1. Introduction
1.2 Research Focus
5.2.1 Construção de reticulados aninhados sobre Z[ω]
Nesta seção se propõe um novo esquema de codificação baseado em partição de cadeias de reticulados sobre Z[ω] para quantificação dos coeficientes de canal.
Neste esquema é preciso saber apenas os coeficientes dos canais para cada transmissor neles mesmo. Por isso, considera-se a interferência do canal como um valor complexo dado por aml∈ {Z +ωZ}.
Em (TUNALI et al., 2012), os autores demonstram e garantiram a existência de códigos reticulados aninhados sobre Z[ω] os quais apresentam um bom desempenho para problemas de quantificação e codificação de canais. Adicionalmente, mostrou-se a possibilidade de obter um canal equivalente induzido pela transformação de modulo-Λ. Neste modelo de canal "vir- tual"cada receptor analisa os pontos do reticulado dados pela combinação linear sobre Z[ω] do tipo: ym= L
∑
l=1 amltl+ zeq,m. (69)O modelo de canal "virtual"é um equivalente apresentado em (48). Desta maneira isto equivale aplicar U no vetor receptor (69):
¯ym= Uym= L
∑
l=1
Como zeq,m é ruido circular simétrico complexo Gaussiano i.i.d. e U é unitário, em (70).
Tem-se o vetor da forma amlUtl, por simplicidade de notação, será denotado por:
¯x = h ·U · x (71)
onde x = tlé o ponto de reticulado transmitido pelo usuário considerado e h = amlé o coeficiente do canal. Reescrevendo (71), tem se:
h 0 ··· 0 0 h ··· 0 ... ... ... ... 0 0 ··· h ·U · x = H ·U · x. (72)
Nesta etapa, tem-se como meta quantificar a matriz diagonal H pela matriz diagonal. Para isso, é preciso quantificar a matriz diagonal H pelo ruído gaussiano com U unitária que também deve satisfazer as expressões (69), (71) e (72).
A nossa contribuição neste trabalho é realizar a quantificação da matriz H por meio de matrizes unitárias contruídas via reticulados obtidos via Construção A.
Esta construção é baseada em resultados obtidos via códigos cíclicos sobre corpos finitos F3
como proposto por Forney (FORNEY, 1988b)„ os autores em (GIRAUD; BOUTILON;BELFIORE, 1997) construíram famílias de reticulados complexos sobre Z[ω], ΛZ[ζ9.2s], que são isomorfos
aos reticulados Z[ω]N, onde N = 3.2s−1.
Como consequência do inteiro positivo 3 ser totalmente ramificado na extensão Q(ζ9.2s)/Q, construiremos cadeias de reticulados alinhados a partir de reticulados algébricos ΛZ[ζ9.2s].
Neste sentido, consideremos famílias de anéis de inteiros de corpos ciclotômicos Q(ζ9.2s), com s ≥ 2. Pode-se usar as ferramentas algébricas dos copos ciclotômicos Q(ζ9.2s) para obter a cadeia de reticulados aninhados sobre Z[ω] a partir dos reticulados ΛZ[ζ9.2s] isomorfos aos reticulados-Z[ω]N.
Sabendo que {1,ζ9.2s,ζ9.22 s, . . . ,ζ9.2N−1s } da (65) é uma base sobre Z[ω] para o anel de inteiros, então a matriz geradora M0do reticulado algébrico ΛZζ9.2s descrito em (47) é dado por:
M0= id(1) σ2(1) . . . σN(1) id(ζ9.2s) σ2(ζ9.2s) . . . σN(ζ9.2s) id(ζ2 9.2s) σ2(ζ9.22 s) . . . σN(ζ9.22 s) ... ... ... id(ζ9.2N−1s ) σ2(ζ9.2N−1s ) . . . σN(ζ9.2N−1s ) (73)
Observação 5.1. A matriz M0 e MT
0 tem as mesmas propriedades, considerando que temos
M′
0 = √1NM0 pode-se ter que (M0′)(M0′)H é igual a matriz identidade, onde (M0′)H denota a
transposta conjugada de M′
0. Então M0′ =√1NM0é uma matriz unitária e usando as proprieda-
des básicas é fácil de comprovar que U =√1 NM
T 0.
(GIRAUD; BOUTILON; BELFIOIRE, 1997)
Com o modelo apresentado, considereµ= 1 +ζ9.2sum elemento do ideal ℑZ[ζ9.2s] no anel dos inteiros OL= Z[ζ9.2s] do corpo ciclotômico Q(ζ9.2s), de grau finito N sobre Q(ω), tal que, ΛZ[ζ
9.2s]é isomorfo ao reticulado-Z[ω]
N.
5.2.2 Construção da cadeia de reticulados aninhados sobre Z[ω]
Considerando ideais em Z[ζ9.2s] da forma ℑkZ[ζ9.2s] obtidos como potência do ideal µk e suas correspondentes matrizes geradoras Mkdos reticulados algébricos ΛZ[ζ9.2s]associados para
todo k ≥ 2.
Aproximando a matriz H com os mergulhos canônicos do gerador µk do ℑk, onde k ∈ Z,
com base a Proposição 5.1:
Proposição 5.1. Tem-se que {uk, ukζ9.2s, ukζ9.22 s, . . . , ukζ9.2N−1s } é a base sobre Z[ω] de ukZ[ζ9.2s] = ukOL, onde N = 3.2s−1, {1,ζ9.2s,ζ9.22 s, . . . ,ζ9.2N−1s } é a base sobre Z[ω] de OL e uk =µk é o ge- rador do ideal ℑk, com k ∈ Z eµ = 1 +ζ
9.2s.
Pela notação definida porζ9.2s =ζ eµ = 1 +ζ9.2s = 1 +ζ, tem-se a matriz geradora Mk dos reticulados complexos associados a ΛZζ9.2s na forma:
Mk= uk ukζ ··· ukζN−1 σ2(uk) σ2(ukζ ) ··· σ2(ukζN−1) ... ... ... ... σN(uk) σN(ukζ ) ··· σN(ukζN−1) = uk 0 ··· 0 0 σ2(uk) ··· 0 ... ... ... ... 0 0 ··· σN(uk) · 1 ζ ··· ζN−1 1 σ2(ζ ) ··· σ2(ζN−1) ... ... ... ... 1 σN(ζ ) ··· σN(ζN−1) (74)
A matriz H pode ser aproximada pela M′ uk = uk 0 ··· 0 0 σ2(uk) ··· 0 ... ... ... ... 0 0 ··· σN(uk) . (75) Observe que: M′ kM0T = uk 0 ··· 0 0 σ2(uk) ··· 0 ... ... ... ... 0 0 ··· σN(uk) · 1 ζ ··· ζN−1 1 σ2(ζ ) ··· σ2(ζN−1) ... ... ... ... 1 σN(ζ ) ··· σN(ζN−1) = 1 ζ ··· ζN−1 1 σ2(ζ ) ··· σ2(ζN−1) ... ... ... ... 1 σN(ζ ) ··· σN(ζN−1) · Mµk = M0TMµk, (76)
onde Mµké uma matriz de ordem N com elementos pertencentes ao anel Z[ω].
Isto significa que se uk=µk gera o idealµkOL, então a matriz Mµk é a matriz geradora do
reticulado obtido do mergulho canônico de ℑkem Cn, e comparando as posições do reticulado-
Z[ω]N é igual a k. Para k = 1 tem-se: µ 0 ··· 0 0 σ2(µ) ··· 0 ... ... ... ... 0 0 ··· σN(µ) · 1 ζ ··· ζN−1 1 σ2(ζ ) ··· σ2(ζN−1) ... ... ... ... 1 σN(ζ ) ··· σN(ζN−1) = 1 ζ ··· ζN−1 1 σ2(ζ ) ··· σ2(ζN−1) ... ... ... ... 1 σN(ζ ) ··· σN(ζN−1) · Mµ= M0TMµ (77)
pela indução, tem-se que para k ≥ 1: M′
1M0T = M0T(Mµ)k,
tal que,
Os coeficientes do canal são aproximados pela matriz diagonal M′
µk, com elementos de mii,
que são dados peloσk(µ)k, eσ ∈ Gal(Q(ζ)/Q(ω) onde N = [Q(ζ) : Q(ω)].
Desde que Gal(Q(ζ)/Q(ω) é de ordem cíclica N, podendo-se obterσk=σr, onde k = r mod N, (0 ≤ r < N).
Como consequência, é obtida uma cadeia infinita de reticulados definidos sobre Z[ω] de forma periódica Λℑk, ou seja, existe N ∈ N, tal que, a cadeia de reticulados sobre Z[ω] satisfaz:
ΛZ[ζ ]= Λℑ0, Λℑ, . . . , ΛℑN−1, ΛℑN = Λℑ0, ΛℑN+1 = Λℑ, . . . , ΛℑN+N−1= ΛℑN−1. . .
(78)
como também satisfaz:
ΛZ[ζ ]⊃ Λℑ. . . ⊃ ΛℑN−1 (79) Proposição 5.2.
1. Cada reticulado complexo ideal Λℑré um sub-reticulado dos reticulados complexos ΛZ[ζ 9.2s], cujo índice associado nesta partição de reticulados é [ΛZ[ζ9.2s]: Λℑr] = 3r, para cada
r = 1,...,N − 1.
2. Cada reticulado complexo ideal Λℑr−1 é um sub-reticulado dos reticulados complexos Λℑr, cujo índice associado nesta partição de reticulados é dado por [Λℑr : Λℑr−1] = 3, para cada r = 1,...,N − 1.
Prova 5.1.
1. Observe que o fato Λℑr deve ser um sub-reticulado dos reticulados complexos ΛZ[ζ9.2s]é consequência direta da Observação 5.1. Quando o índice dos reticulados complexos Λℑ é calculado pelo reticulados complexos ΛZ[ζ9.2s], tem-se
| ΛZ[ζ9.2s]: Λℑr |=
vol(Λℑr) vol(ΛZ[ζ9.2s])
. Considerando o reticulado real Λℑr e ΛZ[ζ
9.2s]que foi obtido pelos reticulados algébricos dados por Λℑr e ΛZ[ζ
9.2s], respetivamente, então para o caso r = 1, obtem-se: 3 = N(ℑ) =| Z[ζ9.2s] : ℑ |= vol(Λℑ)
Para o caso geral, usa-se a propriedade multiplicativa da norma relativa. Consequente- mente, obtêm-se:
3r= N(ℑr) =| OL: ℑr|= vol(Λℑ
r) vol(ΛZ[ζ9.2s]). Por isso,| ΛZ[ζ9.2s]: Λℑr |= 3r, a partir de3 = N(ℑ).
2. O índice dos reticulados complexos ideais Λℑr pelos reticulados complexos ΛZ[ζ 9.2s] é dado por: | Λℑr : Λℑr−1 |= vol(Λℑr) vol(ΛZ[ζ9.2s ]) vol(Λℑr−1) vol(ΛZ[ζ9.2s ]) = 3 r 3r−1 = 3.
Observe que cada ideal em Z[ζ9.2s] integrado pelo elementos dados ℑkpor k = 0,1,...,N − 1, se obtêm da partição de reticulados sobre Z[ω] dados por (81)
ΛZ[ζ9.2s]/Λℑ/Λℑ2/ . . . /ΛℑN−2/ΛℑN−1, (80)
onde | Λℑr/Λℑr|= 3,∀r = 1,...,N − 1 satisfaz (78):
ΛZ[ζ
9.2s]⊃ Λℑ. . . ⊃ ΛℑN−1. (81) É por isso que por cada índice k ≥ N, se obtém:
ΛZ[ζ ]= Λℑ0, Λℑ, . . . , ΛℑN−1, ΛℑN = Λℑ0, ΛℑN+1= Λℑ, . . . , ΛℑN+N−1= ΛℑN−1. . . (82) Observação 5.2.
1. Pode-se obter, ΛZ[ζ9.2s]isomorfismo dos reticulados sobre Z[ω]N. Pela Observação 5.1 é
preciso só normalizar N, onde N = 3.2s−1.
2. Para obter a matriz geradora associada a Λℑka transformação necessária na (79), é pre- ciso normalizar a matriz geradora associada para os reticulados sobre Z[ω] por 1/N3k para cada k = 0,...,N − 1.
6 CONCLUSÕES
Quando se fala a respeito de mensagens, pode-se entender símbolos ou letras que se pre- tende transmitir; para que a transmissão seja realizada com êxito é preciso quantificar a in- formação que contêm a mensagem, assim Shannon define esta quantidade como uma relação logarítmica da probabilidade de cada um dos símbolos que contém a mensagem. Mas o trans- porte da mensagem é obstáculo enfrentado em diferentes tipos de interferência presentes no ambiente, por isso acaba afetando os parâmetros de energia do sinal que se quer transmitir, fazendo uso do modelo de Costa (COSTA, 1985) o sistema de transmissão é desenhado. A proposta enfoca na codificação de canal para alcançar a comunicação sem fio com sucesso para o sistema MIMO.
Em modulação codificada, isto é, na codificação do canal os sinais são representados por palavras-código, desta maneira os sistemas de comunicação podem ser representados matema- ticamente através de ferramentas algébricas da teoria dos números algébricos. As vantagens da representação das palavras-código sobre corpos são as propriedades de linearidade, associ- ativas e comutativas em suas operações aditivas e multiplicativas, permitindo um desempenho eficiente de códigos; simplificando os cálculos que são necessários para desenvolver métodos de detecção e correção de erros no canal.
Os reticulados provenientes de corpos de números possuem propriedades geométricas que são adaptadas às constelações dos sinais modulados, onde se podem identificar parâmetros tais como densidade, raios e áreas limitantes para as decisões de palavras-código no processo de de- modulação. De acordo com os parâmetros mencionados, procura-se encontrar reticulados com maior densidade, dependendo das áreas de empacotamento, associados aos corpos utilizados.
Com a estratégia apresentada por (NAZER; GASTPAR, 2011a) pode-se utilizar o ruído de forma benéfica para realizar a quantificação da mensagem a transmitir, por meio de sistemas lineares. Associando com os reticulados pela Construção A, definindo desta maneira códigos de reticulados aninhados Z[ρ] ondeρ = i ouω.
A partir da garantia da existência dos códigos reticulados alinhados sobre Z[ω] proposto por (TUNALI et al., 2012) é apresentado o esquema para definir a partição da cadeia de reticulados dos coeficientes do canal pelo esquema de (TRINCA, 2013) pelo sua matriz geradora formada pelo elemento idealζ9.2s. Com os códigos reticulados alinhados Z[ω] dos subreticulados de
ΛZ[ζ9.2s] tem-se melhor quantificação com eles, obtendo uma partição dupla de cadeia infinita de reticulados.
Como trabalhos futuros pode-se calcular a cadeia de reticulados complexos aninhados sobre ΛZ[ζ9.2s] apresentando seu índice de erro quadrático mínimo (MMSE, minimum mean square error). ——————————————————————————————
REFERÊNCIAS
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APÊNDICE A - IDEAIS PRIMOS TOTALMENTE RAMIFICADOS NA EXTENSÃO Q(ζ9.2S)/Q(ω)
Seja L um corpo ciclotômico, tal que L é uma extensão algébrica finita sobre Q(ω).
Cada ideal I do anel de inteiros OL tem uma fatoração em um produto único de ideais
primos dados na forma:
I OL= ℑe1
1 ℑe22. . . ℑenn. (83)
A potência de qualquer ideal ℑifaz parte da fatoração POL a qual é chamada de grau de
ramificação de ℑisobre PZ[ω] e é denotado pelo e(ℑi|P) = ei.
Se ei ≥ 2, pode-se dizer que P é ramificado em OL. Do mesmo modo, se POL = ℑn,
pode-se dizer que P é totalmente ramificado em OL.
No trabalho tem interesse em encontrar ideais em OL, tal que, para algum inteiro primo
P, pode-se escrever o ideal P como POL= ℑNOL, onde ℑ é um ideal primo em OL e N é a dimensão da extensão do corpo L/Q(ω).
Seja P e ℑ, onde P = (1−ω)Z[ω] e ℑ = (1 −ζ9.2s)OLsão ideais que pertencem aos anéis Z[ω], OL, respectivamente. Se demostrara que o ideal ℑ é totalmente ramificado na extensão de
corpos L/Q(ω).
Proposição A.1. Sejaζ9.2s a9.2s-ésima raiz da unidade, para s ≥ 2 e L = Q(ζ9.2s). Tem-se os seguintes resultados:
1. P = (1 −ω)Z[ω] é um ideal primo no anel de inteiros Z[ω]. 2. A norma relativa é dada por:
NQ(ζ9.2s)/Q(9.2s−1)(1 −ζ9.2s) = 1 −ζ9.2s−1. (84) Prova A.1.
1. Note-se que quando é aplicada a norma relativa NQ(ω)/Qsobre1 −ω (o elemento gera- dor do ideal P), tem-se:
NQ(ω)/Q(1 −ω) = id(1 −ω)σ(1 −ω) = 1 −ω2= 3. (85)
2. Aplicando a norma relativa NQ(ζ9.2s)/Q(ζ
9.2s−1) sobre1 −ζ9.2s,tem-se NQ(ζ9.2s)/Q(ζ
9.2s−1)(1 −ζ9.2s) = id(1 −ζ9.2s)σr(1 −ζ9.2s)
= (1 −ζ9.2s)(1 +ζ9.2s) = 1 −ζ9.22 s = 1 −ζ9.2s−1. (86) Proposição A.2. A norma relativa NQ(ζ9.2s)/Q(ω) aplicada sobre o elemento 1 −ζ9.2s é dada pelo NQ(ζ9.2s)/Q(ω)(1 −ζ9.2s) = 1 −ω, ∀s > 2.
Prova A.2.
1. Para s = 0, tem-se que
NQ(ζ9)/Q(ω)(1 −ζ9) = id(1 −ζ9)σ3(1 −ζ9) = (1 −ζ9)(1 +ζ9) = 1 −ζ92= 1 −ω. (87)
2. Pelo indução, sobre s − 1, tem-se que NQ(ζ
9.2s−1)/Q(ω)(1 −ζ9.2s−1) = 1 −ω. (88) Note
NQ(ζ9.2s)/Q(9.2s−1)(1 −ζ9.2s) = (1 −ζ9.2s)(1 +ζ9.2s) = 1 −ζ9.22 s= 1 −ζ9.2s−1. (89)
Pelo propriedades da norma relativa do extensão finita de corpos, tem-se que NQ(ζ9.2s)/Q(ω)(1 −ζ9.2s) = NQ(ζ
9.2s−1)/Q(ω)(NQ(ζ9.2s)/Q(9.2s−1)(1 −ζ9.2s)). (90) Como consequência do ponto (2) da Proposição A.1, conclui-se
NQ(ζ9.2s)/Q(ω)(1 −ζ9.2s) = 1 −ω. (91) Proposição A.3. A norma relativa NQ(ζ
9.2s)/Q(1 −ζ9.2s) = 3, ∀s > 2. Prova A.3.
1. Para s = 0, tem-se que OL = Z[ζ9]. Como consequência da propriedade da norma re-
lativa da extensão finita de corpos e da prova do ponto (1) da Proposição A.2, tem-se que:
2. Pelo indução, sobre s − 1, tem-se que NQ(ζ
9.2s−1)/Q(1 −ζ9.2s−1) = 3. (93) Note que tem-se
NQ(ζ9.2s)/Q(1 −ζ9.2s) = NQ(ζ
9.2s−1)/Q(NQ(ζ9.2s)/Q(9.2s−1)(1 −ζ9.2s)). (94) Note também que
NQ(ζ9.2s−1)/Q(1 −ζ9.2s−1) = 1 −ζ9.2s−1. (95) Pelo consequência da indução sobre s − 1, se obtém que
NQ(ζ9.2s)/Q(1 −ζ9.2s) = NQ(ζ
9.2s−1)/Q(1 −ζ9.2s−1) = 3. (96) Proposição A.4. O ideal P é totalmente ramificado na extensão Galois Q(ζ9.2s)/Q(ω). Prova A.4. A Proposição A.4 estabelece que o elemento 1 −ζ9.2s é primo em Z[ζ9.2s]. Conse- quentemente, o ideal P é um ideal primo em Z[ζ9.2s].
Como consequência da prova do Proposição A.4, pode-se reescrever o ideal P como P = ℑN, onde N é o grau da extensão do corpo Q(ζ9.2s)/Q(ω).