RESULTAT KVALITATIV ANALYSE

compatível com as operações em Z, isto é, para  , ,  Z arbitrários, vale:

i)      +   +  ;

ii)    e  

 

0,0       ;

iii) (Lei da Tricotomia): Apenas uma das situações seguintes ocorre:  =

 

0,0 ou  <

 

0,0 ou  >

 

0,0 .

Demonstração:

Reflexividade: De fato

 

a,b 

 

a,b , pois a + b  b + a, o que segue da reflexividade dos números naturais.

Antissimétrica: De fato,

 

a,b 

 

c,d implica que a + d  b + c e

 

c,d 

 

a,b implica que c + b  d + a. Por comutatividade em IN, a segunda desigualdade pode ser escrita como b + c  a + d. Considerando agora a condição de antissimetria nos naturais, temos que a + d = b + c, donde

 

a,b =

 

c,d .

Transitividade: De fato,

 

a,b 

 

c,d implica que a + d  b + c e

 

c,d 

 

e,f implica que c + f  d + e. Pela monotonicidade da adição nos naturais, nas duas desigualdades anteriores, temos que: (a+d) + f  (b+c) + f e, (c + f) + b  (d + e) + b. Aplicando as propriedades comutativa e associativa nos naturais, as desigualdades acima ficam escritas como: (a+f) + d  (b+c) + f

e (b+c) + f  (b+e) + d, que pela transitividade em IN, obtemos: (a+f) + d  (b+e) + d. Por fim, considerando a monotonicidade da adição em

IN, chegamos em (a + f)  (b + e), que por definição é o mesmo que

 

a,b 

 

e,f , o que se queria mostrar.

i)      +   +  . De fato, sejam  =

 

a,b ,=

 

c,d e  =

 

e,f . Temos que    

 

a,b 

 

c,d a+d  b+c. Fazendo uso da monotonicidade da adição em IN nesta última desigualdade, chegamos em: (a+d) + (e+f)  (b+c) + (e+f), que por comutatividade e associatividade em IN, obtemos: (a+e) + (d+f)  (b+f) + (c+e). Por definição de relação de ordem escrevemos:



a ,e b f







c ,e d f



. Agora, por definição de adição em Z

temos:

 

a,b +

 

e,f 

 

c,d +

 

e,f , ou seja, conclui-se então que     +   +  .

ii)    e  

 

0,0      . De fato, sejam  =

 

a,b ,=

 

c,d e

 =

 

e,f . Temos que    

 

a,b 

 

c,d  a+d  b+c e,  

 

0,0 

 

e,f 

 

0,0 f  e. Logo, existem números naturais não nulos g e

h tais que: b+c = a+d+g e e = f+h. Destas igualdades concluímos que: be + ce = ae + de + ge, bf + cf = af + df + gf e ge = gf + gh. Logo, ae + de + ge + bf + cf = af + df + gf + be + ce. Como ge = gf + gh, temos: ae + de + gf + gh + bf + cf = af + df + gf + be + ce. Aplicando a lei do

cancelamento da adição em IN nesta última igualdade obtemos:

ae + de + gh + bf + cf = af + df + be + ce, ou (ae + bf) + (cf + de)+ gh =

= (af + be) + (ce + df), donde (ae + bf) + (cf + de)  (af + be) + (ce + df), que

por definição de relação de ordem em Z, implica em



aebf,af be

 

 cedf,cf de



e, que por definição de multiplicação em Z

temos:

     

a,b.e,f  c,d .e, f , concluindo-se daí que      , conforme se

queria provar.

iii) Dado  =

 

a,b Z arbitrariamente, temos que apenas uma das situações seguintes ocorre:  =

 

0,0 ou  <

 

0,0 ou  >

 

0,0 . De fato, da propriedade

de tricotomia em IN sabemos que dados a,b IN, vale uma e somente uma, das alternativas: a = b, a < b ou b < a. Note que, da igualdade a = b, podemos escrever a + 0 = b + 0, donde

 

a,b =

 

0,0 e, portanto,  =

 

0,0 . Da desigualdade a < b, podemos escrever a + 0 < b + 0, donde

 

a,b <

 

0,0 e,

portanto,  <

 

0,0 . Analogamente obtemos  >

 

0,0 a partir da desigualdade

Definição 3.2.5: Dado

 

a,b Z, dizemos que: i)

 

a,b é positivo quando

 

a,b >

 

0,0 ;

ii)

 

a,b é não negativo quando

 

a,b 

 

0,0 ;

iii)

 

a,b é negativo quando

 

a,b <

 

0,0 ;

iv)

 

a,b é não positivo quando

 

a,b 

 

0,0 .

Desta definição podemos observar que

 

a,b 

 

0,0 significa que

a + 0  b + 0, isto é, a  b. De modo análogo, temos também que:

 

a,b >

 

0,0  a > b,

 

a,b 

 

0,0  a  b e

 

a,b <

 

0,0  a < b.

Ressalta-se ainda, que esta observação vem ao encontro da ideia de que a classe de equivalência

 

a,b representa a “diferença a – b”. Note que, se

 

a,b é positivo, como a > b, então existe m  IN* _{tal que a = b + m, igualdade que é} equivalente a

 

a,b =

 

m,0 . Do mesmo modo, se

 

a,b <

 

0,0 , então existe

m  IN* _{tal que}

 

b

a, =

 

0,m .

De posse destas observações e considerando a tricotomia em Z, pode- se afirmar que:

Z = {

 

0,m | m  IN*}  {

 

0,0 }  {

 

m,0 |m  IN*}, sendo a união

disjunta, tendo-se portanto, efetivada a construção dos inteiros.

3.3 OS NÚMEROS RACIONAIS, IRRACIONAIS E REAIS

Seguindo a linha de evolução de acordo com o aparecimento de uma nova necessidade, temos que os números inteiros nem sempre são suficientes quando se trata de se resolver problemas que envolvem medidas. Para o momento, antes mesmo de conceituar os números racionais, será enfatizada de maneira intuitiva, sua importância, bem como a necessidade de seu surgimento.

Para isto, primeiramente é necessário o entendimento do que significa medir, o que segundo Oliveira (1968), é “comparar duas grandezas de mesma

espécie – área com área, volume com volume, comprimento com comprimento, velocidade com velocidade, etc.”.

Neste processo de comparação, uma das grandezas deve ser tomada como termo de comparação, sendo então chamada de unidade.

Para efetuar a medição é necessário:

1º) Estabelecer um único termo de comparação para todas as grandezas de mesma espécie – a unidade.

2º) Procurar responder a pergunta – quantas vezes? – a fim de obter um número, que é a medida da grandeza dada, na unidade adotada. (OLIVEIRA, 1968, p.113)

No entanto, a escolha da unidade deve ser feito de modo a obedecer ao aspecto de comodidade e praticidade. Por exemplo, não seria conveniente escolher mm² para medir a área de um terreno.

De uma maneira geral, se uma grandeza, medida com uma unidade u, mede m, e sendo u subdividida em n partes (u’ = u/n) iguais, a medida m será

dada por

n n

m. . Porém, o problema surge quando a unidade escolhida não

couber um número (inteiro) de vezes dentro da outra grandeza que se pretende medir, conforme representação abaixo:

FIGURA 1 (OLIVEIRA,1968, p.115)

Observando a figura, percebe-se que AB não cabe um número inteiro de vezes em CD , pois sobra um pedaço que corresponde à ED . A fim de se resolver tal problema pode-se fazer uma subdivisão de AB em partes tais que caibam perfeitamente em CD . Conforme indicação na figura, AB foi dividida em 3 partes iguais.

Pode-se também observar que a nova unidade u’ se acha contida em

CD 10 vezes, isto é, CD = 10.u’. Então temos que: CD = 10.u’ e AB = 3.u’. Porém a medida de CD em relação a AB ficará como:

3 10 ' . 3 ' . 10   u u AB CD , donde CD = 3 10 AB , e como a razão 3

10 não resulta em número inteiro, e

diante de tal dificuldade, eis que surge a necessidade de novos números. Desse modo, o conjunto dos números inteiros é insuficiente para resolver o problema de medida e, portanto, deveremos criar novos tipos de números da espécie

3 10 ou

b a.

Neste sentido, tal construção será feita através de um princípio denominado “princípio da extensão”, que de acordo com Oliveira (1968), fora criado por um matemático alemão chamado Hermann Hankel. Este princípio da extensão consiste em:

1º) Os novos números criados devem ser suficientes, isto é, resolver por completo a dificuldade que exigiu a sua construção.

2º) Os novos números não devem ser inconsistentes com os já existentes, mas, pelo contrário, devem contê-los como um caso particular. (OLIVEIRA, 1968, p.117)

Observemos que na segunda regra mencionada, está sendo ressaltado que, quando a unidade se achar um certo número inteiro de vezes contida na grandeza a ser medida os novos números devem se reduzir a números inteiros. Sendo assim, os números que satisfazem o princípio de extensão apresentado e que são escritos de uma maneira geral na forma

b

a (onde b0),

são chamados de números racionais. Desta forma,

b

adeverá ser entendido

como um só número (que é o quociente de a dividido por b) e não como dois números.

Então, destaca-se desde já, que a essência da definição de número racional está na aceitação da possibilidade de se efetuar a divisão em qualquer caso, salvo quando o divisor for nulo.

Agora, do ponto de vista da formalização, devemos considerar o conjunto Z x Z*_{= {(a,b)|aZ e bZ}*_{} e, definimos deste a relação: (a,b) ~ (c,d)} quando ad = bc.

Teorema 3.3.1: A relação ~ em Z x Z*= {(a,b)|aZ e b Z*_{} definida} por (a,b) ~ (c,d) quando ad = bc é de equivalência.

Demonstração: Devemos provar que a relação ~ tem as propriedades

reflexiva, simétrica e transitiva. Temos:

i) Reflexividade: (a,b) ~ (a,b), pois ab = ba, que provém da comutatividade em Z;

ii) Simetria: (a,b) ~ (c,d)  (c,d) ~ (a,b). De fato, de (a,b) ~ (c,d) temos que ad = bc, que resulta em cb = da, o que implica em (c,d) ~ (a,b).

iii) Transitividade: Se (a,b) ~ (c,d) e (c,d) ~ (e,f), então (a,b) ~ (e,f), isto é, se ad = bc e cf = de, então af = be. De fato, multiplicando ambos os membros da primeira igualdade por f e da segunda igualdade por b, obtemos adf = bcf e bcf = bde, de onde segue que adf = bde. Cancelando o fator d0, obtemos o que se queria. Cabe salientar que é devido à necessidade de d0 na última etapa da demonstração acima, que é considerado Z x Z* _{e não Z x Z.}

In document Selvstendig, trygg og aktiv. Evaluering av pilotprosjekt Hverdagsrehabilitering (sider 13-26)