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a verdade é aquela que se procura

(Rosa, O amor infinito de Pedro e Inês, p. 85)

Discutir o papel específico da demonstração na educação matemática implica que se tenha presente os objectivos dessa mesma educação matemática. Ora a definição desses objectivos passa pela opção por uma dada linha curricular, considerada quer em termos abrangentes, quer na sua vertente específica do currículo de matemática. Neste capítulo, começo precisamente por um olhar mais abrangente sobre o conceito de currículo e respectiva evolução, e progressivamente, vou afunilando esse olhar, primeiro sobre o currículo de matemática, e depois sobre as tarefas de investigação. A inserção de um ponto dedicado às tarefas de investigação prende-se com o facto de a investigação incluir a demonstração entre os seus processos, por um lado, e com o facto

aulas onde incidirá o estudo empírico, por outro lado. A secção seguinte é dedicada à integração curricular da demonstração, começando por precisar e discutir o que se entende por demonstração em educação matemática; em seguida, é discutida a sua importância e as suas funções, o modo como a mesma deverá ser integrada, e por fim, faz-se um levantamento de como tem vindo a ser integrada no currículo de matemática em vários países e em Portugal, em particular, fazendo, antes uma breve contextualização da evolução curricular em cada um desses países. Na última secção, apresento alguns estudos empíricos relacionados com a aprendizagem do processo de demonstrar por parte dos alunos.

O Currículo de Matemática

Conceito de Currículo

O termo currículo, que etimologicamente transporta consigo a ideia de caminho, itinerário, é mencionado pela primeira vez no Oxford English Dictionary associado às Universidades de Glasgow (1577) e de Leiden (1687) enquanto curso regular de estudos mas é apenas nos finais do séc. XIX que o currículo e a escola começam a ser pensados como meios de consecução dos novos interesses que a mudança da sociedade da época exigia (Pacheco, Flores e Paraskeva, 1999). Atribui-se ao ano de 1918 o nascimento do currículo como um campo autónomo no domínio da educação com a publicação da obra

The Curriculum de Bobbit (Machado e Gonçalves, 1991) que transpôs o taylorismo— teoria referente à eficiência industrial—para a construção científica do currículo (Lawton, 1981). Nos finais da década de 20 e durante a década de 30, os currículos centraram-se na criança, colocando a ênfase no aluno e nas suas necessidades (Hass,

1983). Ao longo de todo o séc. XX, em particular a partir dos anos setenta desse século, e também nos anos que deram entrada ao séc. XXI, o currículo tem sido objecto de um intenso debate, o que se justifica pelos enormes desafios colocados de forma crescente à escola, debate este que se fez acompanhar por uma multiplicidade de significados atribuídos ao currículo.

Segundo Pacheco (2001), o conceito de currículo tem uma natureza ambígua, polissémica e multifacetada. O autor identifica duas concepções de currículo nas quais integra as várias definições deste conceito: uma concepção de currículo como plano e produto e uma outra concepção de currículo como processo dinâmico sem uma estrutura predeterminada. “Aliás, cada definição [de currículo] não é neutral, senão que nos

define e situa em relação a esse campo” (Pacheco, 2001, p. 16).

A existência de um campo de estudos curriculares, com um vincado significado social e político, torna infrutífera qualquer tentativa para chegar a um consenso sobre a teorização à volta do conceito de currículo. Por um lado, explica-se pela complexidade que o caracteriza, por outro, pelos significados diferentes que pode ter para as pessoas e pela globalidade do pensamento social onde o pensamento curricular se integra. (Pacheco, 2001, p. 144)

A primeira concepção aponta para uma perspectiva formal de currículo, segundo a qual o mesmo surge como um produto previamente planificado e traduzido num processo linear. Esta concepção é partilhada por vários autores e abarca várias definições de currículo entendido como (a) disciplinas para as quais existe um programa (Phenix, 1962; Beauchamp, 1981), (b) base de experiências (Dewey, 1967, citado em Sacristán, 1991/2000), (c) objectivos a alcançar por meio de experiências de aprendizagem planeadas e dirigidas pela escola (Tyler, 1949; Taba, 1962; Traldi, 1984), (d) resultados pretendidos de aprendizagem (Johnson, 1980) ou (e) experiências de

aprendizagem planeadas e organizadas sob a égide da escola (Wheeler, 1967, citado em Pacheco, 2001).

Trata-se de uma concepção dualista pela qual se separa o currículo de instrução, isto é, separa-se a teoria da prática, separa-se o seu design (planeamento) da respectiva implementação. Os que vêem o currículo como conteúdos, separam-no dos modos de ensino; os que vêem o currículo como resultados, separam-no dos meios utilizados para os obter; e até os que concebem uma ligação entre os objectivos e as experiências de aprendizagem previamente seleccionadas e organizadas, estabelecem uma separação entre o currículo prescrito e a sua concretização real, já que para esses autores a experiência de aprendizagem refere-se à interacção entre o aluno e as condições ambientais exteriores a que pode reagir, mas apenas constitui elemento curricular enquanto algo que é evocado pelo professor pelas situações que propõe, e determinado por uma planificação prévia que aponta quais as experiências desejadas para consecução dos objectivos pretendidos, pressupondo, portanto, uma ligação unívoca meios-fins.

Sacristán (1991/2000) critica a visão tecnológica e eficientista de currículo presente nas definições, explicitadas atrás em c), d) e e), que estabelecem os princípios tayloristas de eficácia, previsão e racionalidade na adequação de meios aos fins:

Um enfoque eficientista que perde de vista o valor da experiência escolar em sua globalidade, muito mais ampla do que a definida pelo referencial estrito de meios-fins e que pretende padronizar os produtos educativos e curriculares, reduzindo a habilidades as competências do professor. (Sacristán, 1991/2000, p. 46)

Segundo Sacristán (1991/2000), a definição de currículo como base de experiências de aprendizagem está ligada aos movimentos de renovação da escola, na década de 30—movimento da educação progressivista, americano, de Dewey e movimento da ‘Escola Nova’ europeu—que, colocando a ênfase nos interesses e

necessidades dos alunos, tinham fundamentalmente preocupações psicológicas, humanistas e sociais. Para o autor, esta definição teve o mérito de defender que a escola e os seus métodos se justificam pelo modo como se desenvolvem os processos na experiência escolar e não apenas pelos resultados observáveis ou pelos conteúdos a ministrar, tendo sido a contribuição desta orientação, no pensamento educativo moderno, historicamente decisiva. No entanto, tal como é apontado por Sacristán (1991/2000), esta é uma definição insuficiente pois apenas contempla as experiências planeadas quando as experiências na educação escolarizada tanto podem ser desejadas como incontroladas20_{. É, portanto, uma definição que, embora centrando o currículo nos}

alunos, nos seus interesses e experiências de aprendizagem, o liga a um plano estruturado e predeterminado.

A segunda concepção de currículo aponta para uma perspectiva flexível e aberta de currículo, segundo a qual o mesmo é visto como um projecto formativo centrado no aluno, resultando da interacção entre a intencionalidade previamente planificada e as experiências quotidianas vividas pelos alunos dentro do contexto escolar, decorram elas dentro ou fora da sala de aula, dentro ou fora da escola. Daí que o termo extracurricular

ou a expressão complemento curricular, usados comummente para designar toda a actividade planeada e realizada na escola, em tempo extra-lectivo, sejam postos em causa, nesta perspectiva, já que esse tipo de actividade está também incluído no currículo. Diferentes autores (tais como Grundy, 1987; Kemmis, 1988; referidos por Pacheco, 2001; Marsh, 1997; referido por Pacheco et al., 1999; Pacheco, 2001; Roldão, 1999; Sacristán, 1991/2000; Schwab, 1978; Stenhouse, 1981; Zabalza, 1994; referido por Pacheco et al., 1999) partilham esta concepção que traduz o currículo num processo dinâmico e permeável às condições da sua própria implementação.

Nesta perspectiva, o currículo, no dizer de Pacheco et al. (1999), “é definido de acordo com as características inerentes aos processos de construção da realidade educativa e cada definição não é mais do que uma proposta decorrente de uma série de comunicações, reacções e intercâmbios entre os actores educativos” (p. 15). Sacristán (1991/2000, p. 34, destaque no original) define o currículo como “o projeto seletivo de cultura, cultural, social, política e administrativamente condicionado, que preenche a atividade escolar e que se torna realidade dentro das condições da escola tal como se acha configurada”.

Pacheco (2001) apresenta três teorias curriculares que fundamentam e sintetizam as várias noções de currículo. A primeira concepção de currículo, apresentada atrás, está associada à teoria técnica. A segunda concepção está ligada à teoria prática e à teoria crítica, ao aglutinar diferentes entendimentos de currículo. Estas duas teorias mantêm alguma proximidade mas apresentam distinções conceptuais. Enquanto a teoria prática, ligada às discussões curriculares da década de 70, perspectiva o currículo como uma prática, um projecto em contínua deliberação, na conexão entre a intenção e a realidade, tendo por expoentes máximos Schwab (1978) e Stenhouse (1981), a teoria crítica, proposta por Grundy (1987, citada em Pacheco, 2001) e Kemmis (1988; citado em Pacheco, 2001), e enquadrada pelas ideias neomarxistas, fenomenológicas e existencialistas, perspectiva o currículo como praxis, conducente à emancipação, por via da acção e da reflexão—seus elementos constitutivos—dos professores, portadores de uma consciência crítica, agrupados segundo interesses comuns.

A teoria crítica fundamenta uma dada concepção curricular, e por conseguinte, fundamenta também um modelo curricular que se considera desejável: um modelo que aponta para uma organização participativa, democrática e comunitária. Trata-se de um modelo que integra os professores em comunidades críticas e que supõe uma

organização escolar virada para a aprendizagem reflexiva. Ambas as teorias, a prática e a crítica, entendem o currículo como uma construção social, um processo dinâmico em que todos os seus elementos estão interrelacionados, e em que a interpretação (a produção de significado) é central para o conhecimento. No entanto, enquanto a teoria prática é uma teoria descritiva e explicativa da contínua deliberação curricular, qualquer que seja o modelo curricular vigente (mesmo que esteja instituído um modelo centralizador, esta teoria evidencia a construção social na prática que vive da dialéctica e da tensão entre a prescrição e a realidade), o modelo curricular proposto pela teoria crítica tem fortes dificuldades em coexistir com práticas centralizadoras. Vejamos como Pacheco (2001, p. 40) explicita a visão curricular da teoria crítica: “O currículo não é o resultado nem dos especialistas nem do professor individual mas dos professores agrupados e portadores de uma consciência crítica e agrupados segundo interesses críticos”. De acordo com o autor, a teoria crítica “não é necessariamente uma boa teoria”, podendo ter ou não sucesso naquilo que explica, tal como qualquer outra teoria. Pacheco afirma que o que esta teoria traz ao campo curricular é o facto de enfatizar os discursos de reflexão sobre as práticas que se perspectivam como projectos identificáveis “quer nas relações de interdependência dos actores . . . quer nas interpretações daqueles que são os seus sujeitos” (Pacheco, 2001, p. 45).

Um outro termo que apresenta alguma afinidade com currículo é didáctica. Enquanto esta realça a normatividade e a instrumentação dos meios para atingir as finalidades educativas, o currículo enfatiza as intencionalidades das práticas educativas. Na medida em que o acto didáctico corresponde ao currículo em acção, podemos considerar que o termo currículo apresenta um sentido mais abrangente que o termo

A definição mais comum de currículo é a que estabelece o currículo como um conjunto de disciplinas com os respectivos programas, tendo sido adoptada por vários anos pelas estruturas centrais dos Ministérios da Educação, quer no nosso país quer em quase todos os que não seguiram os modelos anglo-saxónicos (Freitas, 2001), e esta continua a ser ainda a visão dominante quer nas escolas quer na sociedade em geral (Abrantes, 2001; Roldão, 1999; Sacristán, 1991/2000). Aliás, o uso, em Portugal, do termo currículo é bastante recente: só a partir da década de setenta é que é possível encontrar este termo nos textos legislativos ligados à educação e é a partir do início dos cursos de formação de professores nas universidades que o currículo passa a fazer parte do vocabulário académico (Pacheco et al., 1999). Os próprios estudos curriculares são de data recente no sistema educativo português.

Encontramos a segunda concepção de currículo, explicitada atrás, nos textos legislativos portugueses de 2001—Decreto-Lei nº 6/2001, referente à Reorganização Curricular do Ensino Básico e Decreto-Lei nº 7/2001, referente ao Ensino Secundário— que apresentam a gestão flexível do currículo como um dos princípios orientadores. O currículo nacional é definido, nos termos do Artigo 2º do D.L. 6/2001, como “o conjunto de aprendizagens e competências a desenvolver pelos alunos ao longo do ensino básico (...), expresso em orientações aprovadas pelo Ministro da Educação [que]

definem ainda o conjunto de competências (...) bem como os tipos de experiências educativas que devem ser proporcionadas a todos os alunos”. Também Abrantes (2001, p.26) define o conceito de currículo como o “conjunto de experiências de aprendizagem que se proporciona aos alunos com uma certa intenção e uma determinada organização”, reforçando a importância da diversidade, indissociável do próprio conceito. Freitas (2001), situando-se nesta perspectiva, e reportando-se ao novo papel do professor enquanto agente autónomo e responsável pela criação de currículo, faz

também referência ao conceito que este termo encerra: “Nós queremos ser os «autores» do nosso próprio currículo, considerando currículo não só a disciplina, mas sim o que acontece na escola.” (p.13). Para Roldão, esta é uma definição incompleta, como veremos a seguir.

De facto, Roldão (1999) apresenta uma definição abrangente de currículo escolar enquanto produto histórico e construção social, abarcando na mesma as diferentes formas e modalidades do currículo consoante os diferentes momentos e conjunturas sócio-culturais e políticas: “aquilo que se espera fazer aprender na escola, de acordo com o que se considera relevante e necessário na sociedade, num dado tempo e contexto” (p. 47), incluindo ainda “a escolha e aplicação dos meios para o conseguir” (p. 41). Nesta concepção, o currículo “não «nasce» de decisões administrativas, nem de legislações, nem de modas” (Roldão, 2001, p. 60), mas sim de necessidades sociais. Roldão (2001) aponta a necessidade e a intencionalidade como características essenciais definidoras de currículo. “Não se trata apenas de considerar currículo tudo o que acontece na escola, trata-se essencialmente de identificar o que se espera que a escola promova e de perceber que ela transmite necessariamente muitas outras coisas que importa desocultar.” (Roldão, 2001, p. 62), coisas estas que constituem o currículo

oculto.

O currículo oculto inclui todas as aprendizagens que os alunos fazem através do contexto escolar e que não são objecto de ensino formal, podendo, por isso, passar despercebidas, tais como as normas, os valores, os papéis sociais, os papéis sexuais, “o calão académico . . . as atitudes adquiridas no contacto com os colegas . . . as estratégias de lidar com os professores . . . as estratégias de fuga ao trabalho ou de copiar nas provas de avaliação” (Formosinho, 1991b, p. 44). Segundo Roldão (2001), o currículo

conceptuais de currículo diferentes que não se devem confundir nem sobrepor. Para a autora, é este segundo nível conceptual que capta o essencial da definição de currículo, ou seja, aquilo que se espera socialmente que a escola faça aprender. O currículo

implícito ou oculto, correspondente à praxis social e à cultura, ou seja, tudo aquilo que permeia, que envolve e que veicula as aprendizagens, não pode ser determinado previamente em qualquer formulação de currículo formal, e carece “de ser desmontado para ser compreendido” (Roldão, 2001, p. 61). Mas de acordo com a autora, essa compreensão só fará sentido no quadro do currículo pedido explicitamente à escola.

Pacheco (2001) dá uma definição diferente de currículo oculto: currículo correspondente ao desfasamento entre o que se realiza e o que se pretendia fazer. “Sempre que se verifique tal situação há lugar para o currículo oculto, pois jamais, e por mais prescrição e controlo que possa existir, os propósitos corresponderão de forma isomórfica às realizações” (Pacheco, 2001, p. 144).

A ocultação curricular existe a partir do momento em que se aceitam diferentes interpretações do texto curricular de base, proposto pelo poder político-administrativo. Dir-se-á que existe um currículo oculto quando os autores dos manuais fazem a sua interpretação do programa, quando os professores moldam os conteúdos e organizam as situações de ensino- aprendizagem, quando os alunos são sujeitos activos na interacção didáctica, enfim, quando os pais e outros mais participam, de modo directo ou indirecto, no desenvolvimento do currículo. (Pacheco, 2001, p. 70)

O currículo oculto tal como definido por Pacheco (2001) corresponde a diferentes níveis, ou fases, do desenvolvimento do currículo (Sacristán, 1991/2000) num modelo de gestão curricular centralizada, que apresento na subsecção seguinte. O desfasamento referido atrás é, como o próprio autor reconhece, inevitável e compreensível no quadro de uma concepção aberta de currículo: um projecto flexível e dinâmico cujo planeamento, decorrente da intencionalidade e necessidade, nunca poderá, nem tal será

desejável, prever o contorno exacto e definido do currículo em acção em cada um dos diferentes contextos escolares, estando, portanto, em contínua interacção com as condições práticas de implementação. Tudo aquilo que é apontado pelo autor, correspondendo a diferentes momentos do desenvolvimento do currículo, concebido este como um projecto global e unificado, reporta-se ao nível conceptual de currículo pedido explicitamente à escola, não obstante o maior ou menor isomorfismo entre as propostas planeadas e o que efectivamente se realiza, e não ao nível conceptual de ocultação definido por Roldão (2001). Daí que a concepção de currículo oculto de Pacheco (2001) seja completamente distinta da concepção de Formosinho (1991b) e Roldão (2001). De facto, a organização das situações de aprendizagem por parte do professor prende-se com a intencionalidade do que se espera fazer aprender. No que respeita à participação activa dos alunos, a partir do momento em que a situemos na interacção didáctica, estaremos a situá-la ao nível do currículo em acção, em estreita relação com as situações organizadas explicitamente pelo professor. Claro que as práticas dos alunos são constrangidas pelo currículo explícito mas também integram aspectos que vão para além dele, os aspectos do currículo oculto. No entanto, estes não se prendem directamente com a didáctica, que visa os meios de atingir as finalidades educativas, mas antes com a cultura. Pessoalmente, partilho da concepção de currículo oculto, tal como definido atrás por Formosinho (1991b) e por Roldão (2001). Nesta concepção, currículo oculto tem a ver com as aprendizagens que os alunos fazem mas que não são objecto de organização didáctica por parte do professor, já que estão desligadas da intencionalidade educativa explícita. Tem a ver com os valores culturais que, implicitamente, são veiculados pelo discurso do professor, pelos próprios manuais, pelas normas sociais vigentes na escola e na sala de aula, pelas conversas entre os

da escola, pela política de conhecimento, etc. Isto é, o currículo oculto resulta das experiências naturais, não planificadas, da praxis social e cultural compreendida pela conjunção de significados, comportamentos, crenças e atitudes, veiculados e apropriados no processo de socialização dos alunos no contexto escolar.

Situando o conceito de currículo num quadro sócio-cultural, Roldão (1998) apresenta as tensões dialécticas do currículo escolar nas sociedades ocidentais do final do séc. XX: (a) a necessidade de se ajustar a mudanças sociais rapidíssimas e ao mesmo tempo ser um factor relevante de coesão e identidade social, (b) ser percurso de passagem sócio-cultural e simultaneamente percurso individual de desenvolvimento e crescimento e (c) a necessidade de combinar o nível da finalização e o nível da eficácia. Estas tensões são resolvidas de diferentes modos consoante a época e o contexto.

Vejamos de que forma a mudança conceptual de currículo se relaciona com as transformações sociais operadas na escola. É compreensível que, em tempos atrás, numa escola destinada a um grupo restrito e homogéneo social e culturalmente, se concebesse o currículo como um programa, já que era esse corpo de conhecimentos, rígido e uniforme, que se esperava que os alunos apreendessem. Hoje em dia, a informação é tão vasta e em contínua actualização que tão ou mais importante do que a aquisição de conhecimentos será o desenvolvimento da capacidade, entre outras, de recolher e seleccionar a informação pertinente, de interpretar, de argumentar, ajuizar e tomar decisões fundamentadas. Ou seja, é através da dimensão instrumental e processual do currículo que contemplamos a aprendizagem da aquisição e da transformação da informação disponível em conhecimento. É, pois, fundamental a aprendizagem dos processos que capacitem as pessoas para uma aprendizagem permanente em toda a vida e para uma versatilidade e flexibilidade necessárias à resolução dos problemas inerentes às mais diversas situações profissionais. Por outro