Meta-synthesis

Nesta secção será definida a metodologia utilizada para acoplar os meios fluido e estrutural. Nota-se que a malha nesses dois meios é diferente, conforme ilustrado na Fig. 4.6, na qual se indica a malha de discretização do fluido por elementos retangulares dispostos

sobre a superfície de uma estrutura cilíndrica e a malha de discretização do domínio estrutural que, de acordo com a teoria de Cosserat, abordada no Capítulo 3, é formada por nós posicionados sobre uma linha.

Figura 4.6. Acoplamento entre as malhas do fluido e estrutural.

Um dos principais problemas enfrentados nesta etapa é como transferir as forças e momentos aplicados pelo fluido sobre a superfície do cilindro, calculadas pelo método da fronteira, aos nós da malha estrutural. Este problema também deve ser resolvido no sentido inverso, ou seja, transferência dos deslocamentos, velocidades e acelerações que são calculados usando a teoria de vigas de Cosserat para a superfície do cilindro que estará em contato com o fluido.

O procedimento adotado consiste em considerar “fatias” da malha cilíndrica, na direção do comprimento do cilindro imerso, composto por uma fileira de elementos na direção “z” e associá-lo a um dado ponto nodal da malha estrutural, de modo que a força, assim como o momento aplicado sobre o nó da malha estrutural, sejam as resultantes das solicitações aplicadas em todos os nós da malha de fluido na superfície da “fatia” de cilindro . A Fig. 4.7 ilustra esta abordagem.

Figura 4.7 – Aplicação das forcas exercidas pelo Fluido a um ponto nodal estrutural, plano x-y. Na Fig. 4.7, os pontos em vermelho representam os pontos lagrangianos da estrutura submersa e o ponto em verde representa o nó da malha estrutural. Para realizar a transferência de informações entre os dois domínios torna-se necessário o uso de eixos auxiliares de referências. Nesta modelagem foram utilizados três eixos, que são mostrados na Fig. 4.8, sendo dois deles móveis (Axyz e Ax y z_{1 1 1}) e um fixo (OXYZ).

Figura 4.8. – Representação esquemática de uma “fatia” do cilindro simulado e os eixos de referência utilizados.

Os eixos Axyz estão animados com movimento de translação, definido a partir do

cálculo estrutural em termos de posição, velocidade e aceleração da linha de centróides que, por sua vez, são representados neste modelo pelas três primeiras componentes dos vetores de coordenadas nodais associadas ao nó estrutural da fatia do cilindro, ( ), ( )q t q t eq . Já o ( )t

sistema de eixos Ax y z1 1 1 está animado com movimento de rotação, sendo solidário à seção

transversal, e seus eixos são orientados de forma que x e 1 y estejam contidos no plano da 1

seção transversal, conforme ilustrado na Fig. 4.7. Assim, sua movimentação está associada às três últimas componentes do vetor de coordenadas nodais, que são definidas pelas variáveis

, ,

φ φ φ_{x y z} e , ,φ φ φ  _{x y z}, que representam, respectivamente, as componentes da posição e da velocidade angular.

O sistema de eixos Ax y z_{1 1 1} foi definido a fim de facilitar a completa descrição dos

pontos lagragianos, pois nas simulações foi admitido que a seção transversal comporta-se como um corpo rígido, o que implica que a distância entre dois pontos no seu interior permanece inalterada durante o movimento. A posição do ponto lagrangiano no eixo móvel

1 1 1

Ax y z é definida como ′r para _l l=1até l=N, dado que N representa o número total de

pontos lagrangianos por “fatia”.

Uma vez definidos os dois eixos auxiliares, os procedimentos de transferência de informações serão abordados. Para facilitar a compreensão deste processo, a apresentação será dividida em duas partes. Na primeira parte, as forças lagrangianas definidas na seção 4.1.2, representadas pelo vetor F X

( )

,t , assim como os momentos produzidos associados serão transferidos. Na segunda etapa, após a realização da simulação estrutural, as novas posições e velocidades do centro de massa serão atualizadas.

4.3.2. Transferência das forças aplicadas da malha langrangiana para os pontos nodais

As forças lagrangianas calculadas no meio fluido são aplicadas na superfície imersa. Este fato faz com que se tenha que desenvolver algoritmos capazes de transferir esta força de superfície para o ponto nodal estrutural. Conforme esquematizado na Fig.4.7 pode-se escrever:

(

)

(

)

1 ( , ) = =

∑

∑

N l OXYZ OXYZ l t F F X (4.28)

em que N representa o número de pontos lagrangianos e uma fatia, ( , )F X_l t é o vetor de

força lagrangiana para o l-enésimo ponto lagrangiano e F é o vetor de força transferida ao ponto nodal.

Nota-se que a direção do sistema de eixos Axyz , devido ao seu movimento de translação, permanece inalterada em relação ao sistema inercial OXYZ . Portanto, sem qualquer transformação, pode-se escrever a Eq. (4.28) da seguinte forma:

( )

(

)

1 = =

∑

N

∑

l _{OXYZ Axyz} l F F (4.29)

Uma vez definido o vetor de forças aplicadas ao ponto nodal, deve-se definir o momento associado, o qual é calculado da seguinte forma:

( )

( )

/

( )

1 = = ×

∑

∑

N l B A l

Axyz Axyz Axyz

i

M r F (4.30)

Conforme mostrado na Fig. 4.8 o vetor l_/ B A

r representa a posição do l-ésimo ponto

lagrangeano e está representado no sistema Axyz. Entretanto, os pontos lagrangeanos no inteiror da “fatia” estão definidos pelo vetor ′r_l no sistema de referencia Ax y z_{1 1 1}, conforme

mostrado na Fig. 4.7. Portanto, como as forças também estão representadas nos eixos Axyz, optou-se por projetar o vetor ′r neste sistema de coordenadas devido ao fato de suas direções l

Figura 4.9 – Projeção do vetor r′_l no sistema Axyz.

Matematicamente, essa projeção é feita utilizando uma matriz de rotação definida a partir dos ângulos de Euler. Essa transformação consiste basicamente em transpor o movimento giratório de um eixo em outro utilizando três rotações consecutivas, definidas pelos ângulos ,φ φ φ_{x y} e _z em torno dos eixos x y e z, respectivamente, conforme definido anteriormente para a parametrização na teoria de vigas de Cosserat na Seção 2.1. Esta matriz de transformação é dada por:

cos cos cos cos cos

cos cos cos cos cos

cos cos

z y z x y z x z y z x y

F S

z y z x y z x z y z x y

x y x x y

sen sen sen sen sen sen

sen sen sen sen sen

sen sen φ φ φ φ φ φ φ φ φ φ φ φ φφ φ φ φ φ φ φ φ φ φ φ φ φ φ φ φ ⎡ + − + ⎤ ⎢ ⎥ = −_⎢ + + _⎥ ⎢ − ⎥ ⎣ ⎦ T (4.31)

Portanto, pode-se escrever:

( )

/ =

( )

′ _{1 1 1}

l

B A _Axyz l _{Ax y z}

r T r (4.32)

( )

(

( )

( )

)

1 1 1 1 N l l Axyz Ax y z Axyz i= ′ = ⋅ ×

∑

M

∑

T r F (4.33)

Deste modo as forças e momentos devidos às forças aplicadas na superfície da estrutura são transportados para os pontos nodais da malha estrutural.

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