Paper III

O objetivo principal dessa aula foi a realização de cálculos matemáticos com a utilização de traçados geométricos como retas, segmentos de retas e circunferências. Nesse sentido, o professor-pesquisador relembrou que os antigos gregos resolviam os problemas matemáticos propostos com a utilização dessas construções geométricas. Nessa aula, apresentou-se também a obra Os Elementos de Euclides por meio de seu aspecto histórico e de sua importância para a Educação Matemática.

Essa aula iniciou-se com o professor-pesquisador lendo o texto intitulado Cálculos dos Antigos Gregos (Quadro 48) que foi entregue aos participantes para que realizassem a leitura coletiva. Nessa aula, estavam presentes 41 (100%) participantes das turmas A e B, que foram divididos em 19 duplas e um trio.

Quadro 48: Texto intitulado Cálculos dos Antigos Gregos

Cálculos dos Antigos Gregos

A álgebra estudada na antiga Grécia era geométrica, os antigos gregos resolviam os problemas matemáticos, utilizando os seus conhecimentos geométricos. Dessa maneira, os problemas eram resolvidos com a utilização de retas, segmentos de reta, pontos, áreas, arcos e circunferências. As grandezas eram associadas a segmentos de reta e, então, eram construídas, no lugar de serem calculadas. Assim, para os antigos gregos:

- a2 _{era a área de um quadrado de lado a}

- ab era a área de um retângulo de lados a e b.

- a + b e a – b eram calculados com segmentos colineares e adjacentes ou com segmentos sobrepostos.

- a . b era calculado com a utilização do Teorema de Tales.

- a2+b2 era calculado com a utilização do Teorema de Pitágoras

- ab era calculado com a utilização da técnica da Média Geométrica (ou Média Proporcional), que era justificada pelas relações métricas no triângulo retângulo.

Uma das mais importantes obras que chegou até nós, foi a obra intitulada Os Elementos escrita por Euclides. Essa obra tem uma grande importância na História da Matemática, sendo que até hoje utilizamos em nossos estudos os conceitos apresentados por esse grande matemático. É importante ressaltar que Euclides compilou em os Elementos toda a Geometria conhecida na sua época, estruturando esse conhecimento. Isto é, a partir de alguns axiomas (conceitos e proposições

admitidos sem demonstração) desenvolveu e demonstrou os teoremas e as proposições geométricas

contidas em sua obra. Euclides foi o primeiro matemático a utilizar esse método, denominado axiomático. Sendo assim, a sua obra constitui o primeiro exemplo de um sistema axiomático. A obra Os Elementos foi escrita por volta do ano 300 a. C, e consiste em 13 livros que agrupam todos os conhecimentos matemáticos existentes até aquela época, aperfeiçoados e demonstrados por meio geométrico. É interessante comentar que nenhum outro autor de livros-texto conseguiu êxito comparável a Euclides, pois a sua obra é o mais antigo livro de Matemática ainda em vigor nos dias de hoje, uma obra que somente perde para a Bíblia em número de edições e, para muitos, o mais influente livro matemático de todos os tempos (GARBI, 2010).

Fonte: Arquivo pessoal do professor-pesquisador

Após a leitura do texto, o professor-pesquisador mostrou o livro Os Elementos, versão de 2009, lançada pela Editora Unesp, traduzido por Irineu Bicudo, que circulou entre todos os participantes presentes nessa aula. Durante essa apresentação, o participante A2 comentou que “é difícil entender o que Euclides está demonstrando no livro”. O professor-pesquisador concordou com esse participante ao afirmar que “hoje em dia, em nossos livros de Matemática, essas ideias são apresentadas com uma linguagem bem mais simples”.

Em seguida, o professor-pesquisador iniciou a leitura do item a da atividade 1 conforme mostrado no quadro 49.

Quadro 49: Apresentação do item a da atividade 1 (aula 13) e a resolução dada pela dupla formada pelos participantes A2 e A9

A análise dos dados coletados mostra que todas as duplas e o trio de participantes conseguiram resolver de maneira correta a questão proposta. Contudo, essa análise também revela que 12 (29%) participantes necessitaram da orientação e intervenção do professor- pesquisador na resolução dessa situação-problema. O quadro 50 mostra o diálogo entre o professor-pesquisador e os participantes A19, A15 e A16 sobre a resolução do item a da atividade 1.

Quadro 50: Diálogo entre o professor-pesquisador e os participantes A19, A15 e A16 com relação à resolução do item a da atividade 1 (aula 13)

Participante A15: como faço isso [encontrar x = a.b]?

Professor-pesquisador: Vocês devem encontrar a média geométrica desses segmentos [a e b].

Participante A16: Ahhh! Mas vamos fazer usando qual processo? O aditivo ou subtrativo? [Obs.: Esses processos foram apresentados na aula 12 (Apêndice 7)]

Professor-pesquisador: Aquele que vocês acharem mais interessante para a resolução da atividade. Qual dos processos vocês querem utilizar?

Participante A16: O aditivo, pois é mais fácil. Professor-pesquisador: E como é esse traçado?

Participante A16: Juntamos os segmentos a e b, achamos o ponto médio e fazemos a circunferência. O segmento perpendicular (altura) entre a e b é a média geométrica.

Professor-pesquisador: Bacana! Mas vocês sabem justificar esse processo? Participante A16: Eu não lembro o porquê faz assim.

Participante A15: Eu também não.

Professor-pesquisador: Turma, alguém sabe justificar os traçados geométricos, para a construção gráfica da média geométrica pelo processo aditivo?

Participante A9: É porque quando somamos os segmentos a e b e traçamos a altura, esses segmentos [a e b] são as projeções e a altura é a media geométrica entre as projeções da hipotenusa.

Professor-pesquisador: Bacana participante A9, ou seja, o quadrado da medida da altura relativa à hipotenusa é igual ao produto das medidas das projeções dos catetos sobre ela.

Fonte: Arquivo pessoal do professor-pesquisador

A análise dos dados mostra que todas as duplas e o trio de participantes realizaram a média geométrica utilizando o processo aditivo. Provavelmente, a justificativa para a utilização desse método resultou pelo fato de que as medidas desses segmentos eram mais fáceis de serem trabalhadas, pois possuíam valores pequenos. No entanto, a análise dos dados coletados é insuficiente para que o professor-pesquisador possa confirmar essa asserção.

Posteriormente, o professor-pesquisador leu o item b da a atividade 1, solicitando que os participantes a realizassem. O quadro 51 apresenta o texto do item b da atividade 1e a resolução dada pela dupla formada pelos participantes A2 e A9.

Quadro 51: Texto do item b da atividade 1 (aula 13) e a resolução dada pela dupla formada pelos participantes A2 e A9

1. b) Determine um segmento y, cuja medida seja a metade do segmento x, ou seja, y =

2 .b a

.

Fonte: Arquivo pessoal do professor-pesquisador

A análise dos dados coletados nessa atividade mostra que todos os participantes conseguiram resolver esse item da atividade proposta. Contudo, ressalta-se que 4 (10%) participantes de duas duplas tiveram dúvidas com relação a como iniciar a resolução desse item, enquanto que 8 (20%) participantes de 4 duplas tiveram dúvidas com relação a como traçar a mediatriz do segmento de reta. Essa análise também revela que 4 (20%) participantes de 2 duplas utilizaram um processo de construção que dividia o segmento x ao meio conforme justificado pelo Teorema de Tales. A análise dos dados também revela que esses participantes perceberam a aplicação do Teorema de Tales nessa atividade, utilizando-o em sua resolução, apesar desse conteúdo ter sido estudado na aula 2 do registro documental. O quadro 52 apresenta o diálogo ocorrido entre o professor- pesquisador e o participante A1 com relação à resolução do item b da atividade 1 realizada pela dupla formada pelos participantes A1 e A20.