Research subjects and context

t Manchas 0 50 100 150 0 50 100 150 0 20 40 60 80 0 10000 20000 30000 40000 50000 60000 Periodograma Frequência P ediodogr ama

Figura 4.5: S´erie original e Periodograma.

4.4

Distribui¸c˜ao Espectral e Transformada de Fou-

rier

A an´alise no dom´ınio do tempo (m´etodo param´etrico) foca a natureza da corre- la¸c˜ao sobre diferentes intervalos de tempo. Portanto, os modelos s˜ao desenvolvidos para representar a estrutura da fun¸c˜ao de autocorrela¸c˜ao. Seja {Zt, t ∈ Z} uma s´erie

temporal, a fun¸c˜ao de autocovariˆancia de lag {k = 0, ±1, · · · } de Zt ´e tal que,

γk = E{[Zt− µ][Zt+k− µ]} (4.10)

em que µ = E(Zt). Ademais, a fun¸c˜ao de autocorrela¸c˜ao ´e definida por,

ρ(k) = γk γ0

. (4.11)

Como a autocorrela¸c˜ao ρ(k) ´e uma sequˆencia definida positiva, existe uma fun¸c˜ao F (λ), −π ≤ λ ≤ π, tal que

ρ(k) = Z π

−π

eiλkdF (λ) (4.12)

em que F (λ) ´e a fun¸c˜ao de distribui¸c˜ao espectral do processo estacion´ario {Zt}. Al´em

disso, F (.) ´e n˜ao decrescente e quando F (λ) ´e absolutamente cont´ınua, tem derivada f (λ) = dF (λ)_dλ , que ´e chamada de fun¸c˜ao densidade espectral normalizada. A expres-

4.4 Distribui¸c˜ao Espectral e Transformada de Fourier 37 s˜ao representada na equa¸c˜ao (4.12) ´e denominada como a representa¸c˜ao espectral da fun¸c˜ao de autocorrela¸c˜ao (PRIESTLEY, 1981). Quando (4.12) existe, a fun¸c˜ao de autocorrela¸c˜ao (4.11) pode ser reescrita como,

ρ(k) = Z π

−π

eiλkf (λ)dλ.

Ainda pode-se trabalhar com a forma n˜ao normalizada de F (λ), que ´e resultante da multiplica¸c˜ao em ambos os lados de (4.12) por γ(0),

γ(0)ρ(k) = γ(0) Z π −π eiλkdF (λ) γ(k) = Z π −π eiλkdF (λ)γ(0) = Z π −π eiλkdF∗(λ) = Z π −π eiλkf∗(λ)dλ (4.13) em que F∗_{(λ) = F (λ)γ(0). A express˜ao em (4.13) ´e denominada como a representa¸c˜ao}

espectral da fun¸c˜ao da autocovariˆancia (4.10).

A an´alise no dom´ınio da frequˆencia tamb´em conhecida como an´alise espectral (abor- dagem n˜ao-param´etrica) tem um foco sobre as caracter´ısticas da fun¸c˜ao densidade es- pectral f∗_{(λ), examinando o comportamento da s´erie {Z}

t} em termos de componentes

c´ıclicos ou peri´odicas que comp˜oem a s´erie.

Por defini¸c˜ao a transformada discreta de Fourier de uma dada fun¸c˜ao h(k) que esteja definida apenas para valores de {k, ∈ Z} ´e tal que (FERNANDES, 2012),

H(λ) = 1 2π ∞ X k=−∞ h(k)e−iλk_{, −π ≤ λ ≤ π.}

Com isso, a fun¸c˜ao de densidade espectral pode ser expressa em termos das auto- covariˆancias aplicando a transformada de Fourier em f∗_(λ),

f∗(λ) = 1 2π ∞ X k=−∞ γ(k)e−iλk = 1 2π = " 2 ∞ X k=1 γ(k)cos(λk) + γ(0) # .

Desta forma, este resultado implica que f∗_{(λ), −π ≤ λ ≤ π cont´em informa¸c˜oes equiva-}

lentes sobre as caracter´ısticas do comportamento da s´erie hist´orica {Zt}, mas o foco em

4.4 Distribui¸c˜ao Espectral e Transformada de Fourier 38 nada mais ´e do que a transformada de Fourier aplicada em ˆγ(k).

Assim, num gr´afico de s´eries temporais em termos de dom´ınio do tempo, ´e poss´ıvel visualizar a localiza¸c˜ao, a variabilidade da s´erie, bem como, se eles existirem, a sua tendˆencia, a sazonalidade e os seus valores extremos. No entanto, ´e imposs´ıvel ver a estrutura de autocorrela¸c˜ao, o que pode ser visto atrav´es de outros gr´aficos, como a fun¸c˜ao de autocorrela¸c˜ao e o gr´afico da fun¸c˜ao de autocorrela¸c˜ao parcial. No en- tanto, para a mesma s´erie, em termos do dom´ınio da frequˆencia, ´e poss´ıvel visualizar a frequˆencia, amplitude e tempo, o que com os resultados acima, tem uma correspon- dˆencia bijetora com a autocovariˆancia (e assim autocorrela¸c˜ao). Consequentemente, s´eries temporais com diferentes estruturas de autocorrela¸c˜ao ser˜ao muito mais f´aceis diferenci´a-las, olhando para o dom´ınio da frequˆencia, em vez do dom´ınio do tempo, desse modo, o uso do periodograma ´e important´ıssimo para diferenciar os grupos.

Cap´ıtulo 5

Weighted Fourier Frequencies and

SVM

Neste cap´ıtulo ser´a descrita a metodologia utilizada para o classificador Weighted Fourier Frequencies and SVM (WFF-SVM) proposto por Coutinho (2010). Tamb´em ser˜ao apresentadas duas propostas alternativas para o sistema de pesos automatizando o processo de classifica¸c˜ao. Por fim, ´e apresentado um novo procedimento de decis˜ao para a classifica¸c˜ao de novos est´ımulos.

5.1

Aplica¸c˜ao do periodograma e a suaviza¸c˜ao

Inicialmente, observe a Figura 5.1. Note que os sinais dessas imagens est˜ao muito misturados, e consequentemente a SVM com margens suaves n˜ao produziu resultados satisfat´orios, a taxa de acerto foi de 50,03% (essa taxa ´e calculada com os pr´oprios dados de treinamento, ou seja, ap´os o c´alculo do hiperplano, todos os pontos de trei- namento s˜ao classificados, e ´e calculado a raz˜ao entre o n´umero de pontos classificados corretamente e a quantidade total de pontos) utilizando C = 100. Dificilmente com uma taxa de acerto t˜ao baixa, o classificador conseguir´a classificar corretamente um novo sinal. Foram utilizados tamb´em os Kernels Polinomial (δ = 1, k = 1 e d = 2) e o Gaussiano (σ = 1) (Tabela 2.1) em que resultaram em taxas de acertos de 51,22% e 68,90% respectivamente. Em seu trabalho Coutinho (2010) relata que foi criado um Kernel para ser utilizado para a classifica¸c˜ao, por´em n˜ao foram produzidos resultados

5.1 Aplica¸c˜ao do periodograma e a suaviza¸c˜ao 40 satisfat´orios. De maneira an´aloga, os Kernels mostrados aqui al´em do linear tamb´em n˜ao obtiveram um bom desempenho, e com isso, o Kernel adotado foi o linear, por ele ser mais simples e ter produzido bons resultados no classificador WFF-SVM.

0 50 100 150 −30 −20 −10 0 10 20 30 40 Tempo Imagem 1 Imagem 3 SVM

Figura 5.1: Sinais de uma das repeti¸c˜oes das imagens 1 e 3.

Em vez de trabalhar com a s´erie original gerada pelos est´ımulos, Coutinho (2010) propˆos que fosse utilizado a AE para a cria¸c˜ao do periodograma, e tentar a classifica¸c˜ao do sinal por esta abordagem. Observe no gr´afico da Figura 5.2 (a) que ´e poss´ıvel observar frequˆencias que podem ser utilizados para a discrimina¸c˜ao dos sinais, e o periodograma da imagem 3 aparentam ter valores maiores. No gr´afico da Figura 5.2 (a) foi aplicado a suaviza¸c˜ao por MMS4, gerando o gr´afico (b). Note que a suaviza¸c˜ao deixa

mais claro o comportamento dos sinais, por´em para essas imagens com esse eletrodo, n˜ao se pode notar nenhum padr˜ao que poderia ajudar na classifica¸c˜ao. Contudo, ´e poss´ıvel utilizar outros eletrodos em que neles os padr˜oes s˜ao mais aparentes, e as diferen¸cas entre os sinais ficam melhor representadas.

5.1 Aplica¸c˜ao do periodograma e a suaviza¸c˜ao 41 0 20 40 60 80 0 500 1000 1500 2000 2500 Periodogramas (a)k

Periodograma suavizado com MMS4

(b)k 0 20 40 60 80 0 200 400 600 800 1000 1200 Imagem 1 Imagem 3

Figura 5.2: Periodograma e periodograma suavizado para o eletrodo 72 de uma das repeti¸c˜oes das imagens 1 e 3.

Observe agora a Figura 5.3, periodogramas e periodogramas suavizados com MMS4

para todas as repeti¸c˜oes das imagens 4, 5, 6 e 7. Na Figura 5.3 (b) pode-se ver que na frequˆencia com k = 45 no periodograma suavizado, a imagem 6 tˆem valores maiores em rela¸c˜ao aos da imagem 4, j´a em (d) isso acontece entre as frequˆencias k = 1 at´e aproximadamente k = 20, e mais uma vez nota-se a importˆancia da suaviza¸c˜ao, pois ela ajuda a enxergar melhor o comportamento dos sinais de cada est´ımulo, e com isso, acredita-se que trabalhar com os sinais no dom´ınio da frequˆencia ajudar´a a melhorar os resultados do classificador, j´a que ´e poss´ıvel observar padr˜oes que poderiam ser utilizados para a classifica¸c˜ao, como por exemplo: escolher as regi˜oes da frequˆencia em que os sinais s˜ao mais diferentes e utilizar a SVM, por´em isso n˜ao ´e pr´atico, pois s˜ao muitos eletrodos e nem todos produzem periodogramas t˜ao claros (ru´ıdos) e muitas compara¸c˜oes podem ser feitas com os dados das imagens citadas.

5.2 Cria¸c˜ao do classificador 42