Iniciaremos nossa jornada filosófica na Grécia Antiga, mais especificamente no século IV a.C., na cidade de Atenas que, na época, era o grande centro do pensamento grego. A Escola Platônica, como ficou conhecida,
reunia a riqueza filosófica derivada de Sócrates, encarnada no seu mais conhecido discípulo: Platão. A ideia de Matemática, para os platônicos, era muito diferente da qual concebemos atualmente, pois na época não se pensava neste campo de conhecimento, mas sim em um conjunto de conhecimentos que incluíam estudos de Aritmética, Geometria, Estereometria (cálculo de volumes de sólidos) e Astronomia. O essencial, no entanto, era a primazia dada pelos gregos à Geometria, da qual todo o pensamento matemático era derivado. A Aritmética, por exemplo, era concebida como parte da própria Geometria, como ficava evidente nos trabalhos apresentados dois séculos antes da Escola Platônica, pelos pitagóricos, que representavam geometricamente sequências numéricas, conhecidas posteriormente como números figurados. Inclusive, expressões como “quadrados perfeitos” surgem neste contexto, embora a associação da expressão “elevado ao quadrado” muitas vezes passe desapercebida por professores e alunos, perdendo uma ótima oportunidade de comentar sobre a ideia original da potenciação com expoente igual a dois, que consistia no cálculo da área de um quadrado de lado determinado. O mesmo vale para a expressão “elevado ao cubo”. Imaginamos que os alunos podem se perguntar: “Mas afinal de contas, no meio de tantos números e potências, onde estará o quadrado e o cubo?”.
No entanto, a importância do trabalho de Platão que enfocaremos está relacionada à forma de expor suas convicções sobre realidade, repercutindo imediatamente na maneira como compreendemos a própria Matemática. O pensamento platônico distinguia claramente dois mundos: “um mundo transcendente perfeito e imutável – o mundo do ser, atemporal e eterno – e outro imperfeito e corruptível – o mundo imanente do vir-a-ser, imerso no tempo e no torvelinho da transformação incessante, este em que nós vivemos” (SILVA, 2007, p. 38). No primeiro universo, devido à incapacidade de acessá-lo concretamente, só podemos fazê-lo através da razão e do entendimento. Na segunda apreciação que faz, Platão enfatiza a possibilidade de alcançá-lo pelos sentidos. Por exemplo, o objeto matemático triângulo só existe neste mundo idealizado e perfeito, não no universo sensível ao ser humano, pois não podemos “construir”, “desenhar”, “sentir”, “ver” um triângulo. Alguns educadores matemáticos também distinguem a ideia de objeto matemático e sua representação, embora Platão não usasse estes termos. Duval (2003) cita esta distinção necessária como sendo
uma das razões fundamentais para justificar a importância dos registros de representações semióticas:
[...] os objetos matemáticos, começando pelos números, não são objetos diretamente perceptíveis ou observáveis com a ajuda de instrumentos. O acesso aos números está ligado à utilização de um sistema de representação que os permite designar (p. 14).
Mas esta citação está longe de querer provocar alguma analogia, pelo contrário, remontamos às ideias de Platão para provocar uma distinção fundamental: Duval utiliza a representação e as transformações de representações como necessárias para ascendermos ao objeto matemático. Platão abominava qualquer tentativa de ingresso neste mundo perfeito através dos sentidos, inclusive através das representações, como o desenho, por exemplo. Tal era sua veneração por este tipo de pensamento puro e imaculado de qualquer contaminação de golpes sensíveis que, para ser admitido na Academia Platônica o aspirante deveria possuir vasto conhecimento geométrico, já que este estava ligado intimamente às próprias considerações filosóficas relevantes na época que, em comum, possuíam a compreensão e indagação sobre questões deste universo imperceptível e inacessível, a não ser pelo intelecto. Dizem, inclusive, que nos portões de entrada de sua academia, estava escrito “ninguém averso à Geometria pode entrar”, tal era a importância considerada a este tipo de pensamento (LINTZ, 1999, p. 101).
Este racionalismo de Platão, como ficaram conhecidos filosoficamente os juízos por ele idealizados, chega à crença de que os conceitos e objetos matemáticos existem a priori, ou seja, independem da criatividade e do trabalho do ser humano. Por este ponto de vista, a Matemática não é criada, mas sim descoberta. Acreditamos que este tipo de pensamento encontra remanescências até os dias de hoje, nas convicções de que a Matemática é uma ciência pronta, acabada, e que os matemáticos nada tem a fazer senão descobrí-la em sua totalidade e, a partir desta descoberta integral, resta o prazer de admirá-la, ainda que sem a possibilidade de percepção sensorial. O pensamento platônico vai de encontro ao que acredita Duval e os atuais estudos em Educação Matemática, pois, ao contrário de Platão, proclamam a necessidade de compreender os objetos matemáticos através de suas representações e ainda a importância de
contemplar (inclusive sensorialmente) as mais ricas e numerosas formas de representá-los.
O platonismo, no entanto, influenciou e provocou convicções em alguns sobre a certeza de que, sobre qualquer afirmação matemática, podemos demonstrar sua validade ou sua falsidade. Para Platão, se ainda não obtemos resposta para alguma asserção, é porque ainda não “descobrimos” a Matemática envolvida para julgá-la correta ou não. Esta Matemática, no entanto, já existe, a
priori, e cabe a nós o trabalho de desvendá-la por completo. Acreditamos que até
a demonstração do Teorema da Incompletude, feito por Gödel, o qual detalharemos mais a frente, a postura dos matemáticos, embora muitos não considerassem a Matemática como sendo algo a ser descoberto, era de que existiria alguma forma para solucionar qualquer problema em aberto, inclusive alguns trabalharam a vida toda sobre poucos problemas tentando desvendá-los como um grande desafio que justificaria sua obsessão por encontrar uma solução adequada. Talvez esta concepção de matemáticos como descobridores de um mundo inacessível aos sentidos, e a possibilidade de passar a vida dedicando-se ao penoso trabalho de resolver um problema em aberto (alguns deles que até hoje não foram solucionados, após séculos de estudos), transmita à sociedade uma imagem dos matemáticos como seres obstinados, totalmente desligados da realidade e produzindo algo que não proporcionará nenhum bem à comunidade a qual estão inseridos, já que a Matemática transitaria apenas no universo das ideias e do intelecto.
A Escola Platônica também foi o berço de muitas ideias conceituais da própria Matemática. Um dos mais conhecidos discípulos de Platão foi Eudoxo de Cnido que nasceu por volta de 408 a.C. e deixou grandes contribuições aos seus seguidores, principalmente com sua Teoria das Proporções e com o Método da Exaustão. A Teoria das Proporções foi exposta no livro V dos Elementos de Euclides:
Diz-se que grandezas estão na mesma razão, a primeira para a segunda e a terceira para a quarta se, quando equimúltiplos quaisquer são tomados da primeira e da terceira e equimúltiplos quaisquer da segunda e da quarta, os primeiros equimúltiplos são ambos maiores que, ou ambos iguais a, ou ambos menores que, os últimos equimúltiplos considerados em ordem correspondente (HEALTH, 1981 apud BOYER, 1974, p. 62).
Isto significa, em linguagem matemática atual, que a c
b =d se, e somente se,
dados inteiros m e n sempre que ma<nb, então mc<nd; se ma=nb, então mc=nd; se ma>nb, então mc>nd. Esta definição, embora pareça simples e até
ingênua nos dias atuais, representa uma grande revolução no pensamento matemático grego, pois dá conta de resolver o grande impasse existente na época: lidar com os problemas causados pela constatação das grandezas incomensuráveis e aceitá-los.
Já o Método da Exaustão, também trabalhado por Eudoxo e considerado uma produção da Escola Platônica, deu conta de outra questão fundamental que atormentava os pensadores gregos: como lidar com o infinito? Hoje sabemos que Arquimedes utilizava habilmente o que chamou de Método Geométrico para realizar demonstrações por dupla redução ao absurdo. Para tanto, utilizava postulados que, segundo Boyer (1974), o próprio Arquimedes atribuía a Eudoxo sua formulação. São eles: (1) “Por repetidas adições a si mesmo, o excesso pelo qual o maior de duas áreas excede a menor pode exceder qualquer área finita dada” e (2) “Dadas duas grandezas distintas, se da maior se subtrai mais que sua metade, e do restante mais que sua metade, e assim por diante, acabará restando uma grandeza menor que a menor das grandezas” (ÁVILA, 1986, p. 38- 39).
O leitor deve ter observado que estas afirmações representam os primeiros indícios do que, após cerca de dois milênios, ficaria conhecido como Cálculo Diferencial e Integral. Porém, existe uma diferença fundamental nesta concepção de infinito quando comparada àquela formalizada no século XVII. Como Ávila (1986) bem menciona, os teoremas (1) e (2) podem ser escritos, respectivamente, nas formas: (3) “Dadas as grandezas a e b existe um múltiplo de a que supera b, isto é, na>b” e (4) “Dadas as grandezas a e b, existe um submúltiplo de b
menor que a , isto é, b a
n< ”. Mas qual seria a diferença primordial entre o conceito
de Eudoxo e aquele formulado aproximadamente vinte séculos depois? Para Eudoxo as grandezas devem ser tomadas a priori para que possamos encontrar um múltiplo ou submúltiplo que satisfaça as condições mencionadas. Utilizando linguagem atual, poderíamos afirmar que Eudoxo construía sua teoria firmado na concepção de infinito potencial, ou seja, a ideia de que o infinito poderia ser obtido
a partir de condições iniciais estabelecidas, como fica clara ao utilizar a expressão “dadas a grandeza”. Esta concepção é muito diferente da atual formalização do conceito de limite: “Sejam f uma função e p um ponto do domínio de f ou
extremidade de um dos intervalos que compõem o domínio de f . Dizemos que f tem limite L, em p, se, para todo ε >0 dado, existir δ >0 tal que, para todo
f
x∈D , 0< x− p <δ f x
( )
−L <ε ” (GUIDORIZZI, 2001, p. 72). Embora sutil, a diferença da expressão “dadas as grandezas” e “para todo” é essencial, pois a segunda envolve a ideia de infinito atual, ou seja, podemos tratar todos os casos como tento uma propriedade específica, ao invés de averiguarmos um repertório de números.Eudoxo e, portanto, a Escola Platônica incluindo, é claro, o próprio Platão, em muito contribuíram para vários aspectos da Matemática. O que discutimos são as implicações dos pensamentos filosóficos e das ideias propagadas pelo platonismo, até hoje encontradas e inclusive muito difundidas.