Para compararmos dois métodos de amostragem, vamos novamente considerar que estão nas mesmas condições sob controlo. Neste ponto, por só considerarmos métodos com dimensões amostrais fixas (FSI, VSI e LSI), essas comparações serão feitas através do AATS.
Considerem-se o AATS do método FSI dado por (2.16) e o AATS do método LSI dado por (3.71). Com L = 3, d = 1 em FSI, k = 3.8134 em LSI e que a característica da qualidade tem distribuição normal, a eficácia dos métodos FSI e LSI é comparada através do rácio Q3.2 dado por
3.2 [MC] LSI AATS Q 1 100% AATS § · u ¨ ¸ © ¹ , (3.75) onde [MC], que designa o método em comparação, é substituído por FSI, e Q3.2 é uma
medida de variação relativa, em %, no valor do AATS, quando se usa o método [MC] em vez do método LSI.
Durante esta investigação fomos obtendo resultados com alterações da média, no desvio padrão e na média e no desvio padrão. Contudo, perante as sugestões que fomos recebendo, dos revisores dos trabalhos que fomos submetendo (em particular, a de ser mais adequado utilizar em conjunto uma carta para médias e uma carta para a dispersão, o que na literatura, e em geral, só acontece à posteriori), optámos por só apresentar resultados com alterações na média. Assim, os valores do rácio (3.75), para a comparação de eficácia de LSI com FSI são apresentados na Fig. 3.2 a partir da qual podemos concluir que:
1) Não consideramos os valores do rácio para O = 0 porque se trata da situação em que o processo se encontra sob controlo e os métodos são equivalentes.
2) Em geral, a carta de controlo para a média com o método LSI é mais eficaz do que a carta de controlo para a média com método FSI na deteção de pequenas e
-40,00 -20,00 0,00 20,00 40,00 60,00 80,00 100,00 120,00 0,25 0,5 1 1,5 2 2,5 3 Q 3 .5 O n=1 n=2 n=4 n=5 n=9
probabilidade não é elevada; a redução máxima do AATS obtidas com LSI é, significativamente, superior a redução máxima do AATS obtida com FSI.
3) Para alterações cuja probabilidade de deteção é muito elevada, o método FSI tem melhor desempenho do que o método LSI. Nesta situação, o número médio de amostras até sinal (ou falso alarme) é muito reduzido, pelo que o intervalo entre o instante em que ocorre a falha e o instante em que é recolhida a amostra após a falha é de extrema importância, igualando o período de mau funcionamento sempre que seja necessária apenas uma amostra para detetar a alteração. No caso de um intervalo médio de amostragem igual à unidade, o valor médio desse intervalo, E(G), é igual a 0.61 no método LSI e 0.5 no método FSI.
Fig. 3.2. – Valores de Q3.2, %, com [MC] = FSI, em função de O,
com U = 1, d = 1 em FSI e diferentes dimensões amostrais.
4) Quanto à monotonia, os valores do rácio começam por crescer, atingem um máximo e depois decrescem. Os valores da alteração na média, O, para os quais se verifica um crescimento mais rápido do rácio são tanto menores quanto maior for a dimensão da amostra; os valores de O para os quais se verifica um decrescimento mais lento do rácio são tanto maiores quanto menor for a dimensão da amostra. 5) As curvas do rácio sofrem uma dilatação à medida que diminui a dimensão da
LSI vão aumentando com a redução da amostra, sendo os valores máximos dessas reduções, praticamente, iguais para as dimensões da amostra consideradas.
6) Quando se utilizam observações individuais, situação pouco usual, o método LSI é sempre mais eficaz do que o método FSI.
De futuro, pretendemos determinar os valores dos maximizantes, O, do rácio (3.75) para um conjunto alargado de dimensões amostrais, de modo a aferir das diferenças (ou não) entre máximos.
Em seguida apresentamos os resultados da comparação do desempenho de LSI com VSI, considerando quatro pares de intervalos de amostragem em VSI. Na escolha dos pares de intervalos de amostragem, em particular para valor para d1, tivemos em
conta indicações dadas na literatura (por exemplo em Reynolds et al. (1988) e Amin e Miller (1993)) e o valor do menor e do maior intervalos de amostragem em LSI.
Considerem-se o AATSVSI dado por (3.25) e o AATSLSI dado por (3.71). Com L = 3,
E(D0) = 1 em VSI, k = 3.8134 em LSI, diferentes pares de amostragem em VSI e que a
característica da qualidade tem distribuição normal, a eficácia dos métodos VSI e LSI é comparada através do rácio Q3.2 dado em (3.75), substituindo-se [MC] por VSI, cujos
resultados são apresentados na Tabela 3.5 da qual podemos concluir que:
1) Quando consideramos um par de amostragem em VSI com um valor mais elevado em d1, d1 = 0.5, o desempenho de LSI é sempre melhor; como em LSI se obtêm
intervalos de amostragem inferiores a 0.5, neste método recolhem-se mais amostras logo a rapidez de deteção aumenta.
2) Na situação referida em 1), os valores do rácio aumentam com o aumento de O até atingirem um máximo, diminuindo a partir desse valor e mantendo-se idênticos para os maiores valores de O.
3) Na mesma situação, os valores do rácio aumentam, ligeiramente, quando diminui o maior intervalo em pequenas e moderadas alterações na média; em grandes
4) Quando utilizamos d1 = 0.1, e nas dimensões amostrais mais utilizadas na literatura,
n t 4, o método LSI só é mais rápido, do que o método VSI, a detetar alterações na média com magnitudes superiores a 1.5, O t 1.5, ou seja em situações cuja probabilidade de deteção é elevada.
5) Na situação considerada em 4), e se utilizam observações individuais, situação pouco interessante em termos práticos, o método LSI só é mais rápido do que o método VSI quando O = 3.
n (d1,d2) AATSLSI O 0,25 0,5 1 1,5 2 2,5 3 1 (0.1, 2) -0,7 -3,0 -11,0 -19,3 -18,3 -0,5 24,1 (0.5, 2) 0,2 0,7 4,1 13,2 29,1 43,1 44,8 (0.1, 1.5) -0,4 -1,8 -7,1 -14,1 -17,8 -11,8 0,5 (0.5, 1.5) 0,3 1,1 5,4 14,5 27,6 35,6 31,1 AATSLSI 276,43 145,61 34,46 9,12 3,01 1,37 0,87 2 (0.1, 2) -1,5 -5,9 -18,2 -15,5 16,0 42,3 52,0 (0.5, 2) 0,4 1,7 11,1 33,2 45,7 37,3 27,9 (0.1, 1.5) -0,9 -3,6 -13,0 -17,3 -3,8 10,7 16,5 (0.5, 1.5) 0,6 2,4 12,5 30,4 33,9 19,6 8,2 AATSLSI 216,71 79,98 11,31 2,40 0,98 0,70 0,63 4 (0.1, 2) -3,0 -11,0 -18,3 24,1 49,9 54,5 55,0 (0.5, 2) 0,7 4,1 29,1 44,8 30,5 23,6 22,5 (0.1, 1.5) -1,8 -7,1 -17,8 0,5 15,2 18,0 18,3 (0.5, 1.5) 1,1 5,4 27,6 31,1 11,3 3,3 2,1 AATSLSI 145,61 34,46 3,01 0,87 0,65 0,62 0,61 5 (0.1, 2) -3,7 -13,2 -11,9 37,4 53,2 54,9 55,0 (0.5, 2) 0,9 5,6 36,8 40,2 26,1 22,7 22,4 (0.1, 1.5) -2,3 -8,7 -16,3 7,9 17,2 18,3 18,3 (0.5, 1.5) 1,4 7,0 32,7 23,6 6,1 2,3 2,0 AATSLSI 122,99 24,81 1,98 0,74 0,63 0,61 0,61 9 (0.1, 2) -6,5 -19,3 24,1 53,3 55,0 55,0 55,0 (0.5, 2) 1,9 13,2 44,8 25,9 22,5 22,4 22,4 (0.1, 1.5) -4,0 -14,1 0,5 17,3 18,3 18,3 18,3 (0.5, 1.5) 2,8 14,5 31,1 5,9 2,1 2,0 2,0 AATSLSI 70,59 9,12 0,87 0,62 0,61 0,61 0,61
Tabela 3.5. – Valores de Q3.2, com [MC] = VSI, em função de O, com U = 1,
diferentes pares de amostragem em VSI e diferentes dimensões amostrais.
6) Em geral, as diferenças entre métodos são mais significativas quando d2 = 2 em VSI.
7) Em geral, a eficácia do método LSI aumenta com o aumento da dimensão amostral, em moderadas e grandes alterações da média, quando utilizamos d1 = 0.1; quando
se utiliza d1 = 0.5, a eficácia de LSI aumenta até n = 5, mas diminui quando n t 5.
8) As maiores reduções são, em geral, sempre obtidas com o método LSI, bastantes superiores às obtidas com VSI; relembre-se que, devido ao valor do menor e do
maior intervalo de amostragem obtidos com o método LSI, o par de amostragem (d1, d2) = (0.1, 2) é o que mais aproxima os métodos.
Deste modo verificamos que em determinadas situações, com elevados custos de amostragem e de mau funcionamento, LSI pode ser uma boa alternativa ao método VSI. Para confirmar o que acabamos de concluir, apresentamos em seguida um exemplo de ganhos/perdas de custos associados a cada um dos métodos, sem utilização de qualquer modelo económico.
Exemplo de aplicação a contexto real
Suponhamos que o tempo médio de vida do sistema é 100; que o custo de amostragem é de 1€ por cada item inspecionado;; que o custo de mau funcionamento do sistema é de 100€/unidade defeituosa em pequenas alterações da média, e de 1000€/unidade defeituosa em grandes alterações da média (pois a probabilidade do produto não verificar as especificações definidas é alta e podemos ter que deitar todo o produto fora, como acontece, por exemplo, com a água engarrafada).
Suponhamos que o intervalo médio de amostragem, sob controlo, é igual à unidade nos métodos VSI e LSI e n = 5. Em média, acontecem 0,3 falsos alarmes, podendo desprezar-se os custos associados aos mesmos. Assim, caso ocorra uma alteração na média de magnitude de 0.5 (O = 0.5), são necessárias, em média, 33,4 amostras para detetar a alteração. Os custos de amostragem são de 667€ (100u5 (sob controlo) + 33,4u5 (fora de controlo)):
- se (d1, d2) = (0.1, 2) em VSI, os custos de mau funcionamento são de 21,53u100 =
2153€;;
- usando método LSI, os custos de mau funcionamento são de 24,81u100 = 2481€;; nesta situação, os custos por unidade de tempo associados à utilização do método LSI são, aproximadamente, 9% superiores aos custos por unidade de tempo associados à utilização de VSI (23,20 vs 25,22).
Quando ocorre uma alteração na média de magnitude 2 (O = 2), são necessárias, em média, 1,08 amostras para detetar a alteração. Os custos de amostragem são de 505,4€ (100u5 (sob controlo) + 1,08u5 (fora de controlo)):
- se (d1, d2) = (0.1, 2) em VSI, os custos de mau funcionamento são de 0,95u1000 =
950€;;
- usando método LSI, os custos de mau funcionamento são de 0,63u1000 = 630€;; nesta situação, os custos por unidade de tempo associados à utilização do método LSI são, aproximadamente, 22% inferiores aos custos por unidade de tempo associados à utilização de VSI (14,42 vs 11,28).
Naturalmente podemos concluir que, nas situações em que pode ocorrer qualquer tipo de alteração na média pode ocorrer (pequenas, moderadas ou grandes), os ganhos monetários obtidos com a utilização de LSI podem ser, significativamente, superiores aos ganhos obtidos com a utilização do método VSI.