5. Drøftinger
5.3 Refleksjon og bruk av refleksjonskjemaer
Na se¸c˜ao anterior vimos que um estado de v´acuo, digamos |χi0, ´e tal que as condi¸c˜oes
Bp|χi0 =|χi0 e Av|χi0 =|χi0 sejam satisfeitas para toda plaqueta p e todo v´ertice v. Sendo
assim um estado excitado ´e obtido quando uma ou mais condi¸c˜oes s˜ao violadas. Considere, por exemplo, que esta condi¸c˜ao seja violada para alguma plaqueta p′, ou seja,
Bp′|χi = −|χi ,
enquanto as outras condi¸c˜oes permanecem inalteradas. Isso significa que o estado |χi ´e um estado excitado da hamiltoniana - com uma excita¸c˜ao localizada na plaqueta p′. As
excita¸c˜oes de plaquetas s˜ao quasi-part´ıculas denominadas de fluxo e representadas por m. Analogamente, se para um determinado estado tˆem-se que Av′|χi = −|χi, dizemos que |χi ´e
um estado excitado com uma quasi-part´ıcula de carga localizada no v´ertice v′ e representada
por e.
Por´em, tanto as quasi-part´ıculas de carga quanto as de fluxo s´o podem ser criadas em pares, o que significa que n˜ao existe um estado com uma ´unica quasi-part´ıcula de fluxo, por exemplo. A raz˜ao para isso decorre da rela¸c˜ao
Y
p
A rela¸c˜ao acima imp˜oe uma restri¸c˜ao nos operadores de plaqueta de tal forma que n˜ao pode haver um ´unico operador de plaqueta com autovalor −1, caso contr´ario a rela¸c˜ao acima n˜ao seria satisfeita. O mesmo ocorre para quasi-part´ıculas de carga, uma vez que os operadores de v´ertice tamb´em satisfazem `a rela¸c˜ao
Y
v
Av = 1 . (3.21)
Uma vez definidas as excita¸c˜oes elementares do TC, vamos agora olhar para as maneiras de se obter tais estados excitados. A maneira como isso ´e feito ´e pela aplica¸c˜ao de operadores de string nos estados de v´acuo. Para obter um estado excitado com um par de quasi-part´ıcula de fluxo, |χfi, basta aplicar o operador
Xl = σlx
num estado de v´acuo do modelo. Para entender melhor essa afirma¸c˜ao, precisamos levar al- guns pontos em considera¸c˜ao: primeiramente, o operador σx
l comuta com todos os operadores
de v´ertice, portanto, se |Ψ0i ´e um estado de v´acuo, ent˜ao
Avσlx|Ψ0i = σlxAv|Ψ0i = σxl|Ψ0i ,
ou seja, o novo estado σx
l|Ψ0i satisfaz as condi¸c˜oes de v´acuo para todos os v´ertices e, portanto,
n˜ao representa um estado com excita¸c˜ao de carga. Os operadores de plaqueta, entretanto, comutam com o operador σx
l somente para as plaquetas que n˜ao compartilham a aresta l e,
pelo mesmo motivo, n˜ao representa um estado com excita¸c˜ao de fluxo nas plaquetas que n˜ao compartilham a aresta l. Finalmente, sejam p′ e p′′ as duas plaquetas que compartilham a
aresta l. Nesse caso temos que
Bp′σxl =−σxlBp′ e Bp′′σlx =−σlxBp′′ , (3.22)
o que implica em
Bp′σlx|Ψ0i = −σlxBp′|Ψ0i = −σxl|Ψ0i ,
ou seja, σx
l|Ψ0i ´e um estado excitado com uma quasi-part´ıcula de fluxo localizada na plaqueta
p′ e, dado que o mesmo argumento ´e v´alido para a plaqueta p′′, esse mesmo estado carrega
tamb´em uma quasi-part´ıcula de fluxo localizada na plaqueta p′′. A figura 3.7(a) representa
o estado excitado σx
l|Ψ0i, a linha verde representa a a¸c˜ao do operador Xl = σlx, invertendo
o spin localizado na aresta l. Analogamente, o estado σz
l|Ψ0i representa um estado com
um par de excita¸c˜ao de carga, localizadas nos v´ertices que s˜ao extremidade da aresta l - conforme ilustrado na figura 3.7(b), onde a linha vermelha representa a a¸c˜ao do operador Zl = σzl. Algebricamente falando, o motivo ´e o mesmo que no caso das quasi-part´ıculas de
fluxo - os operadores de v´ertice Av′ e Av′′ anti-comutam com Zl e, portanto, tˆem-se que o
estado Zl|χi0 ´e um estado excitado com um par de quasi-part´ıculas de carga.
Observe que o operador de string Xγ∗ comuta com todos os operadores de plaqueta
que n˜ao est˜ao nas extremidades do caminho γ∗ - al´em de comutar com todos os operadores
de v´ertice trivialmente. Resumindo, os operadores de string Xγ∗ satisfazem `as seguintes
rela¸c˜oes:
[Xγ∗, Av] = 0 ∀v (3.23a)
[Xγ∗, Bp] = 0 se p /∈ ∂γ∗ (3.23b)
par de fluxos
(a) A¸c˜ao do operador de string Xl na aresta l.
par de cargas
(b) A¸c˜ao do operador de string Zl na
aresta l.
Figura 3.7.: operadores de string.
Com isso conclu´ımos que o estado
|m, miγ∗ = Xγ∗|χi0 (3.24)
´e um estado excitado da hamiltoniana do TC; com um par de quasi-part´ıculas de fluxo localizados nas extremidades do caminho γ∗ - conforme ilustrado na figura 3.8(a). Analoga-
mente, o operador Zγ cria quasi-part´ıcula de carga somente nas extremidades do caminho
γ, e obedece `a seguinte ´algebra:
[Zγ, Bp] = 0 ∀p (3.25a)
[Zγ, Av] = 0 se v /∈ ∂γ (3.25b)
ZγAv =−AvZγ se v ∈ ∂γ . (3.25c)
Com isso conclu´ımos que o estado
|e, eiγ = Zγ|χi0 (3.26)
´e um estado excitado da hamiltoniana do TC; com um par de quasi-part´ıculas de carga localizadas nas extremidades do caminho γ - conforme mostrado na figura 3.8(b).
As quasi-part´ıculas de carga e de fluxo podem ser movidas sem nenhum custo ener- g´etico. Os operadores que desempenham esta tarefa s˜ao os pr´oprios operadores que criam essas excita¸c˜oes, isto ´e, Xγ∗ e Zγ. O estado |m, miγ∗◦˜γ∗ - representado na figura 3.9(b) -
pode ser obtido do estado |m, miγ∗ - representado na figura 3.9(a) - pela simples aplica¸c˜ao
do operador de string X˜γ∗, ou seja,
|m, miγ∗◦˜γ∗ = Xγ˜∗|m, miγ∗ .
Mover uma quasi-part´ıcula n˜ao custa energia, pois isso somente altera sua localiza¸c˜ao e o n´umero total de quasi-part´ıcula ´e conservado. A bolinha branca na figura 3.9(b) representa a fus˜ao de duas quasi-part´ıculas de fluxo. Note que o auto-valor do operador de plaqueta (para a plaqueta em destaque na figura) ´e +1, indicando que n˜ao h´a excita¸c˜ao naquela plaqueta. Com isso conclu´ımos que a fus˜ao de duas quasi-part´ıculas de fluxo ´e uma quasi-part´ıcula de v´acuo, representada por 1. O mesmo argumento ´e v´alido para quasi-part´ıculas de carga. Podemos ent˜ao escrever as seguintes regras de fus˜ao para o TC:
(a) A¸c˜ao do operadores de string Xγ∗ criando um par de
fluxos.
(b) A¸c˜ao do operador de string Zγ criando um par de cargas.
Figura 3.8.: par de fluxos e par de cargas criados nas extremidades dos caminhos.
(a) Estado de duas quasi- part´ıculas de fluxo. As setas re- presentam o caminho ao longo do qual a quasi-part´ıcula ser´a movida.
(b) A bolinha branca repre- senta a fus˜ao de duas excita¸c˜oes de fluxo.
Figura 3.9.: movendo quasi-part´ıculas.
A fus˜ao de uma quasi-part´ıcula de carga com uma quasi-part´ıcula de fluxo resulta numa terceira quasi-part´ıcula, chamada de dyon e representada por ǫ.
e× m = ǫ . (3.28)
Um estado quˆantico que contempla a existˆencia de tal quasi-part´ıcula vem da aplica¸c˜ao simultˆanea dos operadores de string Xγ e Zγ∗. As quasi-part´ıculas de dyon, entretanto,
est˜ao localizadas nos sites da rede, sendo um site s definido por um par s = (v, p), com v sendo um v´ertice e p uma plaqueta adjacente a este v´ertice. Se as extremidades dos caminhos γ e γ∗ coincidem, isto ´e, est˜ao no mesmo site, ent˜ao um estado quˆantico com um par de
dyons ´e obtido por:
|ǫ, ǫiγ = XγZγ∗|Ψ0i . (3.29)
Figura 3.10.: cria¸c˜ao de uma quasi-part´ıcula de dyon a partir da fus˜ao de uma quasi-part´ıcula de carga com uma de fluxo.
Por fim, dizemos que as excita¸c˜oes do TC s˜ao dadas por quatro quasi-part´ıculas {1, e, m, ǫ} e essas, por sua vez, obedecem `as regras de fus˜ao apresentadas no exemplo 2.1 - no cap´ıtulo 2. Os diagramas de fus˜ao dessas part´ıculas s˜ao representados nas figuras 2.5 e 2.6. Uma vez que todas as regras de fus˜ao s˜ao abelianas neste modelo, n˜ao precisamos nos preocupar com as matrizes-F , pois essas s˜ao todas triviais e a regra do pent´agono ´e trivial- mente satisfeita. Por´em, ainda precisamos garantir que a regra do hex´agono seja satisfeita e, para isso, precisamos calcular as matrizes-R que, ali´as, s˜ao iguais `as matrizes de braid, pois os anyons s˜ao abelianos.