Substituição e o processo de conversão de registros de representações
semióticas. O Método da Substituição e Eliminação constitui o eixo da nossa seqüência didática com o propósito de levar os alunos a tomarem consciência do processo de resolução de um sistema de tal forma que consigam desenvolvê-lo sistematizando-o e operando somente com os coeficientes das incógnitas, ou variáveis, como ocorre no processo de resolução através do Método de Escalonamento.
Nesse sentido, inicialmente, buscamos evocar a conversão de registro da língua natural para o registro matemático algébrico em meio a resolução de sistemas contextualizados envolvendo situações da vida real, a fim de despertar a atenção dos alunos para a presença, mesmo que implícita, do nosso objeto de estudo nas formulações de diferentes situações problemas.
Assim, começamos enfrentando várias situações-problema envolvendo a resolução de equações lineares entre as quais destacamos:
Situação Problema 1
- Veja o preço de cada peixe para o aquário:
- Veja o preço de cada peixe para o aquário:
- Se eu quiser montar um aquário com 5 peixes da espécie A e 10 peixes da espécie B, vou gastar R$ 48,00. Qual é o preço de cada peixe?
Uma for mulação esperada para a situação problema apresentada anteriormente seria:
,
= x sendo A o preço do peixe daespécie A
A
3
5 B = x + e B o preço do peixe daespécie B
48 10 5 A + B =
Observamos que tal problema constitui um sistema de três equações com três incógnitas, e que pode ser reduzido a uma equação por meio de substituições na ter ceira equação das incógnitas A e B, isoladas na primeira e segunda equações, respectivamente, ou seja,
3 x
+
48 10 5 3 5 , = + + = = x B x x A 5() /F4 15.871 f 1 0 0 1 188.88 499.65 µ ()
3 48 2 5 x + x + =Normalmente, questão como a acima apresentada é visualizada e resolvida diretamente através da construção de uma única equação, ficando implícita a
percepção de um sistema diante da equação construída, conforme demonstra uma das várias for mulações apr esentadas pelos alunos a seguir:
Aqui o sistema se apresenta de forma implícita, pois o aluno buscou
formular o problema como uma única equação para, em seguida, explicitar as outras incógnitas A e B solicitas no enunciado. Isso acontece, não raro, na formulação de problemas quando a substituição é feita implicitamente e se explicita já a equação final, o que pode levar à formulação algébrica não congruente com o enunciado do problema, como se observa acima. Acr editamos que a atitude do aluno pode decor rer da omissão, ou não explicitação, de relações existentes entre as grandezas envolvidas no problema, o que constitui, sem dúvida, um err o de fazer matemático
na formulação de situações problemas. Tais erros de fazer podem ser induzidos pelo fazer escolar do professor que formula situações-problema com tais substituições sem explicitá-las, omitindo-as de quem assiste a formulação, o aluno. Julgamos que tal atitude do professor pode ser decorr ente da busca de situar os problemas como o de uma equação por estar em processo de estudo o objeto equação de uma
variável, por exemplo, ou ainda, para evitar o uso de sistemas de equações por considerá-los de maior complexidade.
Mesmo que o objeto de estudo seja equação com apenas uma variável, devemos trabalhar a visualização do mesmo como um sistema quando for o caso, pois, geralmente, a construção de uma equação emerge de outras que podem ser associadas numa só, e isso precisa ser mostrado aos alunos.
Quando não trabalhamos a constr ução de equações da forma descrita acima, acabamos por desconsider ar supostos conhecimentos algébricos que os alunos do ensino médio apresentam e que permitem for mular a situação problema como um sistema, conforme o observado anterior mente.
No processo de resolução da situação pr oblema 1 apresentada, os alunos além de não visualizarem dir etamente a construção da equação como um sistema, revelaram outras dificuldades como a de realizar a conversão do registro escrito na língua natural, enunciado apresentado, para o registro algébrico das equações, conforme demonstra a solução a seguir.
Aqui, além dos alunos não terem conseguido realizar a conversão de registros, omitiram por completo as relações entr e as incógnitas que permitem encontrar as soluções do problema enunciado.
A dificuldade de conversão de registro, bem como o estabelecimento de relações entre as incógnitas no processo de resolução de equações, não aconteceu somente no enfrentamento da situação problema 1, se mostrou, também, evidente no processo de resolução da situação pr oblema 2 apresentada a seguir:
Situação Problema – 2
- Em uma prova do Campeonato Mundial de Fórmula 1, 14 dos carr os bateram logo no início e ficaram fora da corrida. Durante a corrida, 27 dos carros tiveram de abandonar a prova por defeitos mecânicos. Apenas 13 carros terminaram a corrida. Quantos carros iniciaram a prova?
A situação problema 2 é um exercício típico de aritmética e, portanto pode ter induzido o aluno a for mular e resolver o problema como segue.
A não congruência do enunciado da situação problema 2 com a for mulação matemática é evidente e revela a dificuldade do aluno em expr essar, por meio de registros algébricos, e mesmos numér icos fracionários, o enunciado do problema. Tal problema, quando formulado algebricamente, se encaixa no mesmo tipo do problema anterior, ou seja, pode ser formulado como um sistema explicitando as relações entre as grandezas envolvidas, por exemplo:
x é o número total de carros
1 , :
4
2 , :
7
B x B o número de carros que bateram=
A x A o número de carros que abandoram a corrida=