Para efeito de caracteriza¸c˜ao da ´area de atra¸c˜ao de um conjunto atrativo, podemos relaxar algumas das condi¸c˜oes da fun¸c˜ao energia generalizada. Mais precisamente, a existˆencia de um n´umero finito de componentes conexas Ci′s de C no espa¸co inteiro
n˜ao ´e necess´aria, ao inv´es disto, exige-se que o n´umero de componentes conexas Ci′s
interceptando a ´area de atra¸c˜ao seja finito. Formalmente tem-se:
Defini¸c˜ao 5.2.1 Uma fun¸c˜ao V : Rn → R de classe C1 ´e uma fun¸c˜ao energia
generalizada para o sistema (5.1) se
(C4) O n´umero de componentes conexas Ci de C tal que A(γ) ∩ Ci 6= ∅ ´e finito.
(C5) Se A(γ) ∩ Ci 6= ∅, ent˜ao Ci ´e limitado.
(C6) supt≥0|V (φ(t, xo))| < ∞ implica que φ(t, xo) ´e limitado para t ≥ 0.
A pr´oxima proposi¸c˜ao mostra que uma fun¸c˜ao energia generalizada ´e limitada inferiormente na fronteira da ´area de atra¸c˜ao mesmo que a fronteira seja ilimitada. Proposi¸c˜ao 5.2.2 Seja γ um conjunto compacto e atrativo do sistema (5.1). Se uma certa fun¸c˜ao V : Rn → R satisfaz as hip´oteses (C4) e (C5), ent˜ao V (x) tem
um limitante inferior na fronteira da ´area de atra¸c˜ao ∂A(γ) de γ.
Demonstra¸c˜ao: Seja D a uni˜ao de todas as componentes conexas Ci′s de C com
intersec¸c˜ao n˜ao vazia com A(γ). Seja ˆx ∈ ∂A(γ). Se ˆx ∈ ¯D, ent˜ao, usando con- tinuidade de V , hip´otese (C4) e compacidade de cada uma das componentes ¯Cj de
¯
C, conclui-se que V (ˆx) ≥ minj,Cj∩A(γ)6=∅miny∈ ¯CjV (y) .
Se ˆx /∈ ¯D, ent˜ao, arbitrariamente pr´oximo de ˆx, existe xo ∈ A(γ) e xo ∈ ¯/ D.
Agora analisam-se as seguintes duas possibilidades:
(i) Suponha que ϕ(t, xo) /∈ D para todo t ≥ 0, ent˜ao V (ϕ(t, xo)) ≤ V (xo) para t ≥ 0.
Usando continuidade de V e o fato de que ϕ(t, xo) converge para γ quando t → ∞
e xo est´a arbitrariamente pr´oximo de ˆx, conclui-se que V (ˆx) ≥ miny∈γV (y).
(ii) Se (i) n˜ao ´e verdade, ent˜ao existe uma componente conexa Cj1 e um par de
tempos t1 e t∗1, com 0 ≤ t1 ≤ t∗1, tal que ϕ(t, xo) /∈ D para 0 < t < t1 e ϕ(t, xo) ∈ Cj1
V (ϕ(t1, xo)) ≤ V (ϕ(t, xo)) para t1 < t < t∗1. Como conseq¨uˆencia, um m´ınimo local
de V ao longo da trajet´oria ϕ(t, xo) ´e atingido no tempo t1quando a trajet´oria toca o
conjunto ∂Cj1. Ent˜ao, usando a compacidade de ¯Cj1 e continuidade de V , conclui-se
que miny∈ ¯Cj1V (y) ´e um limitante inferior para V (ˆx), isto ´e, V (ˆx) ≥ miny∈ ¯Cj1V (y).
Da hip´otese (C4) (existe um n´umero finito de Ci′s interceptando A(γ)) e con-
tinuidade de V , conclui-se que V (x) tem um limitante inferior em ∂A(γ) dado por minminy∈γV (y), miny∈ ¯DV (y) .
Mostraremos agora que todas as trajet´orias na fronteira da ´area de atra¸c˜ao de γ do sistema (5.1) s˜ao limitadas para t ≥ 0. Esta importante propriedade de limita¸c˜ao das trajet´orias na fronteira da ´area de atra¸c˜ao ser´a muito ´util para ex- trairmos informa¸c˜oes importantes a respeito dos conjuntos limites na fronteira da ´area de atra¸c˜ao.
Proposi¸c˜ao 5.2.3 Se o sistema (5.1) possui uma fun¸c˜ao energia generalizada V satisfazendo as hip´oteses (C4)-(C6) e γ ´e um conjunto compacto e atrativo de (5.1), ent˜ao toda trajet´oria em ∂A(γ) ´e limitada.
Demonstra¸c˜ao: Seja D como na demonstra¸c˜ao da proposi¸c˜ao 5.2.2. Da Proposi¸c˜ao 5.2.2, V (x) tem um limitante inferior, digamos α, em ∂A(S). Seja xo ∈ ∂A(γ) e
seja ω+ o m´aximo tempo de existˆencia de ϕ(t, xo). Como ∂A(γ) ´e um conjunto
invariante, ϕ(t, xo) ∈ ∂A(γ) para t ∈ [0, ω+). Se ϕ(t, xo) /∈ C para todo t ∈ [0, ω+)
ent˜ao V (xo) ≥ V (φ(t, xo)) ≥ α para todo t ∈ [0, ω+). Da hip´otese (C6), ϕ(t, xo) ´e
limitada e ent˜ao conclui-se que ω+ = ∞.
Se por outro lado ϕ(t, xo) tem intersec¸c˜ao n˜ao vazia com C, ent˜ao existe uma
componente conexa Cj1 de C e um par de tempos t1 e t ∗
1, com 0 ≤ t1 < t∗1, tais que
ϕ(t, xo) /∈ C para 0 < t < t1 e ϕ(t, xo) ∈ Cj1 para t1 < t < t ∗ 1.
Se t∗
1 = ∞, isto ´e, ϕ(t, xo) n˜ao abandona ¯Cj1 para todo t ∈ [t1, ω+) ent˜ao ω+ = ∞
e ϕ(t, xo) ´e limtada para t ≥ 0. Se este n˜ao ´e o caso, isto ´e, t∗1 < ∞, ent˜ao duas
situa¸c˜oes podem ocorrer: ou (1) ϕ(t, xo) /∈ C para todo t∗1 < t < ω+ ou (2) existe
uma componente conexa Cj2 e um par de tempos t2 e t ∗
2 satisfazendo t∗1 < t2 < t∗2
tal que ϕ(t, xo) /∈ C para t1 < t < t2 e ϕ(t, xo) ∈ Cj2 para t2 < t < t ∗ 2.
Se (1) ocorrer, tem-se que max{V (xo), V (ϕ(t∗1, xo))} ≥ V (ϕ(t, xo)) ≥ α para
todo t ∈ [0, ω+). Da hip´otese (C6), ϕ(t, xo) ´e limitada para t ∈ [0, ω+) e ent˜ao
conclui-se que ω+ = ∞.
Se (2) ocorrer, e se t∗
2 = ∞, ent˜ao ϕ(t, xo) ´e limitado para t ≥ 0, caso contr´ario
se t∗
2 < ∞, ent˜ao a an´alise pr´evia ´e repetida.
Das hip´oteses (C4) e (C5), conclui-se que α ≤ V (ϕ(t, xo)) ≤ maxV (xo), maxy∈ ¯DV (y)
para qualquer xo ∈ ∂A(γ) para
t ≥ 0 e ent˜ao, da hip´otese (C6), prova-se que toda trajet´oria na fronteira da ´area de atra¸c˜ao ´e limitada. O pr´oximo teorema estabelece a rela¸c˜ao entre os conjuntos limites na fronteira da ´area de atra¸c˜ao e as fun¸c˜oes energia generalizadas. O conhecimemto do com-
41 portamento dos conjuntos limites na fronteira da ´area de atra¸c˜ao pode fornecer informa¸c˜oes ´uteis a respeito da pr´opria fronteira.
Teorema 5.2.4 Se V ´e uma fun¸c˜ao energia generalizada do sistema (5.1) satis- fazendo as hip´oteses (C4)-(C6), γ ´e um conjunto compacto e atrativo de (5.1) e xo ∈ ∂A(γ), ent˜ao ou
(i) ϕ(t, xo) tende para a maior cole¸c˜ao de conjuntos invariantes contida em M ∩
∂A(γ) quando t → ∞ ou
(ii) existe uma seq¨uˆencia de tempos {tn} ↑ ∞ tal que ϕ(tn, xo) ∈ Cjn∩∂A(γ). Neste
caso, existe pelo menos uma componente conexa Cjn tal que ω(xo) ∩ ¯Cjn 6= ∅.
Demonstra¸c˜ao: Proposi¸c˜ao 5.2.3 garante que as trajet´orias na fronteira da ´area de atra¸c˜ao s˜ao limitadas para t ≥ 0. Ent˜ao, as conclus˜oes (i) e (ii) para os conjun- tos limites de xo seguem imediatamente da aplica¸c˜ao do Teorema 5.1.3 restrito ao
conjunto invariante ∂A(γ).
i C j C k C l C γ
Figura 5.3: A fronteira da ´area de atra¸c˜ao e sua rela¸c˜ao com os conjuntos Ci′s.
As proposi¸c˜oes a seguir ser˜ao muito ´uteis para se obter estimativas locais da ´area de atra¸c˜ao via fun¸c˜oes energia generalizadas.
Proposi¸c˜ao 5.2.5 M´ınimos locais da fun¸c˜ao energia generalizada V na fronteira da ´area de atra¸c˜ao ∂A(γ) s˜ao atingidos no conjunto M = {x ∈ Rn: ˙V = 0}∩∂A(γ).
Demonstra¸c˜ao: Suponha que ˆx ∈ ∂A(γ) ´e um m´ınimo local de V em ∂A(γ) e suponha, por contradi¸c˜ao, que ˆx /∈ M. Ent˜ao ˙V (ˆx) 6= 0 e, da Observa¸c˜ao 5.1.4,
f (ˆx) 6= 0. Considere a trajet´oria ϕ(t, ˆx) passando por ˆx. Como ∂A(γ) ´e um conjunto invariante, ϕ(t, ˆx) ∈ ∂A(γ) para todo t ∈ I, onde I ´e um intervalo aberto contendo a origem. Se ˙V (ˆx) < 0, ent˜ao existe um tempo t∗ > 0 em I tal que V (ϕ(t, ˆx)) <
V (ˆx) para todo 0 < t < t∗. Isto implica que arbitrariamente pr´oximo de ˆx existe ˆ
y ∈ ∂A(γ) tal que V (ˆy) < V (ˆx). Mas isto ´e uma contadi¸c˜ao. Argumenta¸c˜ao similar aplica-se se ˙V (x) > 0 para algum tempo negativo t∗ < 0. Portanto, todo m´ınimo
local de V pertence a M. Proposi¸c˜ao 5.2.6 A fun¸c˜ao energia generalizada V tem um m´ınimo global na fron- teira da ´area de atra¸c˜ao ∂A(γ).
Demonstra¸c˜ao: Como V ´e uma fun¸c˜ao cont´ınua e limitada inferiormente no con- junto fechado ∂A(γ), ent˜ao o m´ınimo global existe. O m´ınimo global de V na fronteira da ´area de atra¸c˜ao possui um papel muito importante para a obten¸c˜ao de uma estimativa da ´area de atra¸c˜ao. Infelizmente, encontrar o m´ınimo global em M n˜ao ´e uma tarefa simples, entretanto, esta tarefa pode se tornar mais simples se a seguinte condi¸c˜ao for satisfeita.
(C7) M ⊂S
iC¯i∪ E.
Observa¸c˜ao: Se as hip´oteses (C4), (C5) e (C7) s˜ao satisfeitas, ent˜ao M ´e com- posto de um n´umero finito de componentes conexas disjuntas e limitadas. Cada componente conexa ou ´e formada por um ponto de equil´ıbrio ou pertence a ∂Ci.
Como ¯Ci e E s˜ao conjuntos compactos e V ´e uma fun¸c˜ao cont´ınua, ent˜ao o
m´ınimo Li de V em cada componente conexa de M existe. Obviamente, Li ≤
minx∈∂Ci∩∂A(γ)V (x), isto ´e, o m´ınimo de V em ∂Ci ´e um limitante inferior local de
V na fronteira da ´area de atra¸c˜ao.
Como existe um n´umero finito de componentes conexas Ci′se um n´umero finito de
pontos de equil´ıbrio na fronteira da ´area de atra¸c˜ao, existe um n´umero L satisfazendo L := miniLi. Genericamente, existe uma ´unica componente conexa Ck (ou um
equilibrio xk) tal que L = Lk.
O n´umero L fornece uma estimativa da ´area de atra¸c˜ao via fun¸c˜ao energia ge- neralizada. O pr´oximo Teorema apresenta condi¸c˜oes suficientes para garantir que a componente conexa Sc(L) do conjunto de n´ıvel {x ∈ Rn : V (x) < L} contendo γ ´e
uma estimativa da ´area de atra¸c˜ao, isto ´e, Sc(L) ⊂ A(γ).
Teorema 5.2.7 Considere o sistema (5.1) com uma fun¸c˜ao energia generalizada V satisfazendo as hip´otese (C4)-(C7). Sejam xi, i = 1, 2, . . . os pontos de equil´ıbrio
do tipo 1 na fronteira da ´area de atra¸c˜ao e Ci, i = 1, 2, . . . as componentes conexas
de C com intersec¸c˜ao n˜ao vazia com a fronteira da ´area de atra¸c˜ao ∂A(γ). Seja L ≤ min{miniV (xi), minx∈∪i∂CiV (x)} e Sc(L) a componente conexa do conjunto de
n´ıvel {x ∈ Rn : V (x) < L} contendo γ. Ent˜ao S
c(L) ´e uma estimativa da ´area de
43 Demonstra¸c˜ao: Suponha, por contradi¸c˜ao, que Sc(L) 6⊂ A(γ). Como Sc(L) ´e um
conjunto conexo e γ est´a contido em Sc(L), deve existir pelo menos um ponto ˆy tal
que ˆy ∈ ∂A(γ) e ˆy ∈ Sc(L). Usando as conclus˜oes das Proposi¸c˜oes 5.2.5 e 5.2.6
tem-se que V (ˆy) ≥ L. Mas pela defini¸c˜ao de Sc(L), V (ˆy) < L, logo, chegamos a
uma contradi¸c˜ao.
Figura 5.4 mostra a rela¸c˜ao entre as superf´ıcies de n´ıvel e a ´area de atra¸c˜ao. Observa¸c˜ao 5.2.8 A estimativa Sc(L) n˜ao ´e ´otima no sentido de que pode existir
um n´ıvel maior L2 > L tal que Sc(L) ⊂ Sc(L2) ⊂ A(γ). Entretanto, o n´umero L
´e a melhor estimativa computacional que pode-se obter uma vez que n˜ao se sabe de antem˜ao a localiza¸c˜ao da fronteira da ´area de atra¸c˜ao para o c´alculo do m´ınimo de V na fronteira.
O teorema anterior ´e muito ´util para obterem-se estimativas da ´area de atra¸c˜ao, contudo ´e importante observar que n˜ao existem garantias de que Sc(L) seja um
conjunto positivamente invariante. Figura 5.5 mostra a situa¸c˜ao onde o conjunto Sc(L) n˜ao ´e positivamente invariante. O Teorema a seguir fornece condi¸c˜oes para
garantir a invariˆancia positiva de Sc(L).
Teorema 5.2.9 Suponha que todas as condi¸c˜oes de Teorema 5.2.7 sejam satisfeitas. Suponha que l = supx∈Sc(L)∩CV (x) < L, ent˜ao Sc(L) ´e um subconjunto de A(γ)
positivamente invariante.
Demonstra¸c˜ao: Do Teorema 5.2.7 tem-se que Sc(L) ⊂ A(γ). Precisamos so-
mente mostrar que Sc(L) ´e positivamente invariante. Suponha, por contradi¸c˜ao,
que xo ∈ Sc(L) e que exista um tempo t∗ tal que ϕ(t∗, xo) /∈ Sc(L). Ent˜ao,
V (xo) < L. A continuidade das solu¸c˜oes garante a existˆencia de um tempo ˆt,
satisfazendo ˆt < t∗ tal que V (ϕ(ˆt, x
o)) = L pela primeira vez. Por outro lado,
condi¸c˜ao l = supx∈Sc(L)∩CV (x) < L guarante a existˆencia de um tempo ˜t satis-
fazendo 0 ≤ ˜t < ˆt tal que V (ϕ(˜t, xo)) < L e ˙V (ϕ(t, xo)) < 0 para todo t ∈ (˜t, ˆt). Isto
´e um absurdo e consequentemente o teorema ´e verdadeiro. Figura 5.6 ilustra a rela¸c˜ao entre as superf´ıcies de n´ıvel Sc(L) e Sc(l) do Teorema
5.2.9.
Baseado nos resultados anteriores, o seguinte algoritmo conceitual para estimar a ´area de atra¸c˜ao via fun¸c˜ao energia generalizada ´e proposto.
Algoritmo:
1. Encontre todos os pontos de equil´ıbrio e componentes conexas Ci′s de C na
´area de atra¸c˜ao de γ.
2. Calcule o n´umero L como sendo o m´ınimo de V no conjunto formado pela uni˜ao dos pontos de equil´ıbrio e componentes Ci′s na fronteira da ´area de
3. A componente conexa Sc(L) do conjunto de n´ıvel {x ∈ Rn : V (x) < L}
contendo γ ´e uma estimativa da ´area de atra¸c˜ao.
As vantagens de se utilizar a fun¸c˜ao energia generalizada e o algoritmo con- ceitual apresentado anteriormente para estimar a regi˜ao de estabilidade s˜ao: (i) No caso de comportamentos dinˆamicos complexos existirem na fronteira da ´area de atra¸c˜ao, dificilmente encontra-se uma fun¸c˜ao energia ou uma fun¸c˜ao energia esten- dida. A fun¸c˜ao energia generalizada proposta nesta tese exige menos sobre a fun¸c˜ao energia permitindo ou simplificando o tratamento de uma classe maior de sistemas dinˆamicos. (ii) O algoritmo n˜ao requer o c´alculo dos elementos cr´ıticos, como ciclos limites, na fronteira da ´area de atra¸c˜ao mas apenas a localiza¸c˜ao dos conjuntos Ci.
Embora este algoritmo forne¸ca um caminho para estimar a ´area de atra¸c˜ao nos casos em que comportamentos complexos existem na fronteira da ´area de atra¸c˜ao, ele possui as seguintes dificuldades num´ericas: (i) N˜ao existe um procedimento sis- tem´atico para verificar se uma componente Ci tem intersec¸c˜ao n˜ao vazia com a
fronteira da ´area de atra¸c˜ao, (ii) o c´alculo de L ´e um problema de minimiza¸c˜ao com restri¸c˜oes. Entretanto, para algumas classes de problemas, o campo vetorial e a fun¸c˜ao energia generalizada fornecem pistas a respeito da localiza¸c˜ao destes conjun- tos. Este ´e o caso da classe de sistemas dinˆamicos estudados na pr´oxima se¸c˜ao.