1. Introduction
1.1 Outline of paper
O diálogo foi um dos catalisadores do processo. Para Vygostky (2001), a fala é um fator libertador para aquele que não vê, pois para ele a fala funciona como instrumento de comunicação e de pensamento. Na experiência social, o homem materializa e constitui significados através da palavra. A troca de experiências influencia diretamente o sentir, o pensar e o agir do homem, formando a sua consciência. A comunicação entre quase todos os alunos do grupo estudado foi
constante e relevante, ou seja, se expressavam continuamente acerca do que faziam, pensavam, bem das dúvidas e incertezas.
No diálogo a seguir, percebemos que Bejota se refere a um cubo como sendo “quadrado”. Cat e Samuca confirmam a significação dada por Bejota para o objeto (figura 8, item A, p. 73). Questionado o porquê desta nomenclatura, Chuck identifica diretamente a fala dos colegas e afirma que foi dado o nome de “quadrado” por ser totalmente composta por faces que tem essa forma.
Pesquisadora Qual o objeto que vocês identificaram na letra A? [figura 8, p. 73] MG Eu coloquei cubo.
Pesquisadora Colocou cubo? MG É.
Pesquisadora Isso, o nome dele é cubo mesmo. O que vocês colocaram sobre o cubo... Bejota Eu coloquei um quadrado.
Samuca Eu também.
Cat Eu coloquei [lendo lentamente seu texto em Braille]: “forma de quadrado... Parece ser um lugar de colocar objetos”.
Pesquisadora Então parece um quadrado, tem forma de um quadrado... O que ela quis dizer com “tem forma de um quadrado”?
Samuca É que parece um quadrado.
Pesquisadora Por que será? De que formas vocês imaginam que, no cubo, foi identificado como “forma de um quadrado”?
Chuck Porque ele é construído por quadrados.
A relação social existente no diálogo colabora para a internalização e reconstrução interna de processos e conceitos intelectuais. Conforme discutimos anteriormente, a dinâmica dialógica entre o interno e o externo caracteriza o homem. E ela se dá na medida em que o homem interage com o meio e com as pessoas que nela se encontram, num constante processo de desenvolvimento e aprendizagem. Segundo Vygotsky (2001), a fala auxilia nas interações com o grupo, no desenvolvimento individual e na adaptação às novas descobertas.
Compreender os sinais emitidos pelos alunos durante o desenvolvimento cognitivo foi fundamental para identificarmos o processo de conhecimento e a futura aprendizagem gerada por ele. Além disso, as palavras utilizadas pelos alunos no desenvolvimento das atividades foram construídas, muito provavelmente, a partir de experiências anteriores. Percebemos que um aluno podia ser guiado pela palavra do outro que, uma vez interiorizada e assimilada, passava a fazer parte de seu conhecimento. Como pudemos perceber no diálogo supracitado, a palavra “quadrado”
era de conhecimento dos alunos e carregava consigo um emaranhado de significados, sendo identificado por todos na fala de Bejota.
No início do trabalho, realizamos algumas atividades com o fim de sondar os conhecimentos dos alunos. Na primeira atividade apresentada, pudemos perceber que os alunos sabiam algumas nomenclaturas acerca de itens da Geometria Plana, mas sem muita profundidade ou sem qualquer significação. Ainda, houve bastante dificuldade em diferenciar símbolos matemáticos de símbolos da escrita Braille.
O diálogo a seguir se refere à atividade 3, letra A (figura 4, p. 69). Observamos que o aluno Chuck não compreende a imagem dada a ele referente ao ponto. Inicialmente, o confunde com uma escrita em Braille, representando a letra A ( ).
Pesquisadora Aqui tá a letra A, certo? [Colocando a mão da Chuck sobre a figura.] Que símbolo é esse?
Chuck Essa letra A aqui? [Mostrando com o dedo, apontando para ela.]
Pesquisadora Isso.. Não, não. Isso é letra B. Aí, onde você está com o dedão. Isso aí é um símbolo.
Chuck Isso aqui é símbolo? [Referindo-se a um símbolo em Braille.] Pesquisadora Símbolo na Matemática.
Os instrumentos empregados na confecção de materiais que proporcionam o alto relevo na folha de papel para a representação de símbolos matemáticos devem ser usados com cuidado. Neste caso, o ponto, que seria um símbolo matemático na Geometria foi confundido com um ponto da cédula da escrita Braille. Espinosa e Ochaíta (2004) já haviam alertado pelas possíveis dificuldades encontradas na escrita e na leitura Braille, o que veio a ser confirmada nesta atividade. Apresentar símbolos matemáticos que se assemelham aos pontos da escrita Braille pode gerar erro na interpretação de questões.
Ainda na sondagem, observamos que o mesmo tipo de identificação com objetos do cotidiano é visto nos diálogos estabelecidos entre os alunos ao explorarem os outros objetos propostos na figura 8 (p. 73). Esses objetos são utilizados como instrumentos de mediação pelos alunos a partir de conhecimentos prévios existentes. Associações a signos conhecidos (provindos de experiências anteriores, presentes culturalmente) são feitas a todo momento e, a partir delas, novas construções e concepções são formadas ligadas ao conteúdo de Geometria. É a mediação por instrumentos (externos) e signos (internos). No diálogo abaixo, podemos perceber que os alunos relembram objetos que conhecem e verificam que a posição dele interfere em sua característica ou função
social. Para Vygotsky (2001), o uso desses signos (neste caso, associações e lembranças) proporciona meios auxiliares para solucionar problemas e tirar conclusões.
Chuck Esse sólido meu parece com um prédio, velho. [C] Pesquisadora Parece o que?
Chuck Um prédio.
Pesquisadora Isso. Nessa posição. Agora deite-o. Chuck Parece uma caixa!
Pesquisadora Isso! Então, a posição modifica [simbolicamente] o objeto?
Samuca Ah!! Já sei o que eu vou por no meu! [Ele estava com um cubo e percebeu que o seu objeto não se alterava ao rotacioná-lo.]
Pesquisadora E o seu, Samuca? Samuca O meu não modifica.
Pesquisadora E o seu, MG, modifica? Se você mudar a posição dele, modifica? [Ele possui uma esfera em mãos.]
MG Não.
Pesquisadora Não modifica...
MG Ele... Ele é fixo! Ele só fica numa posição só.
Na atividade 2, os alunos foram convidados a transitar pela escola apontando os principais locais por onde caminhavam e se relacionavam e como faziam para identificá-los. Na quadra poliesportiva, surgiu um interessante diálogo em relação à estrutura geométrica da quadra.
Pesquisadora Você disse que a quadra é o quê? Degê Quadrada.
Samuca Retangular, velho! Bejota É um retângulo.
Pesquisadora Qual a diferença, Degê, de um quadrado para um retângulo? Degê Quadrado tem quatro lados iguais.
Pesquisadora Isso. A quadra tem quatro lados iguais? Degê Não. Ah...
Por meio da fala dos colegas e em nossa pergunta, Degê recupera seus conceitos acerca dos quadriláteros e verifica que um quadrado possui lados iguais. Como a quadra não tem todos os lados iguais, e por conhecer um campo de futebol, chega à conclusão de que a quadra não pode ter a forma de um quadrado. Segundo nossas leituras estudos de Vygotsky (2001), para chegar a essa conclusão, Degê utilizou conhecimentos prévios originários de suas experiências anteriores (origem sócio-histórica) e associou à fala dos colegas “retângulo”, palavra que detém em si uma gama de significados conhecida por
ele, que o fez diferenciar da palavra “quadrado”, que possui a característica que exclui a forma presente na quadra: todos os lados de mesma medida.
Nesse diálogo, podemos perceber a mudança de concepção de Degê quando se refere à figura geométrica que delimita a quadra poliesportiva. Inicialmente, ele afirma se tratar de um quadrado, sendo corrigido automaticamente pelos colegas, que já percebem a diferença entre os quadriláteros e já a utilizam no seu cotidiano. Degê compreende a diferença, observada em seu suspiro.
É interessante observar que todos os alunos conheciam o formato da quadra, mesmo não havendo indicações em alto-relevo. Para Vygotsky (1984), isso se deve ao fato de que aquele espaço (a quadra) é onde se dá uma prática esportiva de atividades comuns do dia-a-dia de alunos nessa faixa etária. Sendo assim, a estrutura física da quadra e sua composição geométrica são de conhecimento dos alunos, já se encontrando interiorizadas e pertencentes às funções psicológicas superiores, compondo sua história e sua cultura.
Na atividade 3, ao manusear ‘ângulos’ construídos com chapas de metal, Samuca revela ao colega o que descobriu e em seguida nos relata:
Samuca Olha aqui, Chuck, se pegarmos o de 30 graus com o de 60, dá 90 graus. [Colocando um ângulo dentro do outro.]
Pesquisadora O que você falou aí, Samuca? Você falou uma coisa interessante aí, fala pra turma toda!
Samuca É que quando a gente põe um ângulo em cima do outro, a distância que sobra é... Dá a distância de graus dentro do outro.
Pesquisadora Do que está faltando, né? Samuca Isso.
Pesquisadora Se eu pegar o 30 e o de 60, vai dar um ângulo de quantos graus? Chuck Vai dar o de 90?
Pesquisadora Vai dar o de 90.
Conforme visto na descrição dos dados, os alunos também utilizaram nomenclaturas para classificar os ângulos durante a manipulação das chapas representando ângulos. Palavras como “agudo”, “reto” e “obtuso”, estavam presentes nas falas à medida que manuseavam as aberturas. No diálogo reproduzido abaixo, Samuca, Chuck e Bejota indicam suas aberturas e suas classificações. Bejota se lembra de diferentes nomenclaturas, mas se confunde ao associar a ângulos classificações de triângulos. Percebendo isso, Samuca corrige-o.
Samuca O meu agora já é obtuso, já. Chuck O seu é qual?
Samuca 150.
Bejota Obtuso, escaleno, o outro é?
Samuca Não, é obtuso... Escaleno é o tipo de triângulo, velho! [Risos.] É obtuso, reto e agudo.
Partimos desse diálogo para conversar com a classe sobre os tipos de ângulos. Em seguida, todos registram as descobertas e conclusões no Dicionário de Geometria.
Na atividade 4, ao utilizarem o transferidor construído pelas pesquisadoras, percebemos uma inquietação entre eles, insatisfeitos com a sequência de fracassos na medição dos ângulos das caixas (figura 16, p. 84). Alguns alunos se queixavam dizendo que a cada medição com o auxílio do transferidor adaptado, encontravam um resultado diferente.
Samuca Ah, velho, hora o meu dá 150, hora dá 135! Bejota É! O meu deu 60, 90 e 120!
Chuck O meu deu 60 e 90, mas agora tá certo...
Bejota O seu é esse aqui, olha... [Passa para Samuca, balançando a caixa na frente dele para que ele perceba a sua localidade.] O meu é a do “Diamante Negro”. O do Chuck é super fácil, é um triângulo comum. Samuca [Encaixa a tampa que estava com Bejota em sua base e entrega a ele.] É
igualzinho o do Bejota! Bejota É, o nosso é difícil demais!
Chuck Deixa eu ver... O meu deu entre 0 e 360. [Risos.]
Samuca O meu deu entre 90 e 120 um... Nossa, que palhaçada! Não tem como medir certinho esse não!
No diálogo acima, podemos observar que a fala de Samuca inflama a turma e provoca nos colegas reações semelhantes, produzindo novas falas relacionadas aos erros de medição com o instrumento que possuíam. Para Vygotsky (2001), a fala socializada provoca no outro reações diversas. Podemos observar que Bejota e Chuck são guiados pela fala de Samuca ao questionar as imperfeições na medição. Em seguida, ambos utilizam o mesmo recurso para manifestar suas insatisfações com a utilização deste instrumento. Nesse caso, a dúvida quanto ao resultado encontrado em cada ângulo foi o fator social que motivou a manifestação dos três alunos.
Ainda nessa atividade, aproveitando as caixas que manuseavam neste momento e a fim de explorar as figuras geométricas presentes em suas caixas, conversamos com eles sobre o hexágono regular.
Pesquisadora Que sólido é esse que se encontra em sua mão, MG? MG Triângulo.
Pesquisadora O sólido é um triângulo? MG A base é triangular! Pesquisadora E qual o nome do sólido?
MG Prisma. É um prisma de base triangular. Pesquisadora Você mediu os ângulos da base, MG?
MG Deu todos 60º.
Pesquisadora Então o triângulo da base é também o que... Samuca Equilátero.
Observamos que MG parecia confundir figuras sólidas com figuras planas, mas percebe a tempo seu equívoco e corrige.
Pesquisadora O sólido é um triângulo? MG A base é triangular!
MG Prisma. É um prisma de base triangular.
Essas associações podem ter possibilitado a MG buscar em suas funções psicológicas superiores subsídios intelectuais que promovem novas internalizações e, consequentemente, novas descobertas e aprendizagens, num emaranhado de ideias surgidas nas relações sociais das quais se insere e participa ativamente.
Em um encontro, dentro da atividade 4, após a construção correta de alguns ângulos, Samuca se sentiu motivado e solicitou a construção de outros ângulos. No diálogo que se segue, podemos observar outras estratégias utilizadas por Samuca para a confecção de novos ângulos.
Samuca Ô, professora, o de 90º você sabe o que eu vou fazer, né? Professora O que você vai fazer?
Samuca Vou nem precisar do transferidor não. Professora Não? Tem certeza?
Samuca Não... Aqui! [E mostra com os dedos polegar e indicador um “L”, colocando em seguida em sua folha.]
Quando Fernandes (2004) destaca que a importância de disponibilizar ferramentas e instrumentos para a exploração vai além da manipulação, que transcende o objetivo deles em si. Samuca não só utilizou o transferidor para a construção de ângulos como percebeu que a formação do ângulo de 90º indicada por esse transferidor também pode ser indicado pela perpendicularidade de segmentos, como os segmentos
da letra “L” na escrita comum. Percebe-se aqui que este aluno trabalha com diferentes áreas de percepção e abstrai conhecimentos em outros níveis de análise, formando conjecturas e tirando conclusões.
Na atividade 5, ao final da construção dos ‘sólidos’ (superfícies dos mesmos, para ser mais correto), enquanto cada aluno ‘apreciava suas obras’, tocando-as, tem lugar o seguinte diálogo:
Chuck Eu fiz um paralelepípedo. Pesquisadora Humm. É mesmo!
Degê Vou fazer duas pirâmides e vou ficar com uma. MG Preciso achar uma base pra essa pirâmide...
Pesquisadora Depois que vocês construírem estes sólidos, nós vamos escrever tudo o que a gente sabe sobre ele: arestas, vértices, quais as figuras planas que vocês utilizaram...
Chuck Eu devia ter feito um mais fácil... Bejota Eu podia ter feito um quadrado.
Chuck Quadrado? Quadrado não é figura espacial não, véi! Bejota Ah.. Um cubo!
Chuck Você tá fazendo o quê, Samuca?
Samuca Estou tentando fazer um prisma hexagonal.
Podemos observar que os nomes dos sólidos já são de conhecimento dos alunos e já fazem parte dos diálogos e das denominações dos sólidos. Já foram incorporados culturalmente e compõem suas funções superiores.
Chuck Eu fiz um paralelepípedo.
Degê Vou fazer duas pirâmides e vou ficar com uma.
A fala continua sendo um importante meio de contribuição para a internalização de fenômenos sociais e culturais. E com ela, a palavra continua sendo fonte de materialização e significação desses fenômenos. Bejota, comentando de sua obra, afirma: “eu podia ter feito um quadrado”. Logo em seguida, é corrigido por Chuck que simplesmente o relembra que “quadrado” não é uma boa definição para um sólido: “Quadrado? Quadrado não é figura espacial não, véi!”.
Esta fala de Chuck faz com que Bejota recorde conceitos discutidos anteriormente, provoca, possivelmente, modificações em seus pensamentos e se revela através da fala: “Ah! Um cubo!”.
Durante essa atividade, percebemos que MG sobrepunha cada uma das figuras, como se montasse uma pilha de pedaços de papelão, sem possuir, ao menos aparentemente, a intenção de utilizá-las como faces de um sólido. Intervimos:
Pesquisadora Deixa eu mostrar o seu pra ele, Degê. [A figura construída por ele foi uma pirâmide de base quadrada.] Aqui, oh [dando a MG], Degê construiu um sólido.
MG Humm. [Toca com suas mãos por toda a pirâmide construída de Degê.] Como é que ele construiu?
Pesquisadora Ele foi juntando as figuras, de forma a ficar “em pé”. Você entende quando eu digo assim?
MG Ah, tá! Entendi.
Através da manipulação da superfície da pirâmide de base quadrada construída por Degê, MG percebe que as figuras em separado comporiam as faces do sólido, mas não compreendia como isso seria feito e pergunta: “Como é que ele construiu?”.
Utilizamos o objeto construído por Degê como instrumento de mediação e signo para MG, de forma que, através da manipulação do mesmo, esse último percebesse como realizar a construção solicitada. Procuramos ainda orientá-lo verbalmente: “Ele foi juntando as figuras, de forma a ficar “em pé”. Você entende quando eu digo assim?”. Ao utilizar a expressão “ficar em pé”, procuramos reafirmar a existência de uma base do sólido, relembrando tudo o que já haviam trabalhado anteriormente. MG responde: “Ah, tá! Entendi”. E, efetivamente, nos parece que ele realmente entendeu. MG consegue construir seu sólido, utilizando quadrados e retângulos recortados em papelão como faces do seu paralelepípedo (figura 47).
A atividade 6 envolvia a modelagem de sólidos com massa de modelar. O diálogo a seguir aconteceu no momento em que os ‘sólidos’, já moldados por cada aluno, foram trocados entre eles. Cada aluno tendo em mãos o ‘sólido’ do colega, deveria manipulá-lo e identificá-lo.
Cat Aqui, essa aqui [com a de Joca em mãos, figura 26, p. 93] é uma figura rasa e parece que é quadrada.
Pesquisadora A base é quadrada. Mas tem altura, num tem? Cat Tem. Ela não é uma figura plana.
Pesquisadora É um sólido...
Cat Ah, eu não tenho a mínima ideia.
Pesquisadora Ela tem uma altura, num tem? Se tem uma altura é o que, gente? Samuca Uma figura espacial.
Pesquisadora Isso. Uma figura espacial. Quantas arestas têm a base? Cat Quatro.
Pesquisadora Isso. Então é de base quadrangular. E agora? É um prisma, uma pirâmide... Cat É uma pirâmide.
Pesquisadora Uma pirâmide? Tem certeza?
Cat Não! É uma prisma! Não tem biquinho. É uma prisma de base quadrada.
Cat identifica que não se trata de uma figura plana, mas não sabe a que grupo ela pertence, dito em seguida por Samuca. Contudo, ela é capaz de identificar algumas características:
Pesquisadora Quantas arestas têm a base? Cat Quatro.
Embora tenha se mostrado capaz de identificar corretamente o número de arestas, confunde-se ao nomear o ‘sólido’ construído por Joca, dizendo tratar-se de uma pirâmide. A palavra “pirâmide” é repleta de significados e carrega com ela características que as difere das demais. Para Vygotsky (2001), a palavra, no processo de maturação do pensamento, passa do meio exterior para o meio interior e provoca na pessoa que a ouve, uma série de significações, remetendo-a a experiências anteriores e conhecimentos formados a respeito dela. Quando questionada se realmente seria uma pirâmide, responde: “Não! É uma prisma! Não tem biquinho. É um prisma de base quadrada”.
Na atividade 7, trabalhamos com a noção de semelhança, utilizando figuras recortadas em diferentes formas (figura 27, p. 95). Os alunos se sentaram em duplas na
seguinte distribuição: Samuca e Cat, Joca e MG, Chuck e Bejota. Dessa forma, analisaram as figuras que lhe foram fornecidas e tiraram conclusões.
Iniciamos a exploração num grupo de quadriláteros: três quadrados e um quadrilátero qualquer. Solicitamos que encontrassem a figura que não faria parte do grupo e que justificassem sua resposta.
Cat Eu já sei, [nome da pesquisadora]. Samuca A gente já sabe.
Bejota Nós já sabemos.
Pesquisadora Então vamos lá, podem falar. [Pausa...] Qual é o diferente? Samuca Este [mostrando o quadrilátero não semelhante].
Pesquisadora Por que ele é diferente? [Pausa...] Ele é um quadrilátero também... Samuca Ah, mas é diferente!
Cat É..
Bejota Ele é excluído dos outros.
MG É esse aqui, oh! [E balança a figura, na direção da pesquisadora.] Pesquisadora Sim, mas porque ele é excluído dos outros?
MG O que a gente tem de diferente aqui é que o diferente é meio triangular... Chuck Este aqui que é diferente, oh! [Mostra na direção da pesquisadora.] Pesquisadora Mas porque que ele é diferente?
Chuck Porque todos os outros são quadrados e esse aqui não. Samuca É, e esse é um losango..
MG Os outros três são quadrados e este aqui não é um quadrado. Pesquisadora Humm... E o que os quadrados tem de diferentes entre si?
Todos O tamanho!
Como podemos perceber no diálogo acima, nosso papel foi fundamental nesta passagem da simples identificação das figuras para a abstração de conceitos. Quando os sujeitos da pesquisa manipulam os objetos e verificam diferenciações e semelhanças entre eles, Fino (2001) vê ali o que chama de “janela de aprendizagem”, um momento propício para a aprendizagem. Os alunos se encontram abertos a novas experiências e a novas descobertas diante as ferramentas que possuem em mãos. Aproveitando momentos oportunos, indagamos aos alunos sobre as características das figuras, estimulando-os a ampliarem sua zona de desenvolvimento.
Pesquisadora Então vamos lá, podem falar. [Pausa...] Qual é o diferente?
Pesquisadora Sim, mas porque ele é excluído dos outros?
Pesquisadora Mas porque que ele é diferente?
Durante os questionamentos, os alunos identificavam fisicamente a figura que excluída do grupo, mas nem sempre conseguiam justificar adequadamente sua resposta. A nosso ver, isso pode estar relacionado a uma dinâmica de trabalho em sala de aula pouco argumentativa, nas quais, usualmente, esperam-se respostas corretas, mas quase nunca, justificativa para as mesmas. Tal característica, infelizmente, não é exclusiva desses alunos, mas perpassam muitíssimas classes em todo o país.
Momentos depois, após as pausas entre as perguntas, Chuck afirma: “Porque todos os outros são quadrados e esse aqui não”. Sua resposta imediatamente ‘faz todo o sentido’ para os colegas. Vygotsky (2001) vê na fala a libertação da confusão mental, no caso, causada pelas indagações das pesquisadoras e pelas reflexões dos alunos.
Após sua fala, segue-se uma sequência de justificações dadas por outros alunos. Segundo Fernandes (2004), a fala articulada influencia os pares. Percebemos a influência da fala de Chuck nos colegas na sequência
Samuca É, e esse é um losango..
MG Os outros três são quadrados e este aqui não é um quadrado.