Outra maneira de obter cotas superiores para a probabilidade de ru´ına ´e via Martin- gales. Introduziremos, a seguir, o conceito de Martingales e um resultado importante que ser´a usado na demonstra¸c˜ao do teorema que nos d´a cotas superiores para a Probabilidade de Ru´ına por esta abordagem.
Considere um jogador que est´a fazendo uma sequencia de apostas nas quais a proba- bilidade de ele ganhar ´e de 1
2 e de perder ´e de 1
2. Seja Yn, n ≥ 1, uma sequencia de v.a.
i.i.d. que representa o resultado de cada aposta, tal que P (Yn= 1) = 1/2 = P (Yn= −1).
Aqui Yn = 1 quando o apostador ganha e Yn = −1 quando ele perde a n-´esima aposta.
Se ele aposta levando em considera¸c˜ao os resultados anteriores, suas apostas sucessivas podem ser descritas como uma sequencia bn de v.a.’s onde
bn = bn(Y1, ..., Yn−1), n ≥ 2.
Seja V0 o capital inicial do apostador e Vn seu capital ap´os a n-´esima jogada. Ent˜ao
Vn= V0+ n
X
i=1
biYi
Afirmamos que E[Vn+1|Y1, ..., Yn] = Vn. Para provarmos este fato note que Vn+1 = Vn+
bn+1Yn+1. Logo
E[Vn+1|Y1, ..., Yn] = E[Vn|Y1, ..., Yn] + E[bnYn+1|Y1, ..., Yn]
= Vn+ bn+1E[Yn+1|Y1, ..., Yn],
pois Vn e bn+1 s˜ao determinados por Y1, ..., Yn;
Vn+ bn+1E[Yn+1|Y1, ..., Yn] = Vn+ bn+1E[Yn+1],
pois as Yn’s s˜ao independentes. Assim,
E[Vn+1|Y1, ..., Yn] = Vn+ bn+1E[Yn+1] = Vn+ bn+1((1)1/2 + (−1)1/2) = Vn
{Vn} ´e, ent˜ao, dita uma martingale com rela¸c˜ao a Yn. Se Yn = Vn para todo n dizemos
simplesmente que Vn ´e uma martingale pois satisfaz E[Vn+1|V1, ..., Vn] = Vn.
Uma martingale ´e, ent˜ao, a representa¸c˜ao matem´atica de um jogo justo, isto ´e, um jogo onde a probabilidade de ganhar em uma jogada ´e igual a probabilidade de perder. No entanto, n˜ao devemos restringir a teoria de martingales a essa particular situa¸c˜ao pois trata-se de uma poderosa ferramenta na Teoria da Probabilidade.
Defini¸c˜ao 1: Um processo estoc´astico {Vn}n≥0 ´e dito ser um martingale em rela¸c˜ao
ao processo {Yn}n≥0 se E[|Vn|] < ∞, para todo n, e
Se interpretamos Vncomo a quantidade de dinheiro de um jogador ap´os o n-´esimo jogo,
ent˜ao a defini¸c˜ao acima diz que o valor esperado da quantidade de dinheiro do jogador depois do (n + 1)-´esimo jogo ´e igual ao valor ap´os o n-´esimo jogo, n˜ao importando o que tenha ocorrido previamente. Assim, aplicando o valor esperado a ambos os membros da equa¸c˜ao (2.21), temos:
E[E[Vn+1|Y1, Y2, ..., Yn]] = E[Vn] ⇔ E[Vn+1] = E[Vn] ⇔ E[Vn] = E[V1],
para todo n.
Defini¸c˜ao 2: Um processo estoc´astico {Vn}n≥0 ´e dito ser um submartingale com
rela¸c˜ao a Yn se E[Vn+] < ∞, para todo n, e
E[Vn+1|Y1, Y2, ..., Yn] ≥ Vn, (2.22)
onde V+
n = max {0, Vn} .
{Vn}n≥0 ´e dito ser um supermartingale com rela¸c˜ao a Yn se E[Vn−] < ∞, para todo n,
e
E[Vn+1|Y1, Y2, ..., Yn] ≤ Vn, (2.23)
onde V−
n = −min {0, Vn} .
Enquanto uma martingale descreve um jogo justo, as submartingales e supermartingale descrevem jogos favor´aveis e desfavor´aveis para o jogador, respectivamente.
Enunciaremos, a seguir, o Teorema da Parada Opcional para martingales que ser´a usado na demonstra¸c˜ao do resultado que nos d´a uma cota superior para a probabilidade de ru´ına pela abordagem Martingale. Para tanto precisamos introduzir o conceito de
tempo de parada:
Defini¸c˜ao 3: Um tempo de parada T com rela¸c˜ao ao processo estoc´astico {Vn} ´e
uma vari´avel aleat´oria que assume valores inteiros positivos tal que, para cada n, o evento {T = n} depende somente de {V1, ..., Vn} .
Teorema 2.3.7 Teorema da parada opcional
Seja {Vn} uma martingale e T um tempo de parada finito. Se:
• E[|VT|] < ∞; e
• limn→∞E[VnI{T >n}] = 0, onde I{T >n} = 1 se T > n e I{T >n} = 0 se T ≤ n,
ent˜ao E[VT] = E[V0].
Analogamente, se {Vn} ´e um submartingale ou um supermartingale e as condi¸c˜oes
acima s˜ao verdadeiras, temos
E[VT] ≥ E[V0],
se {Vn} ´e supermartingale e
E[VT] ≤ E[V0],
se {Vn} ´e submartingale.
Com a finalidade de obter cotas superiores para a probabilidade de ru´ına via Martin- gales, considere o processo de risco descontado
Vn := Xn n
Y
l=1
com n ≥ 1. As probabilidades de ru´ına no horizonte finito em (1.12) associadas ao processo {Vn, n = 1, 2, ...} s˜ao
ψnπ(x, i) := P π
(∪nk=1{Vk < 0} |X0 = x, I0 = i).
No Modelo de Risco Cl´assico, e−R0Xn
n≥1 ´e um Martingale. No entanto, para o
modelo (1.9), n˜ao existe constante r > 0 tal que e−rXn
n≥1 seja um Martingale. Mas
existe uma constante r > 0 tal quee−rVn
n≥1´e um supermartingale, o que nos permitir´a
obter cotas superiores para a Probabilidade de Ru´ına pelo Teorema da Parada Opcional. Tal constante ´e definida na Proposi¸c˜ao a seguir, que pode ser encontrada em [5].
Proposi¸c˜ao 2.3.8 Suponha que para cada i ∈ I existe ρi satisfazendo
Eπ[e−ρi(C(b)Z1−bY1)(1+I1)−1|I
0 = i] = 1. (2.24)
Ent˜ao,
R1 := mini∈I ρi ≥ R0, (2.25)
e, al´em disso, para todo i ∈ I
Eπ[e−R1(C(b)Z1−bY1)(1+I1)−1|I
0 = i] ≤ 1. (2.26)
Demonstra¸c˜ao:
Para cada i ∈ I e r > 0, seja
li(r) := Eπ[e−r(C(b)Z1−bY1)(1+I1)
−1
|I0 = i] − 1. (2.27)
Ent˜ao a primeira derivada de li(r) em r = 0 ´e
l′i(r) := Eπ
[−(C(b)Z1− bY1)(1 + I1)−1|I0 = i] = −Eπ[(C(b)Z1− bY1)]E[(1 + I1)−1|I0 = i].
Como Eπ[(C(b)Z
1− bY1)] > 0 e E[(1 + I1)−1|I0 = i], l′i(0) < 0 para todo i ∈ I.
A segunda derivada de li(r) ´e dada por
l′′i(r) = E π
[[(C(b)Z1− bY1)(1 + I1)−1]2e−r(C(b)Z1−bY1)(1+I1)
−1
|I0 = i] ≥ 0,
para todo i ∈ I, ou seja, li(r) ´e uma fun¸c˜ao convexa com uma raiz em r = 0 e uma ´unica
raiz positiva.
Seja ρi a ´unica raiz positiva da equa¸c˜ao li(r) = 0. Ent˜ao li(ρ) ≤ 0 se, e somente se,
0 ≤ ρ ≤ ρi. Note que
Eπ[e−R0(C(b)Z1−bY1)(1+I1)−1|I
0 = i] =
X
j∈I
P (I1 = j|I0 = i)Eπ[e−R0(C(b)Z1−bY1)(1+j)
−1 ] =X j∈I pijEπ[e−R0(C(b)Z1−bY1)(1+j) −1 ] ≤X j∈I pijEπ[e−R0(C(b)Z1−bY1)](1+j) −1 ,
pela desigualdade de Jensen.
Como R0 satisfaz Eπ[e−R0(C(b)Z1−bY1)] = 1 ePj∈Ipij = 1, temos que
li(R0) = Eπ[e−R0(C(b)Z1−bY1)(1+I1)
−1
|I0 = i] − 1 ≤ 0.
Isso implica que R0 < ρi para todo i ∈ I e, ent˜ao,
R1 := miniρi ≥ R0.
Como R1 ≤ ρi para todo i ∈ I, temos que
li(R1) ≤ 1,
para todo i ∈ I, e o resultado fica demonstrado.
Teorema 2.3.9 Sob as hip´oteses da Proposi¸c˜ao 2.3.8, para todo i ∈ I e x ≥ 0, ψπ
(x, i) ≤ e−R1x. (2.28)
Demonstra¸c˜ao:
Pela equa¸c˜ao (1.10), o processo de risco descontado Vn:= XnQnl=1 1 + Il−1 satisfaz:
Vn= x + n X k=1 (C(b0)Zk− b0Yk) k Y l=1 (1 + Il)−1 ! . (2.29) Seja Sn= e−R1Vn. Ent˜ao Sn = e−R1Vn ⇒ Sn+1 = e−R1Vn+1 ⇒ Sn+1 = Sne−R1((C(b0)Zn+1−b0Yn+1) Qn+1 l=1(1+Il)−1).
Assim, para todo n ≥ 1,
E[Sn+1|Y1, ..., Yn, Z1, ..., Zn, I1, ..., In] = = SnE[e−R1((C(b0)Zn+1−b0Yn+1) Qn+1 l=1(1+Il)−1)|Y 1, ..., Yn, Z1, ..., Zn, I1, ..., In] = SnE[e−R1((C(b0)Zn+1−b0Yn+1)(1+In+1) −1Qn l=1(1+Il)−1)|I 1, ..., In] ≤ SnE[e−R1(C(b0)Zn+1−b0Yn+1)(1+In+1) −1 |I1, ..., In] Qn l=1(1+Il)−1 ≤ S n,
ou seja, Sn ´e um supermartingale.
Seja Ti = min {n : Vn < 0|I0 = i}, onde Vn ´e dado por (2.29). Ent˜ao Ti ´e um tempo
de parada e n ∧ Ti := min {n, Ti} ´e um tempo de parada finito. Assim, pelo teorema da
parada opcional enunciado anteriormente, temos: E[Sn∧Ti] ≤ E[S0] = e
−R1x.
e−R1x ≥ E[S n∧Ti] ≥ E π[S n∧TiI(Ti≤n)] ≥ E π[S TiI(Ti≤n)] = = Eπ[e−R1VT1I (Ti≤n)] ≥ E π [I(Ti≤n)] = ψ π n(x, i),
o que ocorre pelo fato de VTi < 0. Assim, fazendo n → ∞ obtemos o resultado.
Cap´ıtulo 3
Resultados Num´ericos
Para ilustrar os resultados enunciados no cap´ıtulo anterior reproduzimos dois exemplos num´ericos apresentados no artigo de Diasparra e Romera [5], usando, no entanto, duas abordagens diferentes. Inicialmente supomos conhecida a distribui¸c˜ao das indeniza¸c˜oes (Yn) e do tempo entre elas (Zn) como foi feito no artigo. Posteriormente, sem tal suposi¸c˜ao,
lan¸camos m˜ao de t´ecnicas de estima¸c˜ao de densidades para, a partir de um conjunto de dados, encontrarmos as estimativas para as cotas superiores para a probabilidade de ru´ına. Ao final de cada exemplo podemos comparar os resultados provenientes das duas abordagens e constatar se h´a grande discrepˆancia entre eles. Foram utilizados os softwares Maple 13 e R como ferramentas para chegar aos resultados aqui apresentados. Os comandos utilizados s˜ao apresentados detalhadamente no pr´oximo cap´ıtulo.
Antes de apresentar os resultados num´ericos propriamente ditos vamos introduzir o conceito de estima¸c˜ao de densidade.
3.1
Estima¸c˜ao de Densidade do Tipo N´ucleo
Seja X1, X2,...,Xn uma amostra aleat´oria de X com densidade f em R desconhecida.
Desejamos estimar f (x) onde x ´e um ponto de continuidade de f . Sabemos que f (x) = F′(x) = lim h→0 F (x + h) − F (x − h) 2h = limh→0 1 2h(P (X ≤ x+h)−P (X ≤ x−h)) = limh→0 1 2h P (x − h < X ≤ x + h)
e, de modo natural, P (x − h < X ≤ x + h) = limn→∞ #{Xi;Xi∈(x−h,x+h]}n .
Ent˜ao um estimador intuitivo para f (x) ´e fn(x) =
1
2nh # {Xi; Xi ∈ (x − h, x + h]} , onde h = hn → 0 quando n → ∞. Note que
Xi ∈ (x − h, x + h] ⇔ Xi− x ∈ (−h, h] ⇔
Xi− x
h ∈ (−1, 1], ou seja, podemos rescrever o estimador como sendo
fn(x) = 1 2nh n X i=1 I(−1,1] Xi− x h ,
onde I(−1,1](x) = 1, se x ∈ (−1, 1] e 0, caso contr´ario.
´
E f´acil ver que fn(x) depende fortemente da escolha de h, chamado parˆametro de
suaviza¸c˜ao.
Esta ´e a ideia motivadora do m´etodo conhecido como Histograma, um dos m´etodos n˜ao param´etricos mais usados em estima¸c˜ao de densidades, que consiste basicamente em contar o n´umero de observa¸c˜oes que caem em cada intervalo de raio h. As ideias e mo- tiva¸c˜oes do Histograma sugerem, naturalmente, uma generaliza¸c˜ao considerando fun¸c˜oes K chamadas de Kernel (ou N´ucleo) em substitui¸c˜ao `a fun¸c˜ao I que aparece no estimador. Temos ent˜ao um estimador dado por
fn(x) = 1 nh n X i=1 K Xi − x h .
A suavidade do estimador, nesse caso, depender´a n˜ao somente da escolha do parˆametro de suaviza¸c˜ao h mas tamb´em da escolha da pr´opria fun¸c˜ao K. Podemos assumir, por exemplo, que K ´e uma fun¸c˜ao de densidade de probabilidade, em particular, uma Gaus- siana, o que nos garantir´a um estimador suave e com derivadas de todas as ordens.
Por conveniˆencia, todos os estimadores usados neste trabalho foram obtidos a partir de um Kernel (ou n´ucleo) Gaussiano, ou seja, consideramos
K(x) = √1 2π e
−x2 2 .
Existem v´arias maneiras de obter um parˆametro de suaviza¸c˜ao ´otimo como podemos ver em Dias [4] nas quais n˜ao vamos nos deter pois o software utilizado para as simula¸c˜oes tem pacotes implementados que encontram o parˆametro de suaviza¸c˜ao ´otimo de acordo com a amostra gerada.
Em cada um dos exemplos a seguir calculamos os trˆes tipos de cotas superiores para a Probabilidade de Ru´ına que foram enunciados neste trabalho, a saber, Desigualdade de Lundberg, cota superior Indutiva e cota superior obtida via Martingales para alguns valores de b. Consideramos, sem perda de generalidade, a unidade monet´aria igual a E[Y ] em ambos os exemplos.