Nesta seção, estenderemos os métodos aplicados para a rede Barabási-Albert de fusíveis à rede apoloniana, tal como definida na seção 2.4.2. Para isso, será levantada sua topologia e assim poder-se-á definir os modos de carregamento. Disso surgirá uma definição mais clara para o modo de carregamento 3, que não mais envolverá escolhas aleatórias de sítios da rede.
A rede apoloniana, como definida em sua formulação determinística sugerida por Herrmann e colaboradores [23], e mostrada na figura 2.7 tem seu nó central, inserido na primeira geração, como sendo o nó mais fortemente conectado. Dessa forma é ele claramente o nó central para a definição dos modos de carregamento.
A periferia dessa rede não é, de forma alguma, composta pelos três nós mais externos, pertencentes à zerésima geração. Estes três são, na verdade, aqueles que têm o segundo maior grau de incidência. Numa rede apoloniana de G gerações, o nó central tem grau de incidência
k = 3 × 2G e os três nós da zerésima geração têm, cada um, k = 2G+1. Os nós periféricos,
definidos como sendo os nós de menor grau de incidência, são aqueles pertencentes à última geração. Eles terão sempre k = 3.
Definidos o centro e a periferia da rede apoloniana, os modos de carregamento I e II são idênticos àqueles definidos por Pinheiro e Bernardes [61] e descritos na seção 4.1. Um novo modo de carregamento envolvendo o nó central e os três nós da zerésima geração será agora definido para a rede apoloniana. O novo conjunto de modos de carregamento passa a ser então: • modo I – Um terminal de fonte da tensão ligado ao nó central e o outro terminal ligado à
periferia.
5.2. A REDE APOLONIANA DE FUSÍVEIS
• modo III – Um terminal da fonte de tensão ligado ao nó central e o outro terminal ligado aos três nós da zerésima geração.
A divisão da periferia é feita com uma escolha aleatória dos nós periféricos. Como haverá
sempre um número ímpar de nós periféricos, 3G−1, na rede apoloniana, uma das metades terá
um nó a mais ou a menos.
Uma rede AP de G gerações será sempre a mesma. Não há nela nenhum elemento aleatório. Dessa forma, a rede AP de fusíveis não pode ser feita com todos os fusíveis idênticos, como foi feito em [61] e apresentado na seção 5.1. A desordem deve ser introduzida na rede AP de fusíveis de alguma forma. Pinheiro, Herrmann e colaboradores [64, 65] utilizam diferentes distribuições de condutância P(σ) para os fusíveis, trabalhando com média e alta desordem.
A seguir serão mostrados resultados da curva de carregamento I ×V obtidos para a rede apoloniana de fusíveis utilizando-se uma distribuição de condutâncias P(σ), para os fusíveis, uniforme no intervalo [1,2). Foram realizadas simulações para redes AP de vários tamanhos. O tamanho de uma rede AP, como se sabe, é definido pelo número inteiro G de gerações da rede, como descrito na seção 2.4.2.
Inicialmente trataremos sempre redes de oito gerações e avaliaremos os três modos de car- regamento. Mais adiante, na seção 5.3 analisaremos redes de vários tamanhos e com várias distribuições de condutâncias para os fusíveis.
Todas as simulações, cujos resultados serão mostrados daqui em diante, foram feitas utilizando- se código FORTRAN 90. Uma subrotina especial para solução de sistemas lineares esparsos positivos definidos MA57 foi utilizada [66], o que significou razoável aumento de performance. A menos que comentado de outra forma, utilizou-se a fórmula de Woodbury [57, 58] para atu- alização da solução do sistema linear, como já discutido na seção 4.2.
A figura 5.10 mostra a curva I ×V para uma única amostra da rede AP carregada sob o
modo I, tendo as condutâncias σi dos fusíveis uniformemente distribuídas no intervalo [1,2).
Nota-se que as primeiras falhas ocorrem para valores de tensão V ≈ 0,5. São aqueles fusíveis das ligações diretas entre o nó central e a última geração (periferia) e de condutância mais alta,
ou seja, σi≈ 2,0.
Médias da curva I ×V sobre várias amostras podem ser feitas sobre a seqüência de danos, como foram feitas na seção 5.1 [61]. Zapperi e colaboradores sugerem ainda médias tendo como parâmetro a tensão ou a corrente [26]. Utilizar-se-á, daqui em diante, médias sobre a voltagem, visto que se a corrente fosse utilizada como parâmetro para as médias, teríamos uma única queima catastrófica.
A figura 5.11(a) mostra uma nuvem de pontos correspondendo às curvas I ×V de 20 amos- tras de redes AP de tamanho G = 8 sob modo I, com 1 ≤ σ < 2 uniformemente distribuído.
0 0,5 1 1,5 V 0 50 100 150 200 250 300 I
Figura 5.10: Curva I × V para uma única amostra da rede AP sob modo I com σ = [1,2) uniformemente distribuído. 0 0,5 1 1,5 V 0 50 100 150 200 250 300 I (a) 0 0,5 1 1,5 V 0 50 100 150 200 250 300 I (b)
Figura 5.11: Pontos das curvas I ×V para 20 amostras da rede AP modo I 1 ≤ σ < 2. À direita temos uma representação da binagem para realização de médias, dividindo-se classes ou bins de tamanhos 0,05V.
Para realizar a média sobre as amostras usando a voltagem como parâmetro, divide-se o eixo de
V em classes, ou bins, como na figura 5.11(b). A média é então feita para os pontos em cada
classe.
O resultado para a média por binagem da figura 5.11(a) está mostrado na figura 5.12. O intervalo [0,5,1,2] foi dividido em 200 classes. As barras de erro, que se confundem com os pontos, mostram que as médias são muito boas.
Nota-se aqui que a seqüência inicial de queimas para um valor fixo de tensão que caracteri- zava o modo I na rede BA na seção 5.1 não está presente aqui. Isso se deve ao fato de naquele caso termos fusíveis idênticos o que não é possível para a rede AP. Mais adiante, quando retor- narmos à rede BA, porém com fusíveis não idênticos, voltaremos a discutir esse aspecto.
5.3. PROPRIEDADES ESTATÍSTICAS DAS REDES DE FUSÍVEIS LIVRES DE ESCALA