Como sabemos, um aluno é avaliado de acordo com uma série de parâmetros. Sabemos também que apesar dos muitos esforços para tornarmos a avaliação rigorosa e objetiva, a verdade é que, na maior parte das vezes caímos em alguma subjetividade, porque queiramos ou não é algo inerente à própria avaliação. A avaliação da resolução de problemas não é exceção. De facto, quando estamos a avaliar um problema, debatemo-nos sempre com a questão da subjetividade e por consequência surge a eterna questão, estamos a ser justos ou não? Outras questões, formuladas por Pinto (1991, p.45) poderão juntar-se a esta:
- Será possível traduzir em termos de avaliação a grande importância reconhecidamente atribuída à resolução de problemas no processo de ensino- aprendizagem? Haverá diferenças a considerar de acordo com os níveis de ensino?
- De que modo(s) se deve fazer essa avaliação? Será diferente o processo de avaliação? Será diferente o processo de avaliação quando se lida com problemas que relacionam a Matemática com a realidade ou com outras disciplinas – e que envolvam por exemplo a realização de projetos?
O autor sugere-nos ainda mais algumas questões bastante pertinentes sobre a avaliação da resolução de problemas:
- Num e noutro tipo de problemas (“puros” e “aplicados”), a avaliação deve ser global ou devemos considerar sub-capacidades ligadas a aspetos específicos da resolução de problemas?
- Como se podem desenvolver formas de registo e análise de dados com vista à avaliação dos alunos? De que modo(s) deve ser feita a informação dos resultados da avaliação aos alunos, aos pais, etc.? Em que medida e de que modo(s) a avaliação pode servir de base para a tomada de decisões relativas ao processo de ensino-aprendizagem, à progressão do aluno, etc.?
A estas questões muitas mais se poderiam juntar, no sentido de tornar a avaliação o mais abrangente e objetiva possível.
Um documento elaborado pela APM (1988), mostra claramente a situação do ensino da matemática relativamente à avaliação da resolução dos problemas. Indica, que o ensino da matemática não está ajustado nem estruturado de forma a lidar com o desenvolvimento e avaliação dos processos e estratégias de raciocínio. Naturalmente, o ensino não está, também, capacitado para resolver nos problemas novos processos como
os hábitos de consulta, a cooperação, comunicação, discussão, investigação ou produção. A solução poderá passar por criar instrumentos e formas de avaliação que permitam minimizar a subjetividade da avaliação. Esta questão tem sido, ao longo dos anos, debatida por diversos autores que por sua vez têm procurado formas de dar resposta consistente a este problema. Krolle e Lester (1990) indicam que alguns investigadores têm desenvolvido esquemas analíticos de classificação baseados nas “fases” de resolução de problemas, sendo estas muito semelhantes às de Pólya (1957) que se encontram descritas em “How to solve it”. Estes esquemas têm sido aplicados quando os alunos usam a técnica do “pensar alto” que já foi referida anteriormente. Esta técnica poderá ser muito útil para ajudar os professores ou investigadores a perceberem como o aluno está a abordar o problema. Para além disso, o procedimento referido anteriormente, poderá ser um dos parâmetros a serem avaliados na resolução de um problema. Contudo, será difícil observar o valor desta técnica se por exemplo, o problema for rotineiro e o avaliador estiver a examinar o trabalho escrito dos alunos, procurando provas destes terem “entendido o problema”, ou “terem esboçado um plano”. A juntar a isto temos de contar com os constrangimentos de existirem turmas muito grandes ou indisciplinadas. Mais, o objetivo de resolver um problema rotineiro é obter a sua solução pelo que pode haver a possibilidade dos alunos não relatarem pormenorizadamente a sua linha de pensamento, querendo rapidamente relatar a solução do problema. Outras limitações desta técnica referidas por Amaro, Borralho e Fernandes (1991) são por exemplo, (a) a fala pode ser limitada pelo pensamento; (b) a fala ou o relato preciso do aluno poderá não acompanhar a forma rápida como o pensamento se processa. A aleatoriedade do pensamento também poderá dificultar o relato. (c) Existe a possibilidade de quando o pensamento está no pico da sua atividade, haver um silenciamento por parte do aluno; (d) a pressão de ter de relatar o pensamento ou a concentração exigida poderá levar a que o aluno resolva o problema de uma forma diferente daquela que eventualmente poderia fazer senão estivesse a ser estudado. Os mesmos autores referem que houve tentativa de integrar problemas mais desafiadores na avaliação da resolução de problemas. Esta tentativa tem revelado várias complicações, na medida em que, se os alunos tiverem um tempo limitado para responderem a este tipo de problemas, terão muitas dificuldades em fazê-lo. Para além disso, se os alunos não estiverem familiarizados com este tipo de problemas, poderão não saber como abordá-los ou que tipo de resposta eles pretendem. Claro que se não foram consideradas as condicionantes acima descritas, o processo de pontuação das respostas dos alunos
poderá originar classificações cujo significado é incerto ou falacioso. Note-se que quando estamos numa situação em que os problemas são mais complicados e os alunos têm pouca experiência, não deverá ser colocada de parte a avaliação, mas esta deve ser mais informal, porque para todos os efeitos, dará alguma informação de como os alunos pensam o problema.
Cockcroft (1982) citado por Abrantes e Leal (1991, p.72) dá sua visão sobre o que deve ser a avaliação da resolução de problemas:
“A avaliação deve ser acompanhada de um método adequado de registo dos processos realizados…Qualquer que seja o método utilizado, dever-se-á incluir qualidades tais como… a perseverança na resolução de problemas, a capacidade para usar os conhecimentos e para abordar oralmente os temas matemáticos”.
As Normas do NCTM seguem a mesma ideia, já que consideram que o trabalho dos estudantes tem sido avaliado através de testes de lápis e papel em vez de se considerarem os processos e o raciocínio. Esta forma de avaliação tem afastado os alunos da realidade matemática, da pesquisa e do crescimento intelectual. De acordo com as Normas, a avaliação deve ser baseada em dois pilares, o quê e como. O que os alunos pensam da matemática e como os alunos pensam a matemática (NCTM, 1987).
Abrantes e Leal (1991), no âmbito do programa MAT789 identificam alguns dos princípios orientadores daquilo que deve ser a avaliação. Referem que a avaliação, sendo uma parte integrante do processo de aprendizagem, deve acontecer ao longo da aprendizagem e não em momentos especiais e devem-se criar situações que favoreçam o seu desenvolvimento. A avaliação deve estar de acordo com os objetivos e as metodologias seguidas (ou seja ser consistente na avaliação). Se são criadas situações diversificadas de aprendizagem, estas também terão de ser avaliadas de forma diversificada. Estas avaliações poderão ser individuais, em pequenos grupos, escritas ou orais, sempre dando ênfase aos processos em detrimento dos conteúdos. Os autores indicam também que a avaliação deve contemplar sempre o que o aluno sabe e não o que não sabe. Mediante o instrumento de avaliação utilizado, deve-se considerar tão válida uma classificação qualitativa como uma classificação quantitativa. A avaliação deve acontecer num ambiente de confiança e clareza, ao fim ao cabo, para evitar as angústias e o stress inerentes a um momento de avaliação.
Num seminário sobre a avaliação da aprendizagem organizado pela APM no ano letivo de 1990/1991, discutiu-se a avaliação da resolução de problemas. Dessa discussão, obtiveram-se algumas conclusões no que concerne este tópico. Considera-se
que no caso dos problemas é importante distinguir-se resposta (proveniente da resolução) da resolução do problema em si. Para além da solução, deve ser alvo de avaliação a apresentação, escrita ou oral e a forma como foi obtida a solução. O trabalho dos alunos pode assumir diversas formas – escrita, oral ou baseada no computador. Os problemas poderão ser propostos para uma aula ou para um certo período de tempo e poderão ser trabalhados de forma individual ou em grupo (o tipo de trabalho deve ter em conta o tipo de problema).
Relativamente à avaliação de atividades de resolução de problemas em situação de trabalho de grupo, devemos distinguir a avaliação do “trabalho” e a avaliação “de cada aluno”. A primeira incide sobre o trabalho realizado como produto do grupo (não como a soma das contribuições individuais) e o segundo incide sobre a avaliação do trabalho de cada aluno. Fazendo um pequeno parêntesis acerca do trabalho de grupo na resolução de problemas, Cobb, Merkel, Wheatley, Wood e Yackel (1990, p.19) referem, abaixo, como é que as crianças devem trabalhar quando estão a desenvolver a atividade de resolver problemas:
“Children engage in two types of problem solving as they work together in small groups to complete the instructional activities. On the one hand, they attempt to solve their mathematical problems; on the other hand, they have to solve the problem of working productively of working together.”
De facto, as crianças ao unirem esforços para resolverem um problema, terão imediatamente de enfrentar outro, fruto da interação entre os indivíduos. Rapidamente, nos lembramos das grandes discussões surgidas no seio de um grupo de trabalho durante a resolução de problemas. Os alunos têm de lidar com a questão de apresentar uma solução plausível e que seja consensual entre todos os elementos do grupo. Evidentemente, em algumas ocasiões, o trabalho produzido fica aquém do esperado, pela falta de entendimento dentro do próprio grupo. Como forma de ultrapassar essa barreira comunicativa/cooperativa entre os elementos de um grupo, os autores sugerem que:
“The obligations the teacher attempts to place on the children as they work in small groups are (1) that they should cooperate to solve problems and (2) that they should reach a consensus.”Os autores explicam, como podem operacionalizar a “obrigação” acima descrita:
“These two obligations mean that children should explain their thinking to one another, that they try to understand one and other’s thinking, that they assume one another’s solution attempts make sense, and that they persist in trying to figure things out for themselves.”
A sugestão trazida pelos autores reveste-se como uma oportunidade de alargar o leque avaliativo, no que concerne à resolução de problemas em grupo. A forma como os alunos cooperam na resolução de problemas pode e deve ser alvo de avaliação, porque mostra como é que os alunos trabalham no sentido de chegar a uma solução que seja unanimemente satisfatória para o grupo.
Concluiu-se ainda no seminário da APM, que envolvendo ou não relações da matemática com outras áreas, assumindo ou não a forma de projeto, o trabalho do aluno ou de grupo de alunos deve ser avaliado como um todo. O professor deve dispor de registos de avaliação preferencialmente escritos. No caso da resolução de problemas o professor deverá dispor de (1) um documento escrito produzido pelos alunos (por exemplo um relatório) sobre a resolução de um problema se este for um trabalho mais prolongado; (2) uma folha de trabalho nos casos em que se trata de um problema ou problemas no âmbito de uma aula; (3) notas contendo dados resultantes da observação do trabalho dos alunos, quando as atividades destes é essencialmente não escrita ou quando os processos anteriores não são praticáveis. O processo de incluir os dados relativos à resolução de problemas na avaliação de cada aluno é um processo difícil, mas deve ser feito um esforço para as incluir de um modo equilibrado numa avaliação e classificação global e não deve ser esquecido que a resolução de problemas deve ser um importante fator de desenvolvimento e não mais um fator de frustração e seleção dos alunos.
Uma das formas de avaliar a resolução de problemas é realizando uma composição escrita. Kilpatrick (1991), refere que quando é solicitado aos alunos para escrever um relatório essa atividade é muito semelhante a escrever uma composição, logo a resolução descrita pode ser avaliada de um modo muito parecido de que como se avalia um ensaio. Note-se que estas composições foram usadas durante muitos anos em exames escritos de muitos países, caíram em desuso e recentemente tem-se feito tentativas para voltar a estabelecer este tipo de processo. Quando se conjuga um problema matemático não rotineiro com a tarefa de escrever um ensaio sobre a
resolução abrem-se novas oportunidades à avaliação, já que os alunos poderão aliar este processo à colaboração com outros alunos. O autor termina referindo que a “matemática está relacionada com a comunicação. O aluno que não consegue comunicar aquilo que fez com um problema não o resolveu verdadeiramente”. A avaliação da resolução de problemas deve-se centrar na comunicação podendo ser esta oral, escrita ou tomar uma variedade de formas.
As Normas para a Avaliação (1991, p.217) consideram que a “avaliação deve determinar o nível de realização dos alunos em todos os aspetos da resolução de problemas”. O aluno deve ser capaz de formular problemas utilizando a informação dada, e a avaliação deve indicar quais as estratégias e técnicas de resolução de problemas usadas pelos discentes. Esta avaliação também deverá contemplar a capacidade do aluno no que concerne a verificação e interpretação de resultados e as possibilidades de generalização das soluções obtidas. As Normas defendem que as formas de avaliação da resolução de problemas devem incluir a observação dos alunos enquanto resolvem problemas individualmente, em pequenos grupos e em grande grupo. A análise dos testes, trabalhos de casa, diários, ensaios e discussão entre alunos sobre a forma de resolver um problema devem ser consideradas igualmente na avaliação. Defende-se igualmente a comunicação aos alunos da sua avaliação e esta poderá ser escrita ou oral ou ainda na forma de classificação em valores numéricos (se se tratar por exemplo de exercícios específicos). Os sistemas de classificação devem considerar dois fatores, a resposta e a estratégia utilizada, sendo por isso necessário atribuir duas notas. Uma sugestão de classificação do trabalho do aluno poderá ser por exemplo: 4 – impecável, 3 – quase tudo certo, mas com alguns erros de cálculo, 2 – ideia certa mas resolução fraca; 1- tentou; 0 - não fez nada. Poderão ser também atribuídos pontos de uma forma parcelar ou seja, por cálculos, desenhos, tabelas, estratégias e verificação elaboradas pelo aluno (NTCM, 1991).
Existem muitas formas de avaliar o trabalho do aluno quando este está envolvido na resolução de um problema, porém, o docente conhecendo como ninguém a sua turma, deverá adequar o processo de avaliação de um ponto tão importante da matemática, à realidade que tem em contexto de sala de aula.