7.4.1
Condição de Equilíbrio de um Corpo Suspenso
Antes de entrar no estudo das alavancas vale à pena fazer mais uma observação experimental. Vamos considerar a balança com palito, agulha (A) e rolha, na qual os eixos de simetria longitudinal destes três corpos estão na horizontal, Figura 7.18.
A
Figura 7.18: Um travessão com seu CG acima do fulcro, isto é, acima da agulha A.
Experiência 7.7
O equilíbrio da balança é estável quando a agulha está acima do centro da rolha e do centro do palito, com ou sem os pratos dependurados na balança, como é o caso das Figuras 7.5 e 7.6. Isto é, quando abaixamos um dos lados do palito e o soltamos do repouso, a balança oscila até parar com seus braços na horizontal e a agulha continuando acima do palito (supondo que existam pesos iguais em seus braços colocados a distâncias iguais da vertical passando pelo fulcro). É fácil de entender isto observando que na posição de equilíbrio o CG do sistema está na posição mais baixa possível, abaixo da agulha, ao longo da reta vertical passando pelo centro da agulha. Qualquer perturbação tende a subir o CG. Conseqüentemente, caso o sistema tenha liberdade de rotação ao ser solto do repouso, retornará à posição de equilíbrio estável.
Experiência 7.8
Vamos agora analisar o caso inverso em que o centro da agulha está abaixo do centro da rolha e do centro do palito. Inicialmente vamos supor que não existam pratos e pesos presos à balança, ver a Figura 7.18. Neste caso o equilíbrio é instável com o palito na horizontal. Isto é, não conseguimos manter a balança parada nesta situação, ela tende a girar para um lado ou para outro quando solta do repouso. Se a balança puder fazer um círculo completo, vai acabar parando na situação de equilíbrio estável da Experiência 7.7. Também é fácil de entender este fenômeno observando que na posição de equilíbrio instável o CG do sistema está na posição mais alta possível, acima da agulha, ao longo da reta vertical passando pelo centro da agulha. Qualquer perturbação no sistema tende a baixar seu CG. Logo, a balança continuará girando inicialmente neste sentido, caso solta do repouso, já que a tendência do CG é de cair aproximando-se da superfície da Terra.
Experiência 7.9
O caso mais curioso é quando o centro da agulha está na posição da Figura 7.18, abaixo do centro da rolha e do centro do palito, mas agora com pesos iguais M e N colocados nos braços de mesmo comprimento da balança. Vamos supor que a balança esteja inicialmente com o palito (travessão) na horizontal. Vamos supor ainda que o peso do conjunto composto pelas linhas, pelos dois pratos, assim como pelos corpos M e N colocados nos pratos (CG deste primeiro conjunto no ponto P ) seja maior do que o peso do conjunto composto por rolha, agulha e palito (CG deste segundo conjunto no ponto T ), tal que o CG dos dois conjuntos como um todo esteja abaixo da agulha A, sobre o ponto C, como na Figura 7.19a. Mesmo neste caso o sistema fica em equilíbrio instável nesta situação inicial. Ou seja, ao ser solto do repouso vai tender a girar para um lado ou para outro, com o travessão da balança saindo da posição horizontal inicial devido a qualquer perturbação no sistema.
Vamos tentar entender o que está acontecendo aqui. Vamos analisar o sis- tema na posição tal que o travessão girou de um ângulo θ em relação à horizontal,
T
C
P
C´
P´
T´
θ
N
M
T
A
C
C
P
Figura 7.19: Uma balança em equilíbrio instável.
tal que o corpo M tenha descido e o corpo N tenha subido, Figura 7.19b. O corpo M (juntamente com seu prato e linha) desceu uma distância H(θ) em relação à sua altura original acima do solo. Durante o mesmo tempo o corpo N (juntamente com seu prato e linha) subiu uma distância h(θ) em relação à sua altura original acima do solo. Como o centro da rolha também desceu neste caso comparado com a altura original do centro da rolha, temos H(θ) > h(θ). Isto significa que o CG do primeiro conjunto (corpos M e N , mais seus pratos e linhas) desceu de P e foi para P′. O CG do segundo conjunto (rolha, agulha
e palito) também desceu e foi para a direita, saindo de T para o ponto T′. O
CG dos dois conjuntos como um todo também desceu em relação à altura de C, indo agora para o ponto C′. Isto significa que a tendência do sistema será de
aumentar o ângulo θ, já que isto abaixa o CG de todo o sistema, Figura 7.19b. Caso o sistema tivesse girado em relação à horizontal de um ângulo θ em relação à horizontal de tal forma que N abaixasse e M subisse, mais uma vez o CG do conjunto como um todo também teria descido. E o sistema tenderia a aumentar ainda mais este ângulo θ. Isto explica o equilíbrio instável neste caso. Estamos chamando a atenção para este caso pois ele apresenta algo novo. No caso do equilíbrio de corpos rígidos só havíamos conseguido equilíbrio instável com o CG acima do ponto de apoio P A (como na Figura 4.34, no caso de um corpo com perfil elíptico girando ao redor de um ponto de apoio abaixo de seu eixo maior na vertical). Isto ocorria quando qualquer perturbação na posição do corpo fazia com que seu CG se abaixasse em relação à posição de equilíbrio instável. Por outro lado havíamos visto equilíbrio estável com o CG acima do P A (como na Figura 4.33, no caso de um corpo com perfil elíptico girando ao redor de um ponto de apoio abaixo de seu eixo menor na vertical). Também havíamos visto equilíbrio estável com o CG abaixo do P S (figuras planas depen- duradas por uma agulha passando por um de seus furos, como na Figura 4.25). Nestes dois últimos casos isto ocorria quando qualquer perturbação na posição
do corpo fazia com que o CG subisse em relação à sua posição na situação de equilíbrio estável.
No caso atual não temos mais um corpo rígido. Quando o travessão gira de um ângulo θ em relação à horizontal, muda o ângulo entre o travessão e as linhas que sustentam os pratos (ele deixa de ser um ângulo reto). Além disso, muda a distância entre o centro de qualquer prato e o centro do travessão. E agora estamos vendo um novo tipo de equilíbrio instável. Isto é, um caso em que o CG do sistema como um todo está abaixo do P S. Ou seja, estamos concluindo mais uma vez, mas agora em casos mais gerais, que vai ocorrer equilíbrio estável (instável) sempre que o CG do sistema como um todo subir (baixar) quando houver uma pequena perturbação na posição do sistema. O equilíbrio será indiferente caso o CG do sistema permaneça na mesma altura em relação à superfície da Terra quando houver alguma perturbação no sistema. O ponto crucial para haver equilíbrio estável de uma balança livre para girar ao redor de um eixo horizontal é que o P S fique verticalmente acima do CG do travessão. Este é um ponto que já havíamos chamado a atenção anteriormente, mas é importante enfatizá-lo mais uma vez aqui. Por exemplo, se o travessão for uma ripa retangular ou um cabo cilíndrico, não se deve fazê-lo girar ao redor do centro da ripa ou do cilindro, mas sim ao redor de um eixo, o fulcro ou P S da balança, que fique acima do centro do travessão. Isto garantirá a estabilidade da balança quando colocada com o travessão na horizontal. Caso o furo tenha sido feito exatamente ao redor do centro da ripa, a alternativa para se conseguir um equilíbrio estável neste caso é a de colocar um peso extra fixo à parte central da ripa, mas abaixo do furo. Isto vai abaixar o CG do travessão, fazendo com que ele fique abaixo do furo (ou do P S).
7.4.2
Balanças com o Centro de Gravidade Acima do Ful-
cro
Antes de prosseguir vamos mencionar brevemente as balanças que possuem o CG do travessão acima do fulcro. Como há equilíbrio instável neste caso, a única possibilidade de se construir uma balança que funcione é que ela fique apoiada por uma área ou superfície, e não apenas por um único ponto ou por uma única linha horizontal sem espessura. Um exemplo é o de uma régua ou ripa horizontal apoiada no centro por uma peça de dominó, como na Figura 7.20. Ela só consegue ficar parada se a área superior do dominó em contato com a régua não for muito pequena comparada com a espessura da régua. Por exemplo, é extremamente difícil equilibrar a régua na horizontal apoiando-a no centro sobre a borda de uma lâmina de barbear colocada em um plano vertical. Neste caso a régua acaba tombando para um lado ou para outro mesmo antes da colocação de quaisquer pesos sobre seus braços.
Isto acaba limitando a precisão ou sensibilidade da balança, já que a área sobre a qual o travessão está apoiado não oferece uma distância única entre os pesos colocados em seus braços e a vertical passando pelo fulcro. Ou seja, a distância de cada braço ao plano vertical passando pelo fulcro estará entre um valor mínimo e um valor máximo. Isto permitirá que se equilibrem sobre
Figura 7.20: Uma balança com seu CG acima do fulcro.
esta balança não apenas corpos de mesmo peso, mas também alguns corpos de pesos diferentes (como estabelecido pelas balanças precisas anteriores, nas quais o fulcro estava acima do CG do travessão).
Outro problema destas balanças é que em geral os suportes (copinhos plás- ticos de café, tampas de garrafa pet etc.) para os pesos acabam sendo colados sobre a régua ou ripa horizontal. Com isto os pesos não vão ficar apoiados sobre um único ponto, mas sim espalhados sobre uma pequena região. Isto também inviabiliza ou dificulta a localização de uma distância única entre os braços (ou entre os pesos) e a vertical passando pelo fulcro.
7.4.3
Outros Tipos de Balança
Além da balança de braços iguais existem tipos variados que utilizam outros efeitos mensuráveis devidos à ação da gravidade. Uma balança caseira bem comum é a de molas, que utiliza a compressão de uma mola por um corpo apoiado sobre ela, parado em relação à Terra, como indicação de peso. Algu- mas balanças piezelétricas de alta precisão utilizam a piezeletricidade, que é um fenômeno observado em alguns cristais anisotrópicos nos quais deformações mecânicas (devidas ao peso de um corpo, no caso das balanças) provocam pola- rizações elétricas seguindo determinadas direções. Algumas balanças eletrônicas transformam deformações mecânicas, ocasionadas pelo peso dos corpos, em ten- sões elétricas, medidas eletronicamente. Existem diversos outros tipos, mas não entraremos em detalhes aqui.