Oppsummering

Les méthodes d'identication présentées dans la section I.5.3.i. sont réalisées sur les paires (τ; ˙γ) obtenues par des formules analytiques en rhéométrie conventionnelle.

Dans le cadre de géométries non conventionnelles, ces grandeurs locales ne peuvent être obtenues que de manière eective avec des calibrations dont la base physique n'est pas claire (section I.3). On aura donc une erreur due à la calibration (cf. gure I.16) qui s'ajoutera aux erreurs expérimentales et à celles dues à l'hypothèse d'une loi de comportement. L'intérêt est alors de traiter directement les données macroscopiques de couples versus vitesses de rotation comme seules accessibles. Dans de telles circonstances, les données à comparer (Dexp et Dnum) du schéma de principe de l'analyse inverse (gure I.18) ne sont plus les contraintes en fonction des gradients de vitesse mais les couples en fonction des vitesses de rotation.

Figure I.22  Identication à partir des grandeurs macroscopiques.

Dans ce contexte, il devient nécessaire de passer par une simulation numérique permettant d'obtenir

des couples numériques (Dnum) en fonction des paramètres rhéologiques d'entrée (X). La littérature

relative à l'analyse inverse dans le domaine de la rhéométrie des suspensions est restreinte. Dans les cas présentés ci-dessous, les données expérimentales ne sont donc pas seulement issues d'essais sur suspensions. Des essais de rhéologie sur métaux à hautes températures sont également étudiés. Dans tous les cas, bien que plus complexes, les identications concernent, entre autres, des para- mètres constitutifs semblables à ceux représentant le comportement des matériaux cimentaires. Les tests rhéologiques étudiés sont des essais de torsion, de traction, de compression, et de cisaillement simple. Les identications basées sur les données expérimentales brutes peuvent être comparées à des données de simulation [47, 70, 77, 78, 79, 48] et peuvent également s'appliquer lorsque des relations entre les paramètres à identier et ces données existent et sont connues mais ne sont pas inversibles [80]. Pour ce qui est des identications de paramètres constitutifs rhéologiques d'une suspension à partir de données macroscopiques, nous pouvons nous référer à Tang et Kalyon [70]. Les données exploitées sont issues d'essais de compression, comme dans le cas de Perrot et al. [80]. Ces derniers exploitent des données de back-extrusion pour obtenir un rhéogramme équivalent sur des suspensions viscoplastiques. Dans les deux études, les procédures d'identication sont basées sur une méthode des moindres carrés. Dans le cas de deux paramètres à identier, les algorithmes d'optimisation basés sur une méthode

des gradients sont capables d'identier les paramètres. Dans le cas de trois paramètres à identier, les résultats obtenus sont satisfaisants [70, 80], cependant la solution donnée peut être un minimum secondaire [70]. Dans le cas où il y a plus de 3 paramètres à identier, les algorithmes de gradients classiques ne sont plus assez globaux au sens où les solutions obtenues sont dépendantes de l'initialisa- tion et correspondent à des minima locaux de la fonction objectif [70]. La même stratégie que pour le cas des données locales (τ; ˙γ) (présentée en section I.5.3.i.) est mise en place. Des sous-domaines sont créés et des identications sont exécutées pour chaque sous domaine, la meilleure solution en termes de fonction objectif est considérée comme la solution au problème d'identication. Le jeu de paramètres amenant à la plus petite valeur de la fonction objectif est considéré comme le jeu solution.

En ce qui concerne la rhéologie des métaux à hautes températures, le nombre de paramètres constitutifs varient de 2 à 16 selon le modèle choisi et les hypothèses posées. Dans le cas d'un essai de torsion, dans certains cas, les auteurs ne notent pas de diculté à l'identication de 4 paramètres constitutifs du ma- tériau avec une méthode des moindres carrés [77]. La solution est unique et connue, et est obtenue avec des initialisations diérentes. Dans une autre étude qui concerne des essais de traction et de cisaille- ment simple, la méthode des moindres carrés est fortement dépendante de l'initialisation alors qu'il n'y a que 3 paramètres au maximum à identier. Les jeux obtenus ne sont pas tous acceptables [48]. Lorsqu'il y a plus de 4 paramètres à identier, la méthode des moindres carrés est dépendante de l'ini- tialisation [47, 77, 78, 79]. Les résultats peuvent être satisfaisants [47, 77, 78, 79], mais rien ne garantit que les solutions trouvées soient les meilleures solutions de l'espace des paramètres. Dans un cas où les méthodes de gradient sont très sensibles à l'initialisation, Szeliga et al. [47] ont testé deux algorithmes géométriques dont l'algorithme du simplexe. Ils notent que ces algorithmes ont permis une exploration plus grande de l'espace des paramètres, mais qu'ils restent sensibles à la forme de la fonction objectif et donc à l'initialisation. Par ailleurs, la forme complexe de la fonction a conduit à des problèmes de calcul de gradient lors de l'optimisation avec la méthode des moindres carrés classique.

Finalement une comparaison est également eectuée avec des algorithmes évolutionnaires de type al- gorithmes génétiques. Ces derniers sont moins dépendants de la forme de la fonction objectif, constat partagé par Chaparro et al. [48]. Les solutions obtenues avec les algorithmes évolutionnaires ont des valeurs de la fonction objectif plus faibles que celles obtenues avec des méthodes de gradient. Étant donné la capacité de ces algorithmes à explorer de larges espaces de paramètres, on peut supposer que les solutions données correspondent aux minimums globaux des fonctions objectif [47, 78, 79, 48]. Cependant les algorithmes évolutionnaires coûtent plus cher en termes de calcul [47, 78, 79, 48]. Le nombre de simulations nécessaires peut être multiplié par dix [78].

Des combinaisons entre les algorithmes évolutionnaires et les algorithmes de gradient peuvent être proposées an d'améliorer la convergence. Ces combinaisons peuvent être plus ou moins complexes et leur ecacité dépend du problème en lui-même, c'est-à-dire de la forme de la fonction objectif [79, 48]. Pour illustrer cette diculté, on se penchera sur le cas où les deux méthodes sont appliquées l'une après l'autre. Dans le cadre de l'étude de Carvalho et al. [79], la séquence "algorithmes génétiques puis méthode de gradient" n'améliore pas la solution de façon signicative alors qu'elle procure une nette amélioration dans le cas de Chaparro et al. [48]. Ceci est dû au fait que dans le cas de Carvalho et al. [79], la fonction objectif est très accidentée avec des minima locaux très proches les uns des autres. Lorsque la méthode de gradient est appliquée avant les algorithmes génétiques, elle permet de se rapprocher de la vallée dont la pente est la plus prononcée. Par la suite, les algorithmes génétiques permettent de sélectionner le minimum global dans la zone précédemment déterminé par la méthode des gradients. Á l'inverse, dans le cas de Chaparro et al. [48], la fonction objectif est globalement plus lisse et régulière mais avec des minima locaux qui empêchent une bonne convergence de la méthode des gradients. Ainsi, les algorithmes génétiques sont utilisés pour initialiser la méthode des gradients dans une zone proche du minimum global. De cette manière, aucun minimum local ne vient perturber le processus de minimisation. Une solution équivalente à celle donnée par les algorithmes génétiques seuls est obtenue avec un coût de calcul inférieur.