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Em Matemática, existem dois tipos diferentes de transformações de representações semióticas que podem ocorrer: os tratamentos e as conversões. É por meio delas que é possível analisar as atividades matemáticas desenvolvidas pelos alunos em uma situação de ensino. Ao se analisar as soluções de determinadas atividades apresentadas pelos alunos, Duval (2005) ressalta que não se toma o cuidado de distinguir esse dois tipos de transformações. Mas como se define cada uma dessas transformações? Quais são as suas características e especificidades? Veremos, então, uma a uma a fim de que se possa responder tais questionamentos e compreender suas funcionalidades, de acordo com as idéias de Duval.

3.5.1 Os tratamentos

Os tratamentos são transformações de representações que ocorrem internamente em um único registro de representação, por exemplo, o cálculo do valor de uma expressão numérica, conforme mostrado abaixo, se restringe a um único sistema de escrita ou de representação.

2 + {10 ÷ [(2 × 3 + 4) – (1 + 4)]} = 2 + {10 ÷ [10 – 5]}

= 2 + {10 ÷ 5} = 2 + 2

= 4

Notemos que para resolver a expressão numérica não houve mudança de registro de representação, ou seja, as transformações necessárias à resolução aconteceram todas no interior do mesmo sistema de representação semiótica. No entanto, vale ressaltar que, uma vez definida uma representação para um objeto, é através da atividade de tratamento que os alunos constroem um caminho para justificar suas respostas diante de uma atividade proposta.

No ensino tradicional, ressalta Duval (2005) que, de uma maneira geral, é somente esse tipo de transformação que é levado em consideração, durante a

avaliação de uma atividade proposta em sala de aula numa situação de ensino. Corroborando com o autor apresento a seguir um exemplo de uma situação por mim vivenciada na classe M3 durante o período em transcorreu esta investigação.

Fiz aos alunos a seguinte pergunta: o que é fração? Sem obter uma resposta que pelo menos se aproximasse do conceito de fração, continuei a provocação, só que dessa vez, indaguei: o que é numerador? E o que é denominador?” O que me impressionou naquele momento não foi tanto o fato deles não saberem o conceito de fração, de numerador ou de denominador, mas sim o fato de alguns terem respondido, “temos que calcular o ‘MMC’, dividir pelo debaixo, multiplicar pelo de cima e depois somar”, quando perguntei qual era o resultado da soma 1 1

3+4.

Nesse discurso proferido pelos alunos, é possível notar que, embora estejam cursando o último ano do Ensino Médio, eles ainda não aprenderam o conceito de fração, ou seja, conhecem a representação de fração, mas não o conceito. Nesse sentido, somos levados a concordar com Duval quando o autor afirma ser o tratamento o tipo de transformação que mais se destaca nas aulas de Matemática, uma vez que os alunos citados sabiam o algoritmo para efetuar a soma frações.

Nesse sentido, ressalta Bruno D’Amore (2005, p. 52) que

é preciso prestar muita atenção; de um lado, o estudante não sabe que está aprendendo signos que estão no lugar de conceitos e que deveriam estar aprendendo conceitos; do outro lado, se o professor nunca refletiu sobre o assunto, acreditará que o estudante está aprendendo conceitos, enquanto ele está, na realidade, “aprendendo” apenas a utilizar signos.

O exemplo da soma de frações explicitado anteriormente, vai ao encontro do que diz o autor na citação, e converge para o que afirma Duval com relação à ênfase dada a atividade de tratamento nas aulas Matemática.

A fim de evitar esses equívocos, o professor deve certificar-se da importância primordial de não confundir um objeto matemático e seus distintos registros de representação semiótica, é somente a partir dessa percepção que o professor pode ensinar os conteúdos matemáticos valorizando a atividade de conversão ao invés de valorizar a atividade de tratamento, uma vez que de acordo com Duval, é a atividade de conversão que garante a aprendizagem de conceitos.

3.5.2 As conversões

As conversões são transformações de representações semióticas em que necessariamente ocorrem mudanças de registros de representação mantendo-se em referência a um mesmo objeto matemático denotado. Assim, a passagem de uma função descrita em um texto em língua natural para a escrita algébrica ou gráfica são exemplos de conversões, conforme mostra o quadro a seguir.

Registro na língua

natural

O proprietário de um estacionamento cobra de seus clientes R$ 2,00 na entrada e mais R$ 0,02 pelo tempo, dado em minutos, de permanência do automóvel no estacionamento.

Registro

algébrico C(t) = 0,02. t + 2,00

Registro gráfico

Quadro 2: exemplo de conversão.

Assim, pode-se dizer que a conversão consiste em mudar a forma pela qual um objeto matemático é representado. Ou seja, a conversão é uma transformação externa em relação ao registro de representação de partida. Segundo Duval (2005), a conversão pode ser analisada sob dois aspectos: do ponto de vista matemático e do ponto de vista cognitivo.

No primeiro, a conversão é utilizada apenas para escolher um determinado registro no qual teríamos um tratamento de forma mais fácil, ou menos trabalhosa possível, ou ainda, para obter um segundo registro que serve de suporte ou de guia aos tratamentos que se efetuam em outro registro. Por exemplo, na resolução da

C(R$)

t(min) 2,00

2,60

equação x2 _{– 6x + 9 = 0 (registro 1) que também pode ser representada por (x – 3) .} (x – 3) = 0 (registro 2), pode-se resolver a equação na primeira forma representada empregando a fórmula de Bhaskara (tratamento 1), já na segunda forma, cuja resolução se torna menos trabalhosa, basta verificar a condição: x – 3 = 0 ou x – 3 = 0, para concluir que as raízes x1 = x2 = 3 (tratamento 2). Como se observa o tratamento 2, nos leva a uma solução de maneira menos trabalhosa. No entanto essas duas formas de representação não possuem os mesmos custos cognitivos, conforme veremos mais adiante.

Já do ponto de vista cognitivo, a atividade de conversão figura como sendo responsável pelos mecanismos que conduzem os alunos a uma verdadeira compreensão dos conceitos dos objetos matemáticos, ou seja, a conversão não tem um papel essencial nos processos matemáticos de justificação ou de prova, uma vez que tal justificativa se baseia num tratamento efetuado em um registro estabelecido. Mas do ponto de vista cognitivo, é atividade de conversão que, ao contrário, aparece como atividade de transformação representacional fundamental, aquela que conduz aos mecanismos subjacentes à compreensão no processo de ensino e de aprendizagem da Matemática.

No entanto, Duval (1995, p. 4, tradução minha) reconhece que “a passagem de um sistema de representação a outro ou a mobilização simultânea de vários sistemas de representação não tem nada de espontâneo para a maioria dos estudantes”, justamente porque essa atividade se depara com algumas características que lhes são peculiares, conforme veremos a seguir.