Brasil, 2005 )
Os números relativos são apresentados no primeiro capítulo como o conjunto dos números inteiros num livro formado por 218 páginas.
A idéia de número negativo é apresentada através de algumas situações, tais como falta, temperatura e débito. Em relação as operações de adição e subtração utiliza idéia de perdas, ganhos e o conceito de números opostos.
Na multiplicação, a regra dos sinais, é justificada a princípio pela própria definição de multiplicar, ou seja, soma de parcelas iguais. Porém, ao justificar a regra dos sinais para o produto de números negativos, o autor utiliza o conceito de números opostos e a propriedade da multiplicação de números com sinais diferentes. Por exemplo:
( - 3 ) . ( - 5 ) = - ( + 3 ) . ( - 5 ) = - ( - 15 ) = 15
Desta forma, fica demonstrado para o autor que o produto de dois números negativos é um número positivo.
O autor utiliza-se de um processo formal e prático, muito parecido com as fórmulas de Cauchy, para demonstrar a multiplicação dos números relativos.
Diante da dificuldade na aprendizagem da regra dos sinais, em especial “menos vezes menos for igual a mais”, diversos matemáticos desde Diofantes até os dias atuais procuraram desenvolver demonstrações para explicá-la. Observamos no primeiro capítulo e neste algumas dessas tentativas.
CONCLUSÃO
Segundo a história da matemática, a aceitação dos números negativos bem como a compreensão do significado de suas operações foram lentas e bastantes polêmicas, tendo durado um longo período da humanidade cerca de 1500 anos. A origem da “regra dos sinais” para a multiplicação dos números inteiros relativos, conforme relata o matemático e historiador Georges Glaeser, é atribuída a Diofantes.
Ao estudar a evolução dos números negativos, Glaeser percebeu a rejeição destes números por parte de alguns matemáticos, denominando esta reticência ao uso dos números negativos de “sintoma de evitação”. Em sua análise percebeu dificuldades que estes matemáticos tinham em explicar o significado da regra dos sinais, principalmente em entender o porquê que “menos vezes menos é igual a mais”. D’Alembert (1717 - 1783), por exemplo, deixa transparecer esta dificuldade quando diz que é difícil conceber que o produto de dois números negativos é igual a um número positivo. Stendhal 7( 1783 - 1843 ) vai além, colocando a seguinte questão: “multiplicando-se 10000 francos de dívida por 500 francos de dívida, como esse homem possuirá, ou conseguirá obter, uma fortuna de 5000000 francos?” - (Stendhal, apud Glaeser, p.46)
Inspirado no método histórico e na teoria de conhecimento de Bachelard, Glaeser determinou seis obstáculos epistemológicos com respeito ao conceito de número relativo. Em sua pesquisa, o epistemólogo francês verificou que somente o matemático Herman Hankel ( 1839 – 1873 ) conseguiu ultrapassar todos os obstáculos.
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Sthendal, escritor francês, que, em autobiografia, se refere a um episódio de sua meninice, datado de fins do século XVIII, pelo qual se vê que suas dúvidas diante dos números relativos eram essencialmente as mesmas ainda exibidas pelos alunos de hoje e pelo escritor Henri Beyle ( 1783 – 1842 ) que frequentou uma das primeiras instituições em que o ensino da matemática foi ministrado e declara que nem a leitura do manual de Bezout (1772) satisfez sua curiosidade quando tentou compreender a origem da regra dos sinais. Na verdade, seus próprios professores não compreendiam. Para Henri a hipocrisia era impossível em matemática, pois percebeu que ninguém podia explicar como que o produto de dois números negativos poderia dar um número positivo.
E no campo pedagógico: Será que os textos didáticos produzidos para a jornada de um ano letivo conseguem superar os obstáculos determinados por Glaeser? Será que explicam efetivamente a regra dos sinais? Estas são, certamente, as questões que nortearam a nossa pesquisa.
No intuito de investigar como os livros didáticos nacionais abordam o ensino de número relativo, analisamos dez livros de 1978 à 2005. Na maioria dos livros os números negativos são apresentados através dos conceitos de dívida e de temperatura. Esta metáfora do número relativo também é usada em alguns livros para explicar a operação de adição e subtração. Porém observamos distintas argumentações quanto às regras dos sinais, algumas mais “concretas” e outras mais “formais” tal e como aconteceu com os matemáticos pesquisados por Glaeser. Assim, a fim de ilustrar resumidamente os resultados de nossa pesquisa no que se refere aos obstáculos epistemológicos determinados por Glaeser, fizemos um quadro semelhante àquele construído pelo pesquisador, onde a primeira coluna representa os autores dos livros didáticos pesquisados e as outras colunas representam os obstáculos epistemológicos citados por Glaeser.
OBSTÁCULOS AUTORES 1 2 3 4 5 6 MARCIUS BRANDÃO + + + + ÁLVARO ANDRINI + + + + BIANCHINI + + + + +/- + GIOVANNE + + + + +/- + BORDEAUX + + + + +/- + BIGODE + + + + - + IMENES + + + + - + DANTE + + + + +/- + OSCAR GUELLI + + + + - + ASSIS NAME + + + + +/- +
Simbologia usada no quadro anterior: ( + ): Obstáculo ultrapassado;
( - ) : Apesar de pesquisado, o obstáculo não foi ultrapassado;
( ? ): Não há como informar se o autor conseguiu ultrapassar o obstáculo; ( ): Não houve tentativa pôr parte do autor em ultrapassar esse obstáculo; ( +/- ): Obstáculo ultrapassado parcialmente.
Do mesmo modo, podemos, baseando-nos na tabela anterior, construir um gráfico que indica o número de obstáculos superados ( eixo vertical ) pelos respectivos autores ( eixo horizontal ). Y 0 Matemático (tempo) B R A N D Ã O 1978 A N D R I N I 1984 B I A N C H I N I 1986 G I O V A N N I 1998 B O R D E A U X 1999 B I G O D E 2000 I M E N E S 2002 6 5 4 3 2 1 N A M E 2005 G U E L L I 2002 D A N T E 2002 Nº de obstáculos superados x 50
Conforme já observado na quase totalidade dos livros investigados, a noção dos números negativos emerge de experiências práticas, como perder no jogo, constatar saldos negativos, observar variações de temperaturas, comparar alturas, altitudes, etc. Tal fato está em consonância com as diretrizes indicadas nos PCN’s. A sugestão do PCN’s é ensinar a multiplicação dos números relativos através de tabelas que implicam em identificar regularidades e estabelecer relações. Por outro lado, para os PCN’s o ensino dos números relativos não deve se apoiar somente em propostas concretas, pois nem sempre essas concretizações explicam os significados das noções envolvidas. É preciso ir um pouco além e possibilitar, pela extensão dos conhecimentos já construídos para os naturais, compreender e justificar algumas das propriedades dos números relativos. Sendo assim, chegamos a uma conclusão que se identifica com a afirmação do matemático francês George Glaeser (1969 ):
“ (...) se proclama de bom grado que a matemática deve ser ensinada com base em exemplos concretos. A didática científica se esforça para evidenciar as vantagens e desvantagens de um ensino baseado em exemplos. O estudo histórico (...) mostra precisamente um caso em que uma pedagogia baseada exclusivamente em exemplos concretos é perniciosa. Além disso, uma aprendizagem satisfatória das propriedades aditivas, apoiadas num “bom modelo”, pode criar bloqueios posteriores, quando for o caso de compreender as propriedades multiplicativas (...)” ( p. 121 ) .
Em outras palavras: o esclarecimento da questão dos números relativos, deu-se não somente pela superação dos obstáculos epistemológicos, mas essencialmente pelo salto epistemológico do concreto para o formal.
Segundo Caraça (1989 ) “as operações sobre números relativos definem-se por extensão imediata das operações com o mesmo nome estudadas no campo real ( ... ) por exemplo, quanto à adição e subtração:
( p – q ) + ( r – s ) = p – q + r – s = p + r – q – s = ( p + r ) – ( q + s )
( p – q ) – ( r – s ) = p – q – r + s = p + s – q – r = ( p + s ) – ( q + r ), de onde facilmente se tiram as regras quando algum dos dados seja negativo. Em particular, tem-se a + ( - b ) = a + ( 0 – b ) = a + 0 – b = a – b; a – ( - b ) = a – ( 0 – b ) = a + b – 0 = a + b. Isto é,
somar um número negativo equivale a subtrair o número positivo com o mesmo módulo; subtrair um número negativo equivale a somar o número positivo com o mesmo módulo”. Porém, quanto a multiplicação, Caraça considera:
( p – q ). ( r – s ) = p . ( r – s ) – q . ( r – s ) = pr – ps – ( qr – qs ) = pr – ps – qr + qs = pr + qs – ps – qr = ( pr + qs ) – ( ps + qr ) e em particular define: ( + a ) . ( + b ) = ( a – 0 ) . ( b – 0 ) = + a . b ( + a ) . ( - b ) = ( a – 0 ) . ( 0 – b ) = - a . b ( - a ) . ( + b ) = ( 0 – a ) . ( b – 0 ) = - a . b ( - a ) . ( - b ) = ( 0 – a ) . ( 0 – b ) = + a . b
Por outro lado, convém ressaltar que ao desenvolver um tratamento exclusivamente formal com os números relativos aos alunos da Sexta série do ensino fundamental, corre-se o risco de reduzir a regra dos sinais a um formalismo vazio, que pode levar a equívocos e ser facilmente esquecido. Deste modo, fica a seguinte pergunta: não estaria o problema da aprendizagem da regra dos sinais dos números relativos na localização prematura deste conteúdo programático na grade curricular oficial do ensino básico de matemática, ou, de outro modo, será que um aluno possui maturidade intelectual suficiente para interpretar questões abstratas tal como “menos vezes menos igual a mais” numa sexta séria do ensino fundamental? Estas questões ficam pra depois, para uma outra monografia, quem sabe?
BIBLIOGRAFIAS
OBRAS CITADAS
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BALDINO, R. R. Sobre a epistemologia dos números inteiros. Educação matemática em revista, São Paulo, SP, v.5, p.4-14, 1996.
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BRASIL, Parâmetros Curriculares Nacionais, Ministério da Educação e do Desporto, 1997.
CARAÇA, B.de J. Conceitos fundamentais da matemática: 9º ed. Lisboa: Livraria Sá da Costa editora, 1989.
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OBRAS CONSULTADAS
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IMENES, L. M. e Lellis, M. Matemática para todos. 1º edição. São Paulo: Editora Scipione, 2002.
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