Resultater knyttet til foretaksvariablene

Como se tornou evidente, o conceito matemático de função deve contemplar todos os elementos essenciais do objeto abstraído. Nele, não são abandonados os elementos diferentes, como no exemplo dos metais citados, para conservar apenas os que lhes são comun s. Todas as características dess es metais são substituídas por variáveis que expressam todo o domínio de cada característica. O conceito assim construído é uma totalidade concreta que c ontém uma indexação para todos os casos particulares. Já no processo tradicional de abstração, que depende da acuidade visual de perceber uma característica comum entre vários objetos, é extremamente frágil. Quanto maior a concentração e confiança nas intuições sensoriais, tanto mais, os objetos exibem “similaridades” que parecem diferentes, e, por conseguinte, devem ser postas de lado segundo o

processo de abstração tradicional. E assim, ao infinito. Constata -se que, o elemento “similar” a vários objetos a presenta diferenças, ele se desqualifica com elemento que deve ser preservado . Esse aspecto subjetivo é contraditório com o conceito de um “universal”. Já no processo funcional de conceito isto não ocorre, pois as diferenças são todas objetivamente preserv adas através das variáveis da função. Na abstração funcional, as diferenças não são desprezadas, pois elas integram o objeto construído que equivale ao intuído. Assim, surge um novo objeto que substitui o objeto da percepção sensorial. Nesse novo objeto, q ue Cassirer denomina objeto de “segunda ordem”, o objeto da percepção sensorial seria o de “primeira ordem”, o seu conteúdo é expresso através de relações definidas por seus elementos particulares.

Na progressiva formação deste tipo de conceito a uniformi dade pura e simples é complementada por uma conexão de necessidade que dispensa infindas repetições. Esse é o esquema que faz com que, qualquer objeto se apresente como unificado. Contudo nada impede falar de “abstração”, porém, o significado agora é a construção através da função matemática de um novo objeto que apresenta uma universalidade concreta con tendo todas as diferenças específicas (SF: 23 e 24)

Em conclusão constata-se que a reforma da lógica clássica através da inserção de elementos da teoria do s conjuntos de Cantor ensejou uma nova teoria da formação de conceitos. Essa teoria exibe uma estrutura matemática tipicamente funcional possibilitando a formação de um novo tipo de objeto que dispensa a intuição e a abstração exigidas na formação tradicional de conceitos. Assim, no lugar de objetos intuídos são colocados objetos construídos, e a estrutura matemática que possibilita essa substituição será detalhada no próximo capítulo.

2 Os conceitos matemáticos como funções

2.1 Introdução

A estrutura matemática necessária para a abordagem de qualquer objeto, de acordo com a nova teoria dos conceitos , parte na noção de número. Para Cassirer, é impossível qualquer visão profunda sobre a estrutura dos números fora de um contexto epistemológico, pois seu conhecimento é um caso particular da teoria do conhecimento. Cassirer é categórico: “Se não existisse número, nada poderia ser entendido nas coisas, quer nelas mesmas, que r em sua relação com as outras” (SF: 27).

Pitágoras (Séc. V a.C.) teria dito: “O nú mero é o princípio de todas as coisas”. Um de seus discípulos, Filolau de Crotona, confirma esta concepção do mestre (AFFS: 244 e 245, Vol. II). Em um dos fragmentos de sua obra intitulada

Sobre a natureza ele afirma: “E realmente tudo o que é conhecido te m número;

pois nada é possível pensar ou conceber sem ele” (DK, 44 B 4).

Cassirer enfatiza dois pontos importantes que permanecem ainda hoje na posição pitagórica. O primeiro é que a idéia de número está dotada de uma capacidade que permite traduzir dados sensíveis em determinações lógicas (FFS:333). O segundo diz que, quando se aprofunda no conceito de número, passa-se a perceber que: “nele está enraizada a substância do conhecimento racional. Mesmo quando, o núcleo metafísico dos objetos não é mais nele v isto, o conceito de número permanece sendo a primeira e a mais verdadeira expressão do método racional em geral” (SF: 27).

No mundo grego, a primeira noção de número se limitava ao que hoje se chama de números naturais. Para operar com números racionais (f rações), os geômetras gregos usavam o que eles denominavam de proporções numéricas . Os pitagóricos acreditavam que todas as coisas eram expressões de números; e a relação entre elas, por conseqüência, era estabelecida media nte essas proporções numéricas (Eves, 2004, p. 104 e 105), logo, o número, para os pitagóricos, estava na origem tanto da aritmética como da geometria ( FFS: 333).

Pelo teorema de Pitágoras, o comprimento da diagonal de um quadrado de lado unitário é raiz quadrada de dois, mas, o número a ssim obtido não é racional. Essa descoberta desencadeou uma crise no pitagorismo, e, de modo geral, na filosofia grega, pois suas consequências não atingiram apenas a matemática. Uma aplicação do teorema de Pitágoras deixou claro que , o lado do quadrado (cateto do triângulo) e sua diagonal (hipotenusa do triângulo) são incomensuráveis, ou seja, não admitem uma medida comum. Assim, foi constatada a existência de números cuja natureza difere radicalmente da natureza dos números admitidos até então. Com essa constatação, evidenciou-se que o tema não fora tratado de uma maneira completa.

Na visão de Cassirer, os pitagóricos estão corretos, mesmo quando trataram o número como figuras espaciais, pois , “O número tem originalmente uma natureza tanto geométrica como aritmética” (FFS: 333). Assim, passar da aritmética para a geometria não é p enetrar em território estranho, pois a s figuras não são desassociadas de medida e essa de número . Na construção de conceitos, o alvo do conhecimento é atingido quando, começando pela lógica, e

passando pela matemática (aritmética e geometria) chega-se aos objetos físicos empíricos (FFS: 447).

O aparecimento de novas geometrias no século dezenove, denominadas de não-euclidianas, provocou impacto tanto na matemática, como na filoso fia (Silva, 2007, p. 26). A chamada “crise dos fundamentos” levou matemáticos e filósofos reverem os fundamentos da matemática. Nessa tarefa, sobressaem Bertrand Russell (1872-1970) e Gottlob Frege (1848-1925) que procuraram fundamentar a matemática na lógi ca moderna. Essa lógica, com já se mencionou, mantém princípios da lógica clássica, acrescidos de elementos da teoria dos conjuntos de Georg Cantor (1845-1918). Esse matemático estabeleceu em sua obra, Fundamentos de uma teoria geral da multiplicidade , (1883), o conceito de número relacionado-o ao conceito de classe. Essa posição direcionava -o para a adoção da “teoria cardinal”. Na lógica assim suplementada, Russell viu o fundamento para toda matemática e, Frege, apenas para a aritmética. Contudo, para ambos os filósofos, um maior rigor na dedução do conceito de número se fazia necessário.

Na aritmética, Cassirer optou pela “teoria ordinal” de número, deduzida por Richard Dedekind (1831-1916), contra a “cardinal” de Fege -Russell, porque, para ele, é a ordinalidade que traduz a “essência” original do número, e não a cardinalidade, que é, em verdade, derivada. Do ponto de vista estritamente matemático, para analisar número, não faz diferença se , se parte do número cardinal ou ordinal, desde que se contemplem os dois aspectos do número (EPC: 91 e 92 Vol. IV). Mas, “A concepção filosófica fundamental sobre a qual,

substancialmente descansa a ‘teoria ordinal’ tem sido caracterizada por Dedekind de modo mais simples e acurado” (EPC: 99 e 100 Vol. IV).

Já a geometria, para Cassirer, é um saber que repousa essencialmente em invariantes. As propriedades legitimamente geométricas são apenas aquelas que permanecem após adequadas transformações projetivas. Essa posição faculta a Cassirer uma nova significação da s propriedades geométricas de uma figura . Assim, a matemática não é mais uma ciência da quantidade, e sim, da relação. Além disso, tanto na aritmética, como na geometria, Cassirer mostra uma nova versão do sintético a priori kantiano.

No presente capítulo, serão acompanhados os esforços de Frege, Russell e Dedekind para estabelecerem um conceito de número mais convincente. Cassirer aceita a dedução de número estabelecida pelo último. Entretanto, ele vai além da posição de Dedekind, pois, para ele, número não é apenas o ponto de partida da aritmética, mas a base da própria racionalidade (SF: 27), o “princípio supremo do conhecimento” (EPC: 101 Vol. IV). Na dedução de número feita por Russell, apesar dos avanços em relação à posição de Platão e Aristóteles, esposada por Euclides10_{; Cassirer ainda vê presente resquício do substancialismo aristotélico.}

Já no século dezenove, a posição fregeana, ainda que pese seus avanços lógicos, não logrou atingir a “essência” de número, que, segundo Cassirer, é uma posição bem definida em uma série ordenada.11 _{Daí sua irrestrita adoção a “teoria ordinal”}

10 _{Para Aristóteles, o um significa a medida de pluralidade e o número a pluralidade de medida.}

(Met., XIV, 1 1087 b – 35 – 1088 a 10). Euclides, em Os elementos, Livro VII, definição 2, semelhante à Aristóteles define: “E número é uma qu antidade composta de unidades” (Euclides, 2009, p. 269).

11 _{Em matemática, Cassirer é est ruturalista (Porta, 2004, p. 152 e 153). O estruturalismo é uma}

de Dedekind. No presente capítulo, ficará explícita a visão de Cas sirer sobre a formação dos conceitos da matemática em seus ramos mais elementares , aritmética e geometria, contemplando respectivamente, número e espaço.