Nesta secção, dividida em três partes, apresentamos um resumo das estratégias utilizadas pelos alunos na resolução das tarefas propostas na ficha de avaliação diagnóstica, assim como dos erros mais significativos. Cada parte inicia-se com uma tabela que apresenta a frequência observada de cada uma das estratégias, sendo que esta frequência se encontra referenciada como tendo conduzido a respostas corretas (C), parcialmente corretas (PC) ou incorretas (I).
No caso das respostas, apresentamos na Tabela 16 as frequências absolutas e percentagens (arredondadas às décimas) das respostas corretas, parcialmente corretas, incorretas e não respostas observadas nas resoluções da ficha de avaliação diagnóstica.
Tabela 16 — Frequência absoluta e percentagem dos diferentes tipos de respostas. Classificação Correta Parcialmente correta Incorreta Não responde Frequência absoluta (%) 66 (23,1%) 18 (6,3%) 111 (38,8%) 91 (31,8%)
Total 195 (68,2%)
Na ficha de avaliação diagnóstica foram registadas cento e noventa e cinco respostas de duzentas e oitenta e seis possíveis. Das respostas obtidas sessenta e seis foram classificadas como corretas, dezoito como parcialmente corretas e cento e onze como incorretas. Em relação à percentagem de acertos que observamos esta foi muito baixa (23,1%) e significativamente mais baixa que a percentagem de respostas incorretas (38,8%).
No caso das estratégias, depois de classificadas em diferentes categorias, apresentamos, a seguir, relativamente aos diferentes tipos de relações consideradas, as frequências dos tipos de respostas segundo essas estratégias.
Relações entre perímetros e áreas de figuras planas em casos gerais
Nas alíneas relativas a comparações entre perímetros e áreas de figuras planas em casos gerais, as estratégias utilizadas pelos alunos e respetivas frequências encontram-se na Tabela 17.
Tabela 17 — Estratégias utilizadas pelos alunos nas respostas às questões sobre relações entre perímetros e áreas de figuras planas.
Itens
Estratégias Não intuitivas
Intuitivas Esquemas
geométricos Generalização algébrica particulares Casos Linearização Outras
1a) --- --- --- 1C --- --- 3C --- 1I 10C --- --- 2C --- 1I --- --- --- 1b) 1C --- --- 1C 2PC --- 4C --- --- --- --- --- --- --- --- --- --- *4I 2a) --- --- --- --- --- --- 2C --- 2I 8C --- --- 1C --- 2I --- --- --- 2b) --- --- --- --- --- --- 3C --- --- --- --- 4I --- --- 2I 2C --- ---
Totais 1 4 50 15 22 8 6
*Regra mais A – mais B
Como podemos observar na Tabela 16, o grupo de alunos alvo deste estudo mostrou uma clara preferência por estratégias lineares para a resolução destes problemas. Este facto contraria o observado por Martins (2008) quando refere, para um conjunto de itens onde estas alíneas se inseriam, que “a maioria dos alunos, do 6.º e do 9.º anos, recorreu ao uso de regras intuitivas, nomeadamente ao uso da regra intuitiva mais A – mais B” (p. 145). Também Van Dooren et al. (2008) observaram que alunos tendem a aplicar raciocínios baseados, incorretamente, na aplicação da proporcionalidade, direta ou inversa, à área ou volume de uma figura geométrica ou de um sólido, quando confrontados com problemas de ampliação ou redução.
Van Dooren et al. (2004) sugeriram a existência de uma ligação entre o uso excessivo da linearidade e a teoria das regras intuitivas, dado que muitos dos alunos justificaram que uma figura ampliada tem maior área e maior volume, aumentando na mesma razão, e uma vez que a figura mantém a sua forma depois de ampliada (ou reduzida), então tudo é ampliado (reduzido) segundo a mesma razão, donde a razão entre a área e o volume mantém-se constante (regra intuitiva mesmo A – mesmo B)
Apesar de este conjunto de itens tratar essencialmente de comparações entre áreas e perímetros, o recurso a estratégias intuitivas só foi observado em seis casos, sendo que destes, quatro utilizaram a regra intuitiva mais A – mais B, conduzindo a respostas incorretas.
A segunda estratégia a reunir maior preferência por parte dos alunos foi o recurso a casos particulares. Sendo que este conjunto de itens era de caráter geral, podemos conjeturar sobre o
facto de os alunos recorrerem a casos particulares como forma de contornarem a dificuldade que sentem em raciocinar fora do contexto particular.
No total das respostas dadas, cinquenta mostraram preferência dos alunos por estratégias não intuitivas e apenas seis por estratégias intuitivas.
Relações entre áreas de superfície e volumes em casos gerais
Nas alíneas relativas a relações entre áreas de superfície e volumes em casos gerais, as estratégias utilizadas pelos alunos e respetivas frequências encontram-se na Tabela 18.
Tabela 18 — Estratégias utilizadas pelos alunos nas respostas às questões sobre relações entre áreas de superfície e volumes em casos gerais.
Itens
Estratégias Não intuitivas
Intuitivas Generalização
algébrica Casos particulares Linearização Outras
3a) --- 1PC --- 3C --- --- --- ---- 4I 2C --- --- --- --- 5I* 3b) --- 1PC --- 3C --- --- --- ---- 2I 1C --- --- --- --- 2I 4 --- --- --- 1C --- 2I --- --- --- --- --- --- 1C 8I* 3I** 5 --- --- --- --- --- --- --- --- --- --- --- --- 1C* 3C*** 16I**** 1I
Totais 2 9 20 6 3 40
*Regra mais A – mais B; ** não justificaram; *** regra diferente A – diferente B; **** regra mesmo A –
mesmo B.
Na resolução deste conjunto de alíneas os alunos mostraram preferência por estratégias intuitivas: quarenta em sessenta respostas dadas. Destes, catorze justificaram as suas respostas com recurso à utilização da regra mais A – mais B, conduzindo sempre a respostas incorretas, à exceção de uma resposta correta. A regra intuitiva mais utilizada foi a mesmo A – mesmo B, que mereceu a utilização de dezasseis alunos, conduzindo sempre a respostas incorretas. Finalmente, a regra intuitiva diferente A – diferente B conduziu a três respostas corretas.
O recurso a casos particulares foi a segunda estratégia mais adotada pelos alunos, sendo que em sete casos conduziu a respostas corretas e em dois casos a respostas incorretas.
As estratégias lineares verificaram uma acentuada diminuição nas preferências dos alunos face ao conjunto de alíneas tratado anteriormente. Ainda assim, foram seis os alunos que adotaram esta estratégia que conduziu em todos os casos a respostas incorretas.
A generalização algébrica do problema mereceu a preferência de apenas dois alunos, sendo que em ambos os casos as respostas foram classificadas como parcialmente corretas.
Neste conjunto de alíneas observamos uma clara preferência pela utilização de estratégias intuitivas. Este resultado vai ao encontro do observado por Martins (2008), em que se verificou ter sido esta estratégia a mais utilizada pelos alunos em itens de caráter geral.
Relações entre áreas de superfície e volumes em casos particulares
Nas alíneas relativas a relações entre áreas de superfície e volumes em casos particulares, as estratégias utilizadas pelos alunos e respetivas frequências encontram-se na Tabela 19.
Tabela 19 — Estratégias utilizadas pelos alunos nas respostas às questões sobre relações entre áreas de superfície e volumes em casos particulares.
Itens
Estratégias Não intuitivas
Intuitivas Esquemas
geométricos Cálculos/ Fórmulas Generalização algébrica Contagem Linearização
6a) --- --- --- 2C 7PC 9I --- --- --- --- --- --- --- --- --- 1C --- --- 6b) --- --- --- --- 1PC 5I --- --- --- --- --- --- --- --- --- --- 1PC 3I 6c) --- --- --- 4C --- --- --- 1PC --- --- --- --- --- --- 1I --- --- 5I* 7a) --- 1PC --- 2C 2PC 7I --- --- --- --- --- 3I --- --- --- --- --- --- 7b) --- --- --- 2C 2PC 6I --- --- --- --- --- 3I --- --- --- --- --- --- Totais 1 50 1 59 6 1 10
*Regra mais A – mais B
Neste conjunto das alíneas, os alunos aplicaram, na sua grande maioria, estratégias não intuitivas nas respetivas resoluções: cinquenta e nove aplicaram estratégias não intuitivas e dez aplicaram estratégias intuitivas.
A estratégia mais adotada neste conjunto de itens foi o recurso a cálculos numéricos ou fórmulas, observada em cinquenta resoluções. Apenas seis alunos resolveram as alíneas 7a) e 7b) com recurso a contagens, sendo que todas conduziram a respostas incorretas. Realçamos o facto de que alguns alunos consideraram que o número de quadrículas referentes ao perímetro das planificações ou referentes à área total das planificações corresponderiam ao volume das respetivas caixas, mostrando dessa forma dificuldades na compreensão do conceito volume.
Ao contrário do observado por Serra (2010), nenhum aluno que utilizou a estratégia de contagem obteve uma resposta correta, assim como nenhum aluno que optou pela contagem do número de cubos com que poderíamos preencher a caixa camada-a-camada (raciocínio aditivo), tal como observou o mesmo autor no seu estudo.
Neste estudo, a determinação do volume revestiu-se de uma natureza bastante problemática no caso em que o sólido era representado por uma planificação. Para Battista (2007), a compreensão do conceito de volume implica a capacidade para construir e
desconstruir a representação do sólido e perceber que o seu volume se mantém; saber as medidas de volume e das suas unidades; saber utilizar processos numéricos para o cálculo de volumes e como os representar matematicamente.
Relativamente às estratégias intuitivas, estas foram apresentadas em dez resoluções e apenas nas alíneas 6a), 6b) e 6c). Apenas uma destas estratégias conduziu à resposta correta, sendo que neste caso o aluno aplicou a regra intuitiva mais A – mais B. As restantes conduziram a uma resposta parcialmente incorreta e a seis incorretas, sendo que destas, cinco resultaram da aplicação da regra intuitiva mais A – mais B.
Do total das cento e oitenta e cinco respostas obtidas na ficha de avaliação diagnóstica, cinquenta e seis correspondem a respostas com recurso a estratégias intuitivas e cento e vinte e nove a não intuitivas. Destas últimas, as mais expressivas correspondem à utilização de cálculos ou fórmulas e à utilização de estratégias lineares, com cinquenta e vinte e nove respostas, respetivamente.
Tal como já referimos, estratégias intuitivas foram observadas em cinquenta e seis respostas. Destas, vinte e três corresponderam à aplicação da regra intuitiva mais A – mais B, dezasseis da regra mesmo A – mesmo B e três da regra diferente A – diferente B. No total das respostas com recurso a estratégias intuitivas observamos que quarenta e sete conduziram a respostas incorretas, oito a respostas corretas e uma a resposta parcialmente correta.
5.2.2. Objetivo 2: Estabelecer uma estratégia de ensino do tema “Volumes e áreas de