CHAPTER TWO
3. Participation in the Land Rental Market -Theoretical Model
1.5
Conclusões
Neste capítulo observamos para as séries em análise basicamente que:
- todas as séries foram inuenciadas, em maior ou menor proporção, pelas crises que abalaram o mercado naceiro ao longo da segunda metade da década de 90. A consequên- cia destes choques foi um grande aumento da volatilidade, além de uma diminuição dos retornos, para os períodos imediatamente subsequentes a estas crises.
- as séries brasileiras, Índice Bovespa e série de Petrobrás, são muito mais voláteis que as duas séries americanas em análise.
- todas as séries apresentam uma clara assimetria de respostas a choques, sendo que são muito mais sensíveis a choques negativos que a choques positivos, ou seja, quando o mercado cai a série tem uma volatilidade muito maior do que quando este sobe.
- as séries em análise apresentam alguma assimetria, esta entretanto pode estar ligada aos valores extremos observados.
- há presença de caudas pesadas, ou seja, leptocurtose para todas as séries de retornos. Com isto, distribuições leptocurticas, como a t-Student, podem ser mais adequadas para modelarmos os retornos das séries.
- existem evidências de estrutura autoregressiva para as séries, em especial para as séries brasileiras, porém, dado a presença de estruturas não-lineares para as séries esta evidência é não pode ser conrmada.
- as séries claramente apresentam estruturas não-lineares, devido a presença de estru- tura na volatilidade.
1.5 Conclusões 30
- existe tanto para as séries brasileiras, Índice Bovespa e Petrobrás, quanto para as séries americanas uma clara correlação tanto na média quanto na volatilidade destas. Entre as séries dos dois países esta relação não se verica ou é muito tênue.
1.5 Conclusões 31 0 50 100 150 200 250 300 -0.10 -0.05 0.00 0.05
11.Histograma da série de retornos do Índice Nasdaq
0 100 200 300 400 -0.06 -0.04 -0.02 0.00 0.02 0.04
1.5 Conclusões 32 -0.2 -0.1 0.0 0.1 0.2 0.3 -0.3 -0.2 -0.1 0.0 0.1 0.2 0.3 Retorno da Petrobrás
Retorno do Índice Bovespa
13.Diagrama de dispersão -0.15 -0.10 -0.05 0.00 0.05 0.10 -0.10 -0.05 0.00 0.05
Retornos do Índice Dow Jones
Retornos do Nasdaq
Appendix A
Apêndice: Conceitos Básicos
A.0.1
Autocovariância e autocorrelação
Seja uma sérief Yt; t = 0; §1; §2; :::g. A função de autocovariância desta série será dada
por:
°(h) = Cov(Yt + h; Yt)
De outra parte, a função de autocorrelação será dada por:
½(h)´ °(h)
°(0) = Cor(Yt + h; Yt)
A.0.2
Ergodicidade
Uma sérief Yt; t = 0; §1; §2; :::gé dita ergódica na média quando:
¹ yt ´ 1 T T X t = 1 yt P ! E(Yt)
onde !P representa convergência em probabilidade27. Além disto, temos que a série é dita
ergódica na variância quando:
27 Uma referência dos conceitos de convergência é dada em Mittelhammer (1996).
Appendix A Apêndice: Conceitos Básicos 34 · 1 T ¡ j ¸ XT t = j + 1 (Yt ¡ ¹)(Yt ¡ h ¡ ¹) P ! °(h),8 h 2 Z
A.0.3
Estacionariedade
Uma série f Yt; t = 0; §1; §2; :::g é dita estacionária, de forma geral, se ela tem pro-
priedades estatísticas similares para outro período da série f Yt + h; t = 0; §1; §2; :::g 8
t 2 Z:Os processos estacionários podem ser dividido em dois tipos: 1. Covariantes estacionários
2. Estritamentes estacionários
O processo é covariante estacionário - ou estacionário de segunda ordem - se possui média constante, variância nita e as autocovariâncias independem do tempo. Matemati- camente teremos que:
E[Yt] = ¹ ; 8 t 2 Z
E[Yt2] = const ante < 1 ; 8 t 2 Z
E[(Yt ¡ ¹)(Yt ¡ h ¡ ¹)] = °h; 8 t; h 2 Z
O processo estritamente estacionário f Yt; t = 0; §1; §2; :::gé dado pela condição
de que(Y1; Y2;:::; Yn) e(Y1+ h;Y2+ h; :::; Yn+ h) 8 n; h 2 Z tem a mesma distribuição. Triv-
ialmente observamos que qualquer processo estritamente estacionário é covariante esta- cionário.
Appendix A Apêndice: Conceitos Básicos 35
A.0.4
Linearidade
Uma sérief Yt; t = 0;1;2; :::gé dita linear se puder ser descrita da seguinte forma:
Yt = 1
X
i = 0 ª i"t ¡ i
onde o processo f "t; t = 0;1;2; :::gé ruído branco estrito, e fª i; i = 0;1;2; :::gé
uma sequência de constantes tal que:
1
X
i = 0
ª 2i < 1
A.0.5
Estatística Q
Ljung et alli (1978) apresentam a estatística dada por:
Q= T(T+ 2) s X k= 1 °2k (T ¡ k)
onde Q tem distribuiçãoÂ2comsgraus de liberdade.
A.0.6
Ruído Branco
Uma sérief Yt; t = 0; §1; §2; :::gé dita ruído branco se possui média constante -E[Yt] =
¹ ; 8 t 2 Z -, e as autocovariâncias são nulas -E[(Yt ¡ ¹)(Yt ¡ h ¡ ¹)] = 0; 8 t; h 2 Z:
Para esta série ser covariante estacionária teremos ainda que a variância deve ser nita e constante -E[Yt2] = ¾2< 1 ; 8 t 2 Z:
Appendix A Apêndice: Conceitos Básicos 36
A.0.7
Ruído Branco Estrito
Uma série f Yt; t = 0; §1; §2; :::gé dita ruído branco estrito se as observações Yt são
independentes.
A.0.8
Teste LM ARCH - Engle (1982)
Engle (1982) apresenta um teste simples para testar se os resíduos de uma regressão ex- ibem alguma estrutura na variância. Este teste é baseado no princípio do multiplicador de Lagrange. Primeiro é estimado a regressão dada por:
yt = xt0¯ + ut (1)
Com os resíduos da regressão (A.1) -ut - fazemos a seguinte regressão:
u2t = ! + ®1u2t ¡ 1+ ®2u2t ¡ 2+ :::+ ®mu2t ¡ m + "t
para t = 1,2,....,T. O tamanho da amostra - T - vezes oR2centrado da regressão converge
em distribuição para umaÂ2commgraus de liberdade sobre a hipótese nula queu
t é i.i.d.
N(0; ¾2):
A.0.9
Teste de viés de sinal - Engle e Ng (1993)
Engle e Ng (1993) apresentam um teste para vericar se há leverage effect nos resíduos da regressão (A.1). Com os resíduos desta regressão são calculadas três regressões dadas por:
Appendix A Apêndice: Conceitos Básicos 37 u2t = ! + ¯1St ¡ 1¡ ut ¡ 1+ ®1ut ¡ 12 + ®2u2t ¡ 2+ :::+ ®mu2t ¡ m + "t (A.2) u2t = ! + ¯1St ¡ 1+ ut ¡ 1+ ®1ut ¡ 12 + ®2u2t ¡ 2+ :::+ ®mu2t ¡ m + "t (A.3) u2t = ! + ¯1S + t ¡ 1ut ¡ 1+ ¯2S ¡ t ¡ 1ut ¡ 1+ ®1u2t ¡ 1+ ®2u2t ¡ 2+ :::+ ®mu2t ¡ m + "t(A.4)
onde St ¡ 1¡ é uma variável dummie igual a 1 quando ut ¡ 1 < 0e 0 quando ut ¡ 1 ¸ 0; e
St ¡ 1+ = 1¡ St ¡ 1¡ :
Para as regressões (A.2) e (A.3) temos que o teste será dado pela estatística t do parâmetro¯1:De outra parte, para a regressão (A.4) temos que o tamanho da amostra - T
- vezes oR2centrado da regressão converge em distribuição para umaÂ2com 2 graus de liberdade sobre a hipótese nula queut é i.i.d.N(0; ¾2):
Chapter 2
Modelos de Volatilidade Condicional
Ao longo da década de 90, o mercado nanceiro mundial sofreu um conjunto de choques - as crises nanceiras - que abalaram em muito a grande maioria dos mercados, conforme ilustramos no capítulo anterior. Estas crises provocaram grandes prejuízos a gru- pos nanceiros mundiais, entre outros: Barings Bank, Long Term Capital Management,
Metallgesellschaft, Orange County e a grupos brasileiros: FonteCidam e Banco Marka28.
Estes prejuízos ocorreram principalmente porque estas instituições não monitoraram de forma apropriada o risco inerente as posições que possuíam no mercado nanceiro. Várias instituições nanceiras e/ou acadêmicas, durante os últimos anos, tentaram criar ferramen- tas de controle de risco para o mercado nanceiro, dado as crises e perdas nanceiras provocadas por estas.
A ferramenta mais importante e que ganhou maior destaque e respeitabilidade no mercado nanceiro, para monitorar o risco de mercado, foi o Value-at-Risk (VaR), de- senvolvida por J. P. Morgan (1994). Para uma análise mais detalhada deste método ver, entre outros, Jorion (2000) e Dowd (1998)29. Um insumo importante para este modelo de
risco, assim como os demais, é o cálculo da volatilidade condicional. O dois primeiros métodos utilizados pelos sistemas de risco para o cálculo da volatilidade foram o desvio- padrão histórico e o alisamento exponencial (EWMA). O primeiro método depende muito
28 Uma análise das perdas nanceiras das instituições internacionais mencionadas é encontrada entre outros
em Jorion (2000) e Duarte (1998).
29 Para uma análise das ferramentas disponíveis para controle de risco no mercado brasileiro ver o site
http://www.risktech.com.br.
2 Modelos de Volatilidade Condicional 39
do tamanho da janela escolhida e dá um peso igual a todas as observações desta janela. De outra parte, o EWMA apresenta para os retornos uma distribuição não-condicional degen- erada, sem encontrar base empírica para este fato.
Na literatura econométrica duas classes de modelos lidam com o problema da esti- mação da dinâmica e previsão das volatilidades dos ativos nanceiros. A primeira classe de modelos que tenta modelar a volatilidade dos ativos nanceiros foi apresentada na lit- eratura inicialmente por Taylor (1980). Neste estudo, onde a volatilidade condicional é modelada como uma variável não-observada, temos a classe de modelos de volatilidade es- tocástica. Devido as diculdades teóricas e computacionais existentes na época este modelo só se tornou popular na literatura econométrica após o trabalho de Harvey et alli (1994) e Ruiz (1994). Nestes dois trabalhos é utilizada a estimação pelo método de quase-máxima verossimilhança e a estimativa para a volatilidade é obtida pelo ltro de Kalman (1960). Nos últimos anos com o desenvolvimento computacional foi possível que outros méto- dos intensivos computacionalmente surgissem. Entre estes podemos destacar o trabalho de Jacquier et alli (1994), que propõe um procedimento bayesiano para a estimação de modelos bayesianos, e Andersen e Sorensen (1996), que propõe uma aplicação do método generalizado dos momentos (GMM) para estimar aos parâmetros dos modelos de volatili- dade estocástica. Neste trabalho não desenvolveremos esta classe de modelos, devido a sua maior complexidade para os modelos que incorporam mudança de regime.
Outro modelo que surge na literatura econométrica para tentar modelar a volatilidade condicional surge com o trabalho de Engle (1982), que tenta modelar a volatilidade da in- ação inglesa entre 1955 e 1977 utilizando a volatilidade passada. Este é denominado Au-