ensino?
Com a resposta para essa questão, procuramos evidenciar o que as pesquisas apontaram como contribuições do uso da modelagem matemática como metodologia ou estratégia de ensino e aprendizagem de função em salas de aula do ensino Fundamental e Médio.
À medida que identificamos determinados tipos de contribuições apontadas, fomos classificando em categorias, como pode ser conferido a seguir.
I. Pode contribuir para facilitar a aprendizagem significativa dos conceitos matemáticos, particularmente os de função.
Contribuir para que o aluno possa adquirir uma aprendizagem significativa dos conceitos matemáticos, parece ser um pressuposto da modelagem matemática, visto que esta metodologia de ensino, muitas vezes, é considerada partindo do ponto de
vista de que é o aluno quem constrói seu conhecimento, apoiando-se no que já sabe; além disso, apresenta a perspectiva de que conteúdos matemáticos podem ser trabalhados a partir de uma realidade cotidiana, almejando uma possível formação crítica do cidadão. Dos textos analisados podemos destacar os seguintes trechos favoráveis a esta ideia:
Luz (2010): [...] elegemos a Modelagem Matemática como norteadora das atividades desta pesquisa devido as suas contribuições para a aprendizagem significativa de conceitos matemáticos. (p. 50)
[...] pode-se afirmar que o ambiente de aprendizagem gerado pela modelagem apresenta características que satisfazem as condições para a ocorrência da aprendizagem significativa, [...]. (p. 114)
[...] a Modelagem Matemática, por suas características interdisciplinares e investigativas, é uma estratégia que fornece diversas situações nas quais o aluno pode construir significado para um conceito, [...]. (p. 115)
[...] a aprendizagem do conceito de Função do 1º Grau é mais significativa para alguns alunos após a nossa intervenção, podemos afirmar que o ambiente da Modelagem Matemática favoreceu esta aprendizagem, tanto por satisfazer as condições necessárias quanto por propiciar os princípios facilitadores da aprendizagem significativa, [...]. (p. 115-116)
Por fim, admitimos que para alguns alunos a aprendizagem de Função do 1º Grau tornou-se mais significativa após as atividades de Modelagem Matemática. (p. 117)
Pires (2009): Diante dos resultados apresentados [...], podemos inferir que a intervenção de ensino contribuiu para a aprendizagem desses alunos, [...], tanto a modelagem, como a resolução de problemas por apresentarem aspectos aplicativos facilitam ao estudante compreender melhor os argumentos matemáticos, guardar os conceitos e os resultados e valorizar a própria Matemática. (p. 124-125)
Postal (2009): Enfim, consideramos que os resultados obtidos ao final desta análise constituem indícios positivos da Aprendizagem Significativa promovida através da aplicação de estratégias ancoradas na utilização de materiais próprios que possuem potencial de serem significativos desenvolvidos com o auxílio de aplicativos. (p. 79)
O caráter aplicativo da Modelagem em problemas não essencialmente matemáticos pode contribuir para o estudo dos conceitos de funções no Ensino Médio. Além disso, a Modelagem destaca-se por proporcionar aos alunos a atribuição de sentido e a construção de significados de conceitos matemáticos, possibilitando com isso a sua aprendizagem. (p. 83)
Rocha (2009): A etapa da validação do modelo foi um momento significativo, pois os alunos conseguiram estabelecer relações entre o que observavam no seu dia a dia com o que estava sendo abordado em sala de aula. (p. 49)
Santos (2006): [...], a Matemática, por meio de estratégias como de Modelagem, faz com que o estudante encontre significado no que está aprendendo, oportunizando-o a pensar, relacionar, justificar e analisar, construindo um conhecimento matemático que servirá para a apreensão concreta de várias facetas da realidade, possibilitando, com isso, a inserção no mundo de trabalho, das relações sociais e ambientais. (p. 151)
Chaves (2005): Dessa forma, acreditamos poder dizer que esses alunos aprenderam de forma significativa a utilizar as funções como ferramenta para a compreensão de problemas com referência na realidade e, que, a Modelagem, nos termos aqui colocados, favoreceu essa aprendizagem. (p. 126)
Notamos que entre as sete pesquisas, seis delas apontam a modelagem matemática como uma metodologia ou estratégia que pode contribuir para o ensino e a aprendizagem de função de forma significativa, podendo propiciar ao aluno a construção dos conhecimentos matemáticos relacionados a esse assunto de forma integrada com o ambiente sociocultural em que vive.
Entre os argumentos apontados por esses autores, que podem favorecer a aprendizagem significativa, e que são protagonizados pelo processo de modelagem matemática em sala de aula estão os que afirmam que: a modelagem matemática favorece a criação de ambientes de ensino e aprendizagem que satisfaz as condições para ocorrência da aprendizagem significativa; a modelagem matemática, por suas características interdisciplinares e investigativas, é uma estratégia que fornece diversas situações nas quais o aluno pode construir o significado para o conceito de função; a modelagem matemática com a resolução de problemas por apresentarem aspectos aplicativos, pode facilitar ao estudante compreender melhor os argumentos matemáticos e os resultados, apreender conceitos e valorizar a Matemática; o caráter aplicativo da modelagem em problemas não essencialmente matemáticos pode contribuir para o estudo das funções; a validação do modelo pode permitir que os alunos estabeleçam relações entre os conhecimentos do dia a dia e os conhecimentos de sala de aula; a modelagem matemática pode permitir que o
aluno aprenda de forma significativa, a utilizar as funções como ferramentas para compreensão de problemas com referências na realidade.
II. Pode contribuir para a evolução da apropriação pelo aluno dos conceitos matemáticos relacionados às funções.
O processo de modelagem matemática se dá, geralmente, na ordem inversa do que ocorre tradicionalmente, em que é apresentada uma definição e então proposta ao aluno uma expressão matemática que representa uma dada função a partir da qual são estudados os conceitos e elementos a ela inerentes, deixando a resolução de problemas e as aplicações para o final, quando são feitas.
No processo de modelagem matemática, essa ordem se inverte. Inicialmente, tem-se um problema, geralmente um conjunto de dados do qual se deseja obter alguma informação; então, sobre ele se aplicam conceitos matemáticos com o objetivo de obter-se uma expressão (função) que traduza as informações a ele inerentes. Nesse processo, os conceitos podem ir evoluindo, à medida que adquirem validade na resolução do problema e, nesse caso, os conceitos podem vir a tornar- -se mais significativos, à medida que vão sendo validados. Essa ideia se encontra registrada nos trechos seguintes:
Luz (2010): [...] o ambiente da Modelagem Matemática, com suas características, favoreceu a evolução conceitual do conteúdo matemático de Função do 1º Grau. Esta evolução sugere que estes alunos estabeleceram interações substanciais entre os conceitos envolvidos nas atividades e o conteúdo. Isto é justificado pelos significados apropriados encontrados no mapa D de vários alunos. (p. 116)
[...] a atividade de Modelagem Matemática influenciou para a ocorrência da diferenciação progressiva do conceito de Função do 1º Grau, pois a clareza de significado das palavras de ligação, em alguns mapas D, apontou evidências de especificidades quanto ao conceito, em relação aos mapas A. Por exemplo, se no primeiro mapa o aluno afirmar: “Função tem gráfico”, e em um mapa posterior o mesmo aluno escrever: “Função pode ser representada por gráfico”, isso sugere que a compreensão deste aluno, para a relação entre os conceitos “função” e “gráfico” é mais precisa e portanto evoluiu. Esse tipo de evolução conceitual ocorreu para alguns alunos desta pesquisa. (p. 116)
Pires (2009): Assim, podemos dizer que o ensino de função por meio da resolução de problemas, que é uma das etapas do processo de modelagem, oferece a possibilidade de o aluno conhecer o conceito relacionado a um assunto por meio
de atividades oriundas do “mundo real”. (p. 15)
Rocha (2009): Analisando-se as atividades desenvolvidas pelos alunos, pode-se concluir que, de fato, a Modelagem contribuiu para que os alunos aprofundassem seus conhecimentos matemáticos, por meio dos modelos construídos e possibilitou um esclarecimento sobre as repercussões ambientais do plantio de eucaliptos para a região. (p. 92)
Santos (2006): Além disso, os resultados obtidos são animadores, pois se observa, nos alunos, uma mudança das concepções e do sentimento que a Matemática desperta, notando uma maior motivação pela disciplina e pelos conteúdos de matemática estudados, além de uma melhora significativa no desempenho dos mesmos. (p. 149)
Segundo esses pesquisadores, a modelagem matemática pode contribuir para a evolução da apropriação pelo aluno dos conceitos matemáticos relacionados às funções, e tal evolução se dá devido ao fato de a modelagem matemática permitir que o aluno estabeleça interações substanciais entre os conceitos envolvidos nas atividades e o conteúdo e de poder influenciar a diferenciação progressiva do conceito de função. Deve-se, também às etapas do processo de modelagem possibilitar ao aluno conhecer o conceito relacionado a um assunto por meio de atividades oriundas da realidade cotidiana; à modelagem matemática permitir que o aluno aprofunde seus conhecimentos matemáticos, por meio dos modelos construídos; e, poder despertar uma motivação pelos conteúdos estudados.
III. Pode contribuir para tirar as aulas de Matemática da rotina, oportunizando ao professor uma mudança de postura e, ao aluno, a possibilidade de interagir diretamente com o conhecimento que se desenvolve.
O processo de modelagem matemática é um processo de ensino e de aprendizagem que pode valorizar tanto o papel do professor, quanto o papel do aluno, pois, pode estabelecer um ambiente de ensino pautado na interação e na dinâmica por meio da pesquisa de um tema que pode estar relacionado ao cotidiano do aluno, quebrando a rotina das aulas de matemática associada a definições e exercícios, como se percebe nas declarações seguintes:
Macedo (2010): Em nosso modo de ver, o professor é o instrumento para a ação enquanto criador de situações de aprendizagem. (p. 64)
Pudemos sair da rotina, o aluno deixa de ser um mero expectador para ser um construtor de seu próprio saber. Cada estudante pode perceber a importância da Matemática e sua estreita relação com a Física, pode perceber que o conhecimento não é formado por compartimentos estanques, mas, que muitos conhecimentos estão relacionados entre si e que várias partes da Matemática se auxiliam. (p. 160)
Rocha (2009): Percebeu-se que com o uso da Modelagem Matemática pode-se confirmar a integração dos problemas originados das expectativas, dúvidas e inquietações dos alunos teve resultados mais positivos do que as abordagens convencionais. (p. 91)
Santos (2006): [...], percebe-se que a Modelagem Matemática oferece para o ensino-aprendizagem, onde o professor tem a possibilidade de transformar sua prática em algo que estejam presentes a motivação e o interesse, a vontade de aprender, a participação e a colaboração, a aplicabilidade e a utilidade, a investigação e a pesquisa, a reflexão e a crítica. (p. 39)
Chaves (2005): De todos os argumentos favoráveis para a utilização da Modelagem Matemática, podemos classificar como os mais visíveis, a motivação para aprender, bem como a facilitação do aprendizado e a melhora nos níveis de participação, contribuindo dessa forma, para a diminuição da passividade do aluno perante a Matemática e sua própria aprendizagem, além da implantação e da manutenção de um atraente e agradável ambiente de ensino e aprendizagem. (p. 135)
Contribuir para tirar as aulas de Matemática da rotina, oportunizando ao professor uma mudança de postura e ao aluno a possibilidade de interagir diretamente com o conhecimento que se desenvolve, é uma característica do processo de modelagem matemática, também reconhecida em trabalhos de pesquisadores como Bassanezi (2002), Biembengut e Hein (2005), entre outros.
Para os autores dos trabalhos por nós analisados, entre os fatores que concorrem para que a modelagem matemática contribua dessa forma para o ensino e aprendizagem de função no Ensino Fundamental e Médio, e que ficaram evidentes nos trechos que destacamos acima, estão: no processo de modelagem matemática, o aluno pode deixar de ser um mero expectador para se tornar o construtor de seu próprio saber; ao modelar, o aluno pode passar a perceber a estreita relação entre
os diversos conteúdos matemáticos; a modelagem matemática pode possibilitar que o professor transforme sua prática e a aula em algo que esteja presentes a motivação, o interesse, a vontade de aprender, a participação colaborativa, a aplicabilidade, a utilidade, a investigação e a pesquisa e, em especial, a reflexão e a crítica. A modelagem matemática também pode diminuir a passividade do aluno perante a Matemática e seu processo de ensino e aprendizagem.
IV. Pode contribuir para o desenvolvimento, no aluno, das habilidades de resolução de problemas em contextos variados e interdisciplinares.
Sendo uma das características do processo de modelagem matemática envolver o aluno na pesquisa de temas do cotidiano e interdisciplinar, esta pode passar a contribuir no sentido de desenvolver nos alunos habilidades de resolução de problemas em diversos contextos, como foi destacado pelos pesquisadores nos trechos seguintes:
Pires (2010): Levando que essas atividades eram problemas de contextos realísticos, e que um dos objetivos da modelação é desenvolver nos alunos habilidades para resolver problemas, sem deixar de lado os resultados na análise, então, é conveniente considerarmos que a intervenção contribuiu para que esses alunos desenvolvessem habilidades para resolver problemas, uma vez que a intervenção foi fundamentada nos princípios da modelação. (p. 120)
Os resultados [...] permitiram afirmar que, no pós-teste, os alunos do GE apresentaram desempenhos similares nas atividades de contexto matemático e nas de contexto extramatemático. Isso para nós é muito satisfatório, pois mostra que esses alunos desenvolveram habilidades para resolver problemas independentes do contexto apresentado, coisa que não acontecia no pré-teste. (p. 125)
Postal (2009): [...] a grande maioria dos grupos usou corretamente os conceitos avaliados, e aplicaram os conceitos construídos numa nova situação. Atribuímos isto às características do material elaborado, às estratégias didáticas utilizadas durante os encontros visando à compreensão e ao aprimoramento da capacidade de interpretação. (p. 73)
Rocha (2009): Mesmo considerando a dificuldade de aprendizagem dos alunos, devido, talvez, a falta de um conhecimento matemático mais consistente, percebeu-se a eficácia do uso da Modelagem, na abordagem de situações- problema que propiciou a exploração do conceito de função e contribuiu para o
ensino de funções numa perspectiva democrática que oportunizou a integração entre professor e aluno, onde ambos aprenderam numa dinâmica de interação interdisciplinar. O uso da Modelagem permitiu a realização de atividades de natureza diversa que modificou a rotina da sala de aula. (p. 91)
Santos (2006): [...] a modelagem matemática é um processo que acaba envolvendo a realidade e a matemática, mediante a qual se definem estratégias de ação, que oferecem ao aluno condições para a análise global da realidade, reforçada pelos significados da cultura em que está inserido, construindo um saber contextualizado entre a realidade e a matemática. (p. 39)
Chaves (2005): Usando a faceta de modelo característico das funções, podemos ainda, aplicá-las na resolução de problemas de outras áreas do conhecimento, estabelecendo, dessa forma, conexões entre a Matemática e as outras Ciências ou, entre a Matemática e o cotidiano. Assim a Modelagem favorece um tratamento metodológico intra e interdisciplinar para as funções. (p. 68)
Hoje, discute-se muito no âmbito da Educação Básica, sobre o desenvolvimento de competências e habilidades no aluno, como declara a Proposta Curricular de Matemática do Estado de São Paulo (SÃO PAULO, 2008), em que o professor, como profissional da aprendizagem, pode organizar situações que promovam conhecimentos que possam ser mobilizados em competências e habilidades.
Nesse contexto, a modelagem matemática pode tornar-se uma metodologia aliada à prática do professor, na organização dessas atividades, pois, segundo os trabalhos por nós analisados, ela pode contribuir para que o aluno desenvolva as habilidades de resolução de problemas em contextos variados e interdisciplinares. Pires (2009), por exemplo, constatou que os alunos que participaram de atividades de modelagem matemática, desenvolveram habilidades para resolver problemas, independentemente do contexto apresentado.
Segundo o que pudemos apreender a partir dos trechos destacados acima, concorre para que seja possível o desenvolvimento dessas habilidades, o fato de a modelagem matemática contribuir para que os alunos possam aprimorar sua capacidade de interpretação, aplicando os conceitos construídos numa nova situação, fator também reconhecido por Lesh (2005). Também o fato de que esta metodologia pode apresentar condições no sentido de possibilitar a construção do
conceito de função, mesmo considerando a falta de conhecimento matemático mais consistente no aluno; o fato de poder possibilitar o ensino de função numa perspectiva democrática, oportunizando a integração entre professor e aluno, em que este pode aprender por meio de uma dinâmica interdisciplinar; o fato de que a modelagem pode oferecer condições para uma análise global do conteúdo e da realidade, atribuindo elementos da cultura, em que o conhecimento se desenvolve de maneira contextualizada entre a realidade e a matemática; e, por poder permitir um tratamento metodológico intra e interdisciplinar para as funções.
V. Pode contribuir para despertar o espírito investigativo no aluno, despertando o interesse pelas aulas de Matemática.
Um dos princípios da modelagem matemática é que com esta metodologia o processo de ensino a aprendizagem pode ocorrer por meio da investigação e exploração de um tema, que pode ser relacionado à realidade cotidiana pela qual o aluno tem interesse.
Na resolução dos problemas levantados são aplicados os conhecimentos matemáticos do pesquisador, nesse caso, o aluno, o que pode despertar o seu interesse pela Matemática. Nos textos seguintes, nota-se que as pesquisas analisadas destacam esta questão:
Pires (2009): Assim, grande parte do sucesso que os alunos tiveram na realização do teste final seja proveniente do conhecimento construído na resolução de problemas que tiveram origem em situações realísticas vivenciadas por eles durante a intervenção de ensino. Esses problemas despertaram um espírito investigativo nos alunos, fazendo com que aumentasse o interesse pelas aulas de Matemática, contrariando o que habitualmente acontece. (p. 147)
Santos (2006): [...] “As aulas ficaram diferentes, foi comentado o assunto através da própria matemática”, [...] “Tive mais facilidade ao aprender, as aulas ficaram interessantes e os alunos entusiasmados”, “Foi mais fácil, mais agradável e melhorou a compreensão do conteúdo”. (p. 143)
A maioria afirmou que a Modelagem Matemática facilitou muito a compreensão dos conceitos de funções e estatística, pois foi uma maneira diferente, agradável e muito interessante de aprender. [...] “Facilitou, foi muito fácil de aprender matemática desse jeito”, “Sim, agora posso afirmar que eu entendi funções e estatística”. (p. 146)
Fundamental e Médio que refletem a mesma realidade da turma que foi pesquisada, que os alunos apresentam impressões negativas com relação à disciplina de Matemática. Esta pesquisa constatou que após a realização do trabalho com a estratégia de Modelagem Matemática, que envolve investigação, por meio da pesquisa exploratória, levantamento e resolução dos problemas, bem como o desenvolvimento da Matemática relacionada ao tema e análise crítica dessas soluções, os alunos passaram a mostrar mudanças positivas em relação a essas concepções. (p. 149)
Despertar o espírito investigativo e o interesse do aluno pelas aulas de Matemática é, sem dúvida, um considerável desafio para o professor como mediador do processo de ensino e aprendizagem.
A modelagem matemática pode contribuir favoravelmente com esse processo, segundo os autores acima destacados, uma vez que pode despertar um espírito investigativo nos alunos, aumentando seu interesse pelas aulas de dessa matéria; pode deixar os alunos mais entusiasmados e melhorar a compreensão do conteúdo; pode ser uma maneira diferente, agradável e interessante de aprender; e, após a experiência com o trabalho de modelagem matemática, os alunos, geralmente, mostram mudanças positivas em relação às concepções que têm da Matemática.
VI. Pode contribuir para o desenvolvimento da criatividade, para motivação do aluno pelas aulas de matemática e para a formação de um cidadão crítico e mais consciente das questões sociais.
A formação de um cidadão crítico e consciente das questões socioculturais é um desafio para a escola de hoje, como evidenciado nos PCN+ (BRASIL, 2002), e a modelagem matemática da forma como tem sido proposta pode contribuir para a efetivação desta formação, como destacado nos textos a seguir retirados dos trabalhos analisados:
Postal (2009): Ao se trabalhar uma proposta de Modelagem Matemática o estudante desenvolve a criatividade e apresenta uma motivação maior pelas aulas de Matemática. Além disso, o professor consegue envolver os aspectos sociais, culturais e econômicos, ajudando a formar um cidadão mais consciente dos problemas da sociedade.
A metodologia alternativa proporcionou maior interação dos estudantes, no sentido de realizarem as atividades, refletirem sobre o tema [...], e assim construírem o