1. Introduction
4.2 Comparing different algal biomarkers
4.2.1 Pigment analyses, fluorescence and cell counts
Além da conservação das constantes de Casimir, imposta em (5.24), para que o sistema contenha apenas estados físicos reais, ainda devemos impor em nossos cálculos a positividade da energia, e que as partículas estejam na camada de massa. Assim, definiremos a medida de integração nos momentos, como
dk = d
Dk
(2π)D−12θ(k0)δ(k 2
− m2). (5.27)
Ao invés de incluirmos essa função degrau θ, e a função delta na medida de integração, poderíamos ter definido a função f(0) de forma a contemplar essas condições, e assim o faremos no próximo capítulo.
Ao substituir essa medida de integração, (5.27), e o valor final de ˜F, (5.26), em (5.23), obtemos Πµνab = g2 Ø partículas,spins C2δab Ú dD−1k (2π)D−1 Ú dk02θ(k0)δ(k2− m2)NB,F(k0)× gµν − k νpµ+ kµpν k.p + kµkνp2 (k.p)2 . (5.28)
Agora, a fim de efetuar a integral em k0, devemos reescrever a função delta da expressão acima na seguinte forma:
δ(k2− m2) = δ(k20 − þk2− m2) = δ(k02− ωk2) = 1 2ωk
[δ(k0+ ωk) + δ(k0− ωk)]. (5.29) E assim, ao integrar (5.28) em k0, a função θ(k0) irá garantir que apenas δ(k0− ωk) contribua, portanto, Πµνab = g2 Ø partículas,spins C2δab Ú dD−1k (2π)D−1 NB,F(k0) k0 gµν − k νpµ+ kµpν k.p + kµkνp2 (k.p)2 . (5.30)
Por fim, nos resta apenas a somatória acima, onde a contabilização das espécies de partículas produzirá um fator 2Nf para os férmions, pois devemos considerar as partículas e antipartículas. Já para o fator, fS, proveniente da soma dos graus de liberdade do
spin, utilizaremos o resultado do artigo Systematics of higher-spin gauge fields(WIT;
FREEDMAN, 1980), que define
fS =
21S+D−5S−1 2+1S+D−5S 2, para bósons com spin igual a S; 2D2
1S +D−4
S 2
, para férmions com spin igual a S + 1 2.
(5.31) Essa expressão acima é válida apenas para D ≥ 4, e resulta em D − 2 para bósons com spin igual a 1. Em contrapartida, fS = 2
D
Assim, reunindo todos esses resultados, vemos que o valor encontrado para a auto- energia via equação de transporte é exatamente igual ao obtido via HTL em (4.16), a menos de um fator −i. Todavia, este irá ocorrer naturalmente após efetuarmos uma continuação analítica em (4.16), então o resultado obtido pelos dois formalismos é exatamente igual.
Portanto, concluímos em uma primeira ordem de aproximação, que o formalismo obtido através do limite de altas temperaturas da TQFT é equivalente ao obtido via equação de transporte de Boltzmann, e consecutivamente, vimos que ao aplicarmos as condições previstas pelo HTL na TQFT iremos obter seu limite clássico.
6 Limite de altas temperaturas da QED e a
equação de transporte
Verificamos no capítulo 5que o limite de altas temperaturas da auto-energia, em uma teoria não abeliana, pode ser equivalentemente obtido usando o formalismo de equação de transporte. Sabemos que esse resultado pode ser generalizado para todas as ordens. Ou seja, todas as funções de n glúons, no limite de altas temperaturas, podem ser obtidas via equação de transporte (KELLY et al.,1994) (esse resultado foi também generalizado para o espaço-tempo curvo (BRANDT; FRENKEL; TAYLOR,1995b)). Nosso principal objetivo, no presente capítulo, será investigar se o mesmo ocorre em uma teoria abeliana, mesmo considerando que cada uma das funções de n fótons possui uma dependência distinta na temperatura. Note que essa questão não foi considerada anteriormente, simplesmente porque a contribuição dominante da QED é de fato aquela advinda da função de dois fótons (auto-energia). Mas, em princípio, as outras funções de Green podem (ou não) ter uma correspondente descrição via equação de Boltzmann (BRANDT; FERREIRA; THUORST,2015).
Na QED, a dependência com a temperatura varia de acordo com a ordem de aproximação, ou em termos de gráficos de Feynman, com a quantidade de pernas externas. Em contraste, o mesmo não ocorre para as teorias não-abelianas, já que todos os seus termos dependem igualmente da temperatura, como por exemplo, para a QCD, que possui todas amplitudes térmicas proporcionais à T2 no limite de massa nula, em D = 4 (FRENKEL; TAYLOR, 1990).
Além desta propriedade, podemos também considerar uma situação mais geral, tal que as espécies de cargas distintas são tratadas separadamente. Para tornar esta distinção possível, consideraremos um plasma com uma distribuição de cargas genérica e não neutra, assim evitaremos alguns cancelamentos, pois se utilizássemos um plasma neutro, todas as contribuições de gráficos de Feynman com um número ímpar de vértices (férmion-fóton) se anulariam.
Dentre as amplitudes térmicas existentes, utilizaremos as provenientes de gráficos de Feynman como o exposto na figura 15, que formam diagramas 1PI das amplitudes com
n fótons.
Ao comparar todas as contribuições destas amplitudes térmicas, verificaremos, no caso de um plasma neutro, que o termo dominante na ação efetiva da QED é gerado pelo tensor de polarização do fóton(DESER; GRIGUOLO; SEMINARA, 1998), cuja dependência térmica possui um fator T2. Já as contribuições individuais de pósitrons ou
k k + p1 k + p1+ p2 •• • pn p1 p2 p3
Figura 15 – Diagrama de um loop fermiônico com n fótons externos.
elétrons geram um termo dominante proporcional a T3, proveniente da função de um fóton (n = 1). Os outros termos ou são proporcionais à uma menor potência da temperatura ou possuem combinações de potências e logaritmos da temperatura. Para o cálculo destas amplitudes via TQFT utilizaremos o formalismo do tempo imaginário conforme o capítulo
2, e após aplicaremos o limite de altas temperaturas.
Iniciaremos pelos cálculos via equação de transporte de Boltzmann, que, como será visto na próxima seção, leva a uma ação efetiva explicitamente invariante por transforma- ções de calibre, para qualquer que seja n, pois esta será expressa em termos de tensores eletromagnéticos. Em contrapartida, não é possível obter um resultado, com esta mesma característica explícita, via um procedimento baseado em primeiros princípios, que é o caso da QED com temperatura finita.
Já na terceira seção, calcularemos as mesmas quantidades físicas, para a QED em altas temperaturas, o que nos permitirá comparar os dois formalismos. Este procedimento se restringe até 4 fótons externos, pois mesmo utilizando métodos computacionais (HSIEH; YEHUDAI,1992), a quantidade de cálculos a serem efetuados cresce consideravelmente com a ordem de aproximação.
Por fim, discutiremos a dependência térmica das amplitudes encontradas. Ademais, o caso de altíssimas temperaturas, ou equivalentemente, o caso no qual a massa é desprezível, envolve termos com divergências infravermelhas, e será tratado a parte no apêndiceD.