σ é chamado axial se dim FixV(Σ) = 1.
Definição 4.6.2. Seja Σ um subgrupo de Γ. Então o σ−índice de Σ em V é definido como sV(Σ) = dim FixV(Σ)− dim FixVσ(Σ).
Se a ação de Γ em V é absolutamente-irredutível então FixV(Γ) = {0} [25, XII, Lemma
3.3] e muitos dos resultados no contexto puramente equivariante derivam deste fato. Se a ação de Γ em V é irredutível e não trivial então FixV(Γ) = FixVσ(Γ) = {0}. Para verificar
isto, basta notar que um subespaço de V é invariante segundo ρ se, e somente se, é invariante segundo a representação dual ρσ.
A proposição seguinte é a versão reversível-equivariante de [25, XIII, Proposition 2.2]:
Proposição 4.6.3. Seja Γ um grupo de Lie compacto agindo em V como um grupo de sime- trias generalizado. São equivalentes:
(a) FixVσ(Γ) = {0};
(b) Qualquer aplicação Γ-reversível-equivariante g : V → V satisfaz g(0) = 0;
(c) A única função linear Γ-invariante segundo a representação dual ρσ é a função nula.
Demonstração: : (a) ⇒ (c) : Seja L : V → R uma função linear Γ−invariante segundo ρσ.
Podemos escrever L na forma
L(x) =hv, xi,
para algum v ∈ V, onde h , i é um produto interno Γ−invariante em (ρσ, V ), ou seja,
hρσ(γ)v, ρσ(γ)wi = hv, wi, ∀γ ∈ Γ, v, w ∈ V.
Se v ∈ FixVσ(Γ) = {0}, então L(x) = h0, xi = 0 e (c) estará provado. Mostramos, então,
que v ∈ FixVσ(Γ). De fato, a invariância de L implica que L(x) = L
¡
σ(γ−1)γ−1x¢, para todo
γ ∈ Γ. Então,
hv, xi = hv, σ(γ−1)γ−1xi = hσ(γ)γv, xi, ∀γ ∈ Γ, x ∈ V,
a última igualdade seguindo da invariância do produto interno. Logo, σ(γ)γv = v, para todo γ ∈ Γ, como desejado.
(c) ⇒ (b) : Seja g : V → V uma aplicação Γ−reversível-equivariante. Defina a função linear L : V → R por
L(x) = hg(0), xi,
onde h , i é um produto interno Γ−invariante em (ρσ, V ). Então, L é Γ−invariante segundo
ρσ. De fato, para todo γ∈ Γ e todo x ∈ V, temos:
L¡σ(γ)γx¢ = g(0), σ(γ)γx® =σ(γ−1)γ−1g(0), x® = g¡σ(γ−1)γ−10¢, x®=g(0), x® = L(x).
Por hipótese, L ≡ 0, o que implica que g(0) = 0.
(b) ⇒ (a) : Definimos a aplicação constante g : V → V por g(x) = v, para todo x ∈ V e v ∈ FixVσ(Γ) arbitrário. Então,
g(γx) = v = σ(γ)γv = σ(γ)γg(x), ∀γ ∈ Γ, x ∈ V,
ou seja, g é Γ−reversível-equivariante. Por hipótese, v = g(0) = 0 e, portanto, FixVσ(Γ) = {0}.
Teorema 4.6.4. (Lema dos Ramos Equivariantes generalizado) Seja Γ um grupo de Lie compacto agindo em V como um grupo de simetrias generalizado. Assumimos que
a) FixVσ(Γ) ={0};
b) Σ⊂ Γ é um subgrupo de isotropia axial tal que sV(Σ) = 0;
c) g : (V × R, 0) → V é um problema de bifurcação Γ−reversível-equivariante tal que (dgλ)0,0(v0)6= 0,
onde 0 6= v0 ∈ FixV(Σ).
Então, existe um único ramo suave de soluções¡tv0, λ(t)
¢
para g(x, λ) = 0, onde cada solução, para t 6= 0, tem subgrupo de isotropia Σ.
Demonstração: É imediato que
g¡FixV(Σ)× R
¢
⊆ FixVσ(Σ).
Logo, g(v0, λ) ∈ FixVσ(Σ), para todo λ ∈ R. Supomos v0 6= 0 e w0 6= 0 geradores dos
subespaços unidimensionais FixV(Σ) e FixVσ(Σ), respectivamente. Então,
g(tv0, λ) = h(t, λ)w0,
onde h : R2 → R é uma função suave. Pela Proposição 4.6.3, g(0, λ) = 0, uma vez que
FixVσ(Γ) ={0}. Então,
0 = g(0, λ) = h(0, λ)w0,
o que implica que h(0, λ) = 0. Aplicando o Teorema de Taylor para h temos
g(tv0, λ) = k(t, λ)tw0, (4.50)
para k : R2 → R. Derivando ambos os lados de (4.50) com respeito a t e avaliando em t = 0
temos
(dg)0,λ(v0) = k(0, λ)w0,
o que implica que k(0, 0) = 0 uma vez que (dg)0,0 = 0. Agora, derivamos ambos os lados de
(4.50) com respeito a λ e, depois, com respeito a t para obter
(dgλ)tv0,λ(v0) = (kλ)′(t, λ)tw0+ kλ(t, λ)w0.
Para t = 0 e λ = 0 temos
o que implica, por hipótese, que kλ(0, 0)6= 0.
Logo, temos k(0, 0) = 0 e kλ(0, 0) 6= 0. Aplicando o Teorema da Função Implícita para
resolver k(t, λ) = 0 para λ = λ(t) temos
g¡tv0, λ(t)
¢
= k¡t, λ(t)¢tw0 = 0.
Portanto, ¡tv0, λ(t)
¢
∈ FixV(Σ)× R é um ramo de soluções suaves para g(x, λ) = 0. Note
que cada solução, para t 6= 0, tem Σ contido no subgrupo de suas simetrias e anti-simetrias. Como Σ é um subgrupo de isotropia, ele é o grupo de simetrias e anti-simetrias de cada solução ¡tv0, λ(t)
¢
. ¤
Observação 4.6.5. As condições impostas pelo Teorema 4.6.4 ocorrem com frequência em sistemas dinâmicos reversíveis-equivariantes. Em particular, no caso auto-dual sV(Σ) = 0,
para todo Σ ⊆ Γ. No próximo capítulo tratamos da ocorrência de sV(Σ) = 0 também para o
caso não auto-dual.
Os resultados mostrados acima para aplicações reversíveis-equivariantes (Proposição 4.6.3 e Teorema 4.6.4) são casos particulares de resultados para germes de aplicações Γ−equivariantes g : (V × R, 0) → W . Mais precisamente, para os espaços vetoriais de dimensão finita V e W significando (ρ, V ) e (η, W ), respectivamente, temos:
Proposição 4.6.6. Seja Γ um grupo de Lie compacto agindo linearmente em V e em W. São equivalentes:
(a) FixW(Γ) ={0};
(b) Qualquer aplicação Γ-equivariante g : V → W satisfaz g(0) = 0;
(c) A única função linear L : W → R Γ-invariante segundo a representação η é a função nula.
Teorema 4.6.7. Seja Γ um grupo de Lie compacto agindo linearmente em V e em W. As- sumimos que
a) FixW(Γ) ={0};
b) Σ⊂ Γ é um subgrupo de isotropia axial tal que dim FixW(Σ) = 1;
c) g : (V × R, 0) → W é um problema de bifurcação Γ−equivariante tal que (dgλ)0,0(v0)6= 0,
onde 0 6= v0 ∈ FixV(Σ).
Então, existe um único ramo suave de soluções¡tv0, λ(t)
¢
para g(x, λ) = 0, onde cada solução, para t 6= 0, tem subgrupo de isotropia Σ.
Capítulo
5
Decomposição σ−isotípica e o σ−índice
Seja Γ um grupo de Lie compacto agindo linearmente em um espaço de dimensão finita V. Como mencionado no Capítulo 1, toda representação de um grupo de Lie compacto pode ser decomposta em uma soma direta de representações irredutíveis; em consequência, V pode ser decomposto como
V = V1⊕ · · · ⊕ Vm, (5.1)
onde cada bloco isotípico Vi é a soma de todos os subespaços Γ−irredutíveis Γ−isomorfos a
um irredutível fixo Ui, i = 1, . . . , m. O processo de decomposição de V em blocos isotípicos
tem importantes implicações no estudo de problemas de bifurcação equivariantes. De fato, uma vez que toda aplicação linear puramente equivariante definida em V deixa cada bloco isotípico Viinvariante, i = 1, . . . , m ([25, XII, Theorem 3.5]), podemos olhar para as aplicações
lineares equivariantes em uma forma diagonal em blocos. No contexto reversível-equivariante, esta propriedade de invariância não vale em geral. Isto é dizer que cada bloco isotípico Vi, i = 1, . . . , m pode não ser deixado invariante por toda aplicação linear Γ−reversível-
equivariante. Em [39], os autores constroem correspondentes subespaços que são deixados invariantes por qualquer aplicação linear Γ−reversível-equivariante, chamados componentes σ−isotípicas de V . Nosso principal objetivo na próxima seção é completar tal construção e detalhar uma comparação entre ambas.
Na Seção 5.2, fornecemos uma expressão algébrica para o σ−índice sV(Σ) de um subgrupo
fechado Σ ⊆ Γ em V (Definição 4.6.2). Tal expressão aparece na Subseção 5.2.1 e é importante no estudo da estrutura de espaços vetoriais não auto-duais em termos de sua decomposição em blocos isotípicos. Para espaços auto-duais, sV(Σ) é nulo, para todo Σ ⊆ Γ. Entretanto,
a recíproca deste fato nem sempre vale. Na Subseção 5.2.2, obtemos uma expressão para sV(Σ) em termos dos σ−índices de Σ nos subespaços Γ−irredutíveis não auto-duais de V e
5.1
Decomposição
σ−isotípica
Seja (ρσ, V ) a representação dual de (ρ, V ) (Definição 1.1.2) e seja
©
(ρ1, U1), . . . , (ρm, Um)
ª
o conjunto de representações irredutíveis de Γ em V tal que cada classe de isomorfismo de representações irredutíveis contém precisamente um dos Ui. No que segue, escrevemos Ui para
denotar (ρi, Ui) e (Ui)σ para denotar o dual
¡
(ρi)σ, Ui
¢
, onde ρi = ρ|Ui e (ρi)σ = ρσ |Ui.
Começamos notando que a decomposição de V em componentes isotípicas segundo a representação ρ coincide com a decomposição de V em componentes isotípicas segundo sua representação dual ρσ. Isto é dizer que os blocos isotípicos Vi são os mesmos em ambas as
decomposições. Para verificar isto, basta notar que:
(i) um subespaço Ui é irredutível segundo ρ se, e somente se, Ui é irredutível segundo ρσ;
(ii) dois subespaços Ui e Uj são isomorfos se, e somente se, seus duais (Ui)σ e (Uj)σ são
isomorfos (segundo o mesmo isomorfismo).
Com base nestes argumentos, generalizamos ao contexto reversível-equivariante dois re- sultados úteis ([25, XII, Lemma 3.4, Theorem 3.5]) em teoria de representação de grupos de Lie compactos:
Lema 5.1.1. Seja Γ um grupo de Lie compacto agindo em V como um grupo de simetrias generalizado. Seja L : V → V uma aplicação linear Γ−reversível-equivariante e tome W ⊂ V um subespaço Γ−irredutível. Então L(W ) é Γ−invariante e ou L(W ) = {0} ou as represen- tações de Γ em W e em L(W ) são isomorfas. Em outras palavras, se L(W ) 6= {0}, então L(W ) é um subespaço Γ−irredutível de V.
Demonstração: Para mostrar que L(W ) é Γ−invariante tome z ∈ L(W ). Então z = L(w), para algum w ∈ W e γz = σ(γ)2γL(w) = σ(γ)L(γw), para todo γ ∈ Γ. A Γ−invariância de
W implica que γz ∈ L(W ), para todo γ ∈ Γ, o que prova a afirmação.
Como ker L é Γ−invariante, temos ker L ∩ W um subespaço Γ−invariante de W . A irredutibilidade de W implica que ker L ∩ W = W ou ker L ∩ W = {0}. No primeiro caso, L(W ) = {0}. No segundo caso, L|W : W → L(W ) é um isomorfismo linear que comuta e anti-comuta com a ação de Γ, implicando que as representações de Γ em W e em L(W ) são isomorfas.
Agora, seja M ⊆ L(W ) 6= {0} um subespaço Γ−invariante. Então, L−1(M ) ⊆ W
é Γ−invariante, uma vez que L−1
|L(W ) : L(W ) → W é uma aplicação linear reversível-
equivariante. A irredutibilidade de W implica que ou L−1(M ) = {0} ou L−1(M ) = W,
Corolário 5.1.2. Sejam Ui e Uj subespaços Γ−irredutíveis de V . Então, T : Ui 7→ Uj é
uma aplicação linear Γ−reversível-equivariante não nula se, e somente se, T : Ui 7→ Uj é um
isomorfismo linear Γ−reversível-equivariante.
Demonstração: Notemos primeiramente que este resultado segue diretamente do Lema 1.2.3. A condição suficiente é óbvia. Para provar a condição necessária, suponha T : Ui 7→ Uj
uma aplicação linear Γ−reversível-equivariante não nula. Estenda T a uma aplicação linear Γ−reversível-equivariante L : V → V não nula de modo que L|Ui = T. Pelo Lema anterior,
T : Ui → T (Ui) é um isomorfismo linear Γ−reversível-equivariante e {0} 6= T (Ui)⊆ Uj é um
subespaço Γ−irredutível de V . A irredutibilidade de Uj implica que T (Ui) = Uj, provando o
resultado. ¤
Observação 5.1.3. Assim, uma condição necessária e suficiente para que exista um subespaço irredutível Uj ⊆ V isomorfo ao dual de Ui ⊆ V é que exista uma aplicação linear Γ−reversível-
equivariante não nula T : V → V tal que T|Ui 6= {0}; em outras palavras, para i ∈ {1, . . . , m}
e para toda aplicação linear Γ−reversível-equivariante L : V → V , temos L|Ui ≡ 0 se, e
somente se, não existe j ∈ {1, . . . , m} tal que Ui é Γ−isomorfo a (Uj)σ.
O Lema 5.1.1 também implica em:
Proposição 5.1.4. Sejam Γ um grupo de Lie compacto agindo em V como um grupo de sime- trias generalizado e L : V → V uma aplicação linear Γ−reversível-equivariante. Decomponha V em componentes isotípicas como em (5.1). Então, para todo i∈ {1, . . . , m},
L(Vi)⊂ Vj,
para algum j = j(i) ∈ {1, . . . , m}, e vice-versa. Demonstração: Para i ∈ {1, . . . , m}, escreva
Vi = Wi1⊕ · · · ⊕ Wiα(i) (5.2)
a soma direta de subespaços Γ−irredutíveis Γ−isomorfos a Ui. Seja k ∈ {1, . . . , α(i)}. Pelo
Lema 5.1.1, ou L(Wik) = {0} ou L(Wik) é um subespaço Γ−irredutível Γ−isomorfo (por
um isomorfismo equivariante) a Uj, para um único j ∈ {1, . . . , m}. Em ambos os casos,
L(Wik)⊂ Vj e pela linearidade da L segue que
L(Vi) = L(Wi1)⊕ · · · ⊕ L(Wiα(i))⊆ Vj.
Do mesmo modo, para tal j e para k ∈ {1, . . . , α(j)}, ou L(Wjk) = {0} ou L(Wjk) é um
segundo caso, o irredutível Ui é Γ−isomorfo ao irredutível Ul e, portanto, l = i. Assim,
L(Wjk)⊂ Vi, para todo k ∈ {1, . . . , α(j)}. Novamente pela linearidade da L, segue que
L(Vj) = L(Wj1)⊕ · · · ⊕ L(Wjα(j))⊆ Vi. ¤
Temos agora em mãos as ferramentas para descrever o processo de construção de sub- espaços que são deixados invariantes por toda aplicação linear reversível-equivariante, con- cretizando assim uma generalização da decomposição isotípica de V ao contexto reversível- equivariante. Seja L : V → V uma aplicação linear Γ−reversível-equivariante arbitrária. Consideramos três casos:
1. Ui é auto dual: neste caso, L satisfaz L(Vi) ⊆ Vi. De fato, por hipótese e pela
Observação 5.1.5, segue que a componente isotípica Vi é auto-dual. Tome T : Vi → Vi um
isomorfismo linear reversível-equivariante e escreva L como L = T T−1L, onde T−1L é uma
aplicação linear puramente equivariante. Então, T−1L(V
i)⊆ Vi e segue o afirmado.
Seguindo a notação de [39], definimos o subespaço bVi = Vi, que é deixado invariante por
toda aplicação linear Γ−reversível-equivariante.
2. Ui é não auto-dual e existe Γ−irredutível Uj, com j = j(i) 6= i, tal que Ui é
Γ−isomorfo ao dual de Uj: neste caso, L satisfaz L(Vi)⊆ Vj e vice-versa. De fato, escreva
o bloco isotípico Vi correspondente ao irredutível Ui como em (5.2) e seja k ∈ {1, . . . , α(i)}
arbitrário. Por hipótese, Wik é Γ−isomorfo ao dual de Uj. Pelo Lema 5.1.1, ou L(Wik) ={0}
ou Wik é Γ−isomorfo ao dual de L(Wik) e, portanto, L(Wik) é Γ−isomorfo a Uj. Em ambos
os casos, L(Wik)⊆ Vj, para todo k∈ {1, . . . , α(i)}. Pela linearidade da L, segue que
L(Vi) = L(Wi1)⊕ · · · ⊕ L(Wiα(i))⊆ Vj.
Pelo mesmo raciocínio, obtemos L(Vj)⊆ Vi, uma vez que Uj é Γ−isomorfo ao dual de Ui.
Definimos para este caso o subespaço bVi = Vi⊕Vj, que por construção é deixado invariante
por L.
3. Ui é não auto-dual e não existe Γ−irredutível Uj tal que Ui é Γ−isomorfo ao
dual de Uj: neste caso, L(Vi) ={0}. De fato, escreva novamente Vi como em (5.2) e tome
k ∈ {1, . . . , α(i)} arbitrário. Então, pela Observação 5.1.3, L(Wik) ={0} e o resultado segue
pela linearidade de L.
Aqui, definimos o subespaço bVi = Vi, que é deixado invariante por toda aplicação linear
Na Proposição 5.1.4, mostramos que uma aplicação linear Γ−reversível-equivariante L leva uma componente isotípica Vi em uma componente isotípica Vj, para algum j = j(i). Da
discussão acima, concluímos que j independe da aplicação L e, portanto, fica bem definida a seguinte construção: existe uma permutação π de {1, . . . , m} de ordem 2 tal que
b
Vi = Vi+ Vπ(i),
onde Vπ(i) = Vi para o caso 1; Vπ(i) = Vj para o caso 2 e Vπ(i) = {0} para o caso 3. Cada
subespaço bVi é chamado componente σ−isotípica ou bloco σ−isotípico de V. A decomposição
V = bV1⊕ . . . ⊕ bVl
é chamada decomposição σ−isotípica de V.
Observação 5.1.5. Como afirmado em ([39]), cada bloco isotípico Vi é auto-dual se, e so-
mente se, o Γ−irredutível Uicorrespondente é auto-dual. A seguir, ratificamos esta afirmação:
escreva Vi como em (5.2). É claro que se Ui é auto-dual então o irredutível Wik é auto-dual,
para todo k ∈ {1, . . . , α(i)}. Consequentemente Vi é auto-dual. Por outro lado, suponha
o irredutível Ui não auto-dual. Então, para toda aplicação linear Γ−reversível-equivariante
L : V → V temos, ou L(Vi) ⊆ Vj, para algum j 6= i (caso 2.) ou L(Vi) = {0} (caso 3.). Em
ambos os casos, o bloco isotípico Vi é não auto-dual, como queríamos.
Como aparece em [39], Lamb e Roberts analisam de forma sistemática a estrutura de aplicações lineares reversíveis-equivariantes usando as componentes σ−isotípicas bVi ⊆ V. Ter-
minamos esta seção mostrando por que o processo de construção destas componentes dado em [39, Seção 3.2, pp. 272-273] deve ser completado da forma como apresentamos acima.
O problema consiste na possível não existência de uma permutação entre subespaços ir- redutíveis de V que é usada para a construção dos subespaços invariantes bVi
′
s. Mais precisa- mente, de [39] segue que existe uma permutação de ordem 2, lá denotada por σ, no conjunto das classes de isomorfismos de representações irredutíveis {(ρi, Ui) : i = 1, . . . , k}, tal que o
dual de Ui é isomorfo a Uσ(i) e que L leva a componente isotípica Vi na componente isotípica
Vσ(i) e vice-versa. Consequentemente, o subespaço
Vi+ Vσ(i) (5.3)
é invariante por L. Depois disso os autores afirmam que se Ui é não auto-dual, então Vi e Vσ(i)
são blocos isotípicos distintos e a soma de (5.3) é direta.
É importante notar que pode não existir um subespaço irredutível (ρσ(i), Uσ(i))⊆ (ρσ, V )
isomorfo ao dual do subespaço irredutível (ρi, Ui) ⊆ (ρ, V ), como ocorre no caso 3. Neste
na decomposição isotípica de V. Nesta circunstância, é claro que não podemos dizer que Vi
e Vσ(i) são blocos isotípicos distintos, ou que bVi é a soma direta de Vi e Vσ(i), ou ainda que
toda aplicação linear Γ−reversível-equivariante L : V → V satisfaz L(Vi) ⊆ Vσ(i), como
mencionados em [39].
Entretanto, isto não compromete a aplicabilidade dos resultados apresentados em [39] e o processo que descrevemos nesta seção, fixando V e a representação de Γ em V , completa o processo descrito em [39].