Relasjon og tillit

Na presente pesquisa, a professora parceira (Lis), intrigada sobre o processo de resolução utilizado pelos alunos numa situação de investigações nas aulas de Matemática, escreveu uma reflexão sobre o acontecimento, revelando o papel da comunicação de idéias matemáticas, que refletiu em aprendizagens dos alunos e também dela:

Aprendendo, com os alunos, uma nova relação matemática

Na equação 2n + 2 = 50, ao resolvermos pela inversa, não podemos fazer primeiro a divisão por 2?

O que aconteceria se começássemos dividindo? →

[...] Além dos desentendimentos, muitas situações de desacordo precisaram ser equacionadas e nesses momentos minha intervenção se fez necessária. Estas situações, porém, contribuíram para o envolvimento dos alunos nos processos de argumentação. Uma delas, que ocorreu em dois grupos, merece ser relatada:

Quando tentaram encontrar o número de mesas necessário para acomodar 50 pessoas, o grupo do Jordão, que já havia construído uma regra para encontrar o número de pessoas, a partir do número de mesas (2n+2) tentou fazer o caminho inverso e pensava da seguinte forma:

50∟2

25

Porém, ao testarem, viam que a resposta estava incorreta, pois,

25

- 2 23 . 2 + 2 = 46 + 2 = 48 pessoas. 23

Eu percebia que estava errado, mas não conseguia perceber por que a idéia de seguir pela operação inversa não dava certo. Como, naquele momento, não poderia parar para refletir, tentei explicar, usando o próprio raciocínio deles, como poderíamos resolver aquele problema, se poderiam subtrair pessoas de mesas, ou seja, eles sabiam que na conta

50∟2

25 → 25 era o número de mesas, e na conta 25

- 2 → 2 era o número de pessoas 23

2n + 2 = 50 2 2 n + 1 = 25 n = 25 - 1

Eles ficaram confusos e então perguntei: Se querem descontar estas duas pessoas, que são aquelas que se sentarão nas pontas, quantas mesas precisam tirar?

Eles perceberam, então, que bastaria tirar uma mesa e, aí sim, o resultado seria correto.

50 ∟2 25

25 -1 (mesas = 2 pessoas)

24

24 . 2 + 2 = 50

|→ pessoas das pontas

Isso foi ótimo para resolver o consenso, mas não foi suficiente para esclarecer minha própria dúvida. Conversando depois com a Tati, ela começou a falar que outro grupo explicava da seguinte forma o raciocínio:

50 pessoas – 6 pessoas que sentam nas mesas das pontas resulta 44 pessoas, que dividido por 2, resulta 22 mesas. Juntando com as 2 mesas das pontas seriam 24 (mas parece que o grupo não conseguia chegar nisso).

Foi depois, em casa, pensando sobre os dois episódios que percebi onde os alunos do primeiro grupo estavam errando. Na equação 2n + 2 = 50, primeiro teríamos que subtrair 2, para depois dividir por dois. Esta era a lógica que o grupo do segundo episódio utilizava.

Refletindo sobre essa “descoberta” com a Tati na sexta-feira, quando nos encontramos para discutir um texto sobre argumentação e analisar os resultados obtidos pelos alunos da Ju, percebi que aquele caminho não poderia mesmo ter sido outro, pois seria melhor respeitar o raciocínio dos próprios alunos do que tentar impor-lhes outro, mas percebi algo novo para mim: a relação entre a hierarquia das expressões numéricas e a hierarquia das equações: elas são opostas!

Isso, agora, parece óbvio, mas nunca fiz esta relação com meus alunos!

Percebi que, por ter respeitado o raciocínio dos alunos, terei, depois, fortes argumentos para explicar-lhes por que deixar a divisão para depois da soma ou subtração numa equação!

Fiquei feliz por perceber que pude, mais uma vez, aprender com meus alunos, mesmo eles estando em uma sexta série!

O relato escrito pela professora Lis mostra sua reflexão e a mudança que houve desde o Movimento da Matemática Moderna. Alguns professores hoje passam a refletir sobre o que fazem, a comunicação é diferente. Escrever sobre o acontecido, refletir sobre o vivido na sala de aula coloca a professora em movimento. A professora também está estabelecendo a comunicação de suas idéias na forma de um registro. Isso possibilita a comunicação com ela mesma e com os teóricos que ela tem estudado. Além disso, a reflexão nasceu também devido à troca de idéias entre professora e pesquisadora. O registro possibilitará que essa comunicação ocorra também com outros professores e influenciará na prática da professora a partir daquele momento.

A professora Lis escreveu o relato após a aula em que os alunos desenvolveram a primeira tarefa, momento em que a dúvida foi gerada, porém antes que ocorressem as apresentações dos alunos. A pesquisadora observou que a professora passou a adotar em suas falas o mesmo raciocínio que descreveu no relato, para poder explicar e interagir com os alunos.

O mesmo discurso foi usado pela professora, ao fazer a sistematização da tarefa, para explicar o método de resolução de equação também conhecido como “método da transposição de termos”, que utiliza a passagem dos termos de um membro para outro, usando a operação inversa (FREITAS, 2002). A professora chamou esse método de “inversa”. O trecho transcrito da fala da professora deixa claro como o raciocínio desenvolvido durante o relato passou a ser usado.

[...] ou posso resolver uma equação pela inversa, só que, se for pela inversa, eu não posso multiplicar primeiro, porque daí é o inverso da expressão numérica, primeiro eu vou fazer a soma, que vai virar subtração, depois a multiplicação que vai virar divisão... Então tem que ser a operação inversa na ordem invertida. [Trecho da transcrição da

sistematização, 08/05/2007, grifo da pesquisadora]

A dúvida que gerou a reflexão da professora aconteceu devido ao fato de os alunos chamarem de “inversa” outro método de resolução de equação conhecido como “balança”, nome também adotado pela professora. Esse método é fundamentado nas propriedades da igualdade, em que é efetuada a mesma operação em ambos os termos da equação (FREITAS, 2002). O método da “balança” também foi explicado pela professora. “...a idéia da balança, quando eu divido por

dois, eu divido os dois lados por dois. Depois, se eu tenho um a mais aqui e eu quero eliminar esse um, então eu tiro um desse lado e tiro um do outro também.” [Trecho da transcrição da sistematização, 08/05/2007].

Mesmo a professora Lis parecendo ter o domínio da linguagem formal, foi possível ver pelo seu relato que ela a princípio não conseguiu entender o pensamento dos alunos. Aparentemente, o pensamento da professora era algébrico, para entender o pensamento aritmético dos alunos. Ela teve dificuldade em perceber, pensando algebricamente, por que o que os alunos chamavam de “inversa” não dava certo ao subtrair 2: eles pensavam o que seria, para a professora, o método de efetuar a mesma operação em ambos os termos da equação — método da “balança”, uma vez que a professora chamava de “inversa” o método de resolução da transposição de termos. No entanto, ela não estava pensando mais na equação, e era preciso entender o raciocínio deles.

Em nossa concepção, outro professor que não tivesse essa postura de refletir provavelmente agiria diferente. Um professor que não buscasse entender o que estava acontecendo e como os alunos estavam pensando poderia ter simplesmente determinado que os alunos deveriam primeiro subtrair para depois dividir, sem maiores explicações.