As sequências numéricas são “sequências na qual os elementos matemáticos
são números” (FROBISHER et al.,1999 apud BARBOSA, 2009, p. 47). Essa definição foi utilizada como critério (C.2) para classificarmos 21 atividades de sequências numéricas, destas analisaremos duas que tenham características de resoluções diferentes, que julgamos interessantes e que atendem aos propósitos da presente pesquisa.
Escolhemos esta atividade no livro didático “MATEMÁTICA – Imenes & Lellis”, que de acordo com o PNLD/2011, este utiliza atividades de generalização de padrões para a introdução da linguagem algébrica desde o 6º ano. A atividade foi selecionada, porque utiliza sequências numéricas para o aluno observar e tentar perceber o padrão de formação de cada sequência.
Figura 8 – Transcrição da atividade 3 (6º ano EF)
Fonte: Imenes & Lellis (2009, p.102)
17. Escreva uma regra de formação de cada sequência: a) 0, 12, 24, 36,...
b) 3, 15, 27, 39,... c) 0, 11, 22, 33,... d) 4, 15, 26, 37,...
Resolução 1
a) Observando os números desta sequência, percebemos que todos são múltiplos de 12. Assim, podemos expressar essa regra de formação em língua materna: múltiplos de 12.
b) Observando os números desta sequência, percebemos que aumentam de 12 em 12, portanto, os incrementos são múltiplos de 12, comparando com a sequência do item (a), percebemos que os elementos desta sequência possuem 3 unidades a mais, portanto, os múltiplos de 12 mais 3 unidades.
c) Observando os números desta sequência, percebemos que todos são múltiplos de 11. Assim podemos expressar a regra de formação da sequência como múltiplos de 11.
d) Observando os números desta sequência, percebemos que aumentam de 11 em 11, portanto, os incrementos são múltiplos de 11, comparando com a sequência do item (c), percebemos que os elementos desta sequência possuem 4 unidades a mais, portanto, os múltiplos de 11 mais 4 unidades.
Resolução 2
Utilizando as ideias da resolução 1 e expressando em linguagem algébrica temos:
a) 12n, com n ϵ N. b) 12n + 3, com n ϵ N.
c) 11n, com n ϵ N. d) 11n + 4, com n ϵ N.
De acordo com nossas análises, a resolução 1 favorece o desenvolvimento do pensamento algébrico, de acordo com os indicadores:
1. Perceba e tente expressar relações entre representações numéricas pertinentes a uma situação-problema em um modelo aritmético/algébrico ou geométrico. O aluno poderá perceber que os números das sequências apresentadas são múltiplos de 11 e de 12 e conforme a resolução, expressar essa relação em língua materna;
7. Desenvolva algum tipo de processo de generalização. O aluno poderá desenvolver um processo de generalização para expressar a ideia de múltiplos de 11 e de 12;
8. Perceba e tente expressar regularidades ou invariâncias. O aluno poderá expressar essa regularidade por meio da língua materna.
9. Perceba a relação de dependência das variáveis. O aluno poderá perceber a relação entre a posição e o número; e
12. Perceba o uso da variável como relação funcional; o aluno poderá perceber que a posição ocupada está relacionada como o número.
De acordo com nossas análises, a resolução 2 favorece o desenvolvimento do pensamento algébrico, de acordo com os indicadores:
7. Desenvolva algum tipo de processo de generalização. O aluno poderá desenvolver o processo de generalização, utilizando a linguagem algébrica para expressar suas ideias;
8. Perceba e tente expressar regularidades ou invariâncias. O aluno poderá perceber e expressar a regra de formação de cada sequência numérica, utilizando a linguagem algébrica;
9. Perceba a relação de dependência das variáveis. O aluno poderá perceber a relação entre as variáveis (número e posição) na formação de cada sequência;
11. Perceba o uso da variável como número geral. O aluno poderá perceber e representar o padrão em linguagem algébrica, por exemplo: “11n + 4”, com n ϵ N.
12. Perceba o uso da variável como relação funcional. O aluno poderá perceber que os números da sequência possuem uma relação, de acordo com a posição que ocupa; e
13. Desenvolva ou crie uma linguagem mais concisa ao expressar uma sentença ou expressão matemática. O aluno poderá desenvolver uma linguagem simbólica para expressar sua ideia.
De acordo com nossa análise, esta atividade contempla sete indicadores do pensamento algébrico: 1, 7, 8, 9, 11, 12 e 13.
A próxima atividade que escolhemos está no livro “tudo é Matemática” que, de acordo com o PNLD/2011, introduz o raciocínio algébrico, desde o 6º ano por meio das atividades de generalizações de padrões. Escolhemos esta atividade de sequência numérica, pois é um tipo de atividade que poderá desenvolver nos alunos a observação de regularidade para completar os últimos elementos de cada sequência.
Figura 9 – Atividade 4 (6º ano EF)
Fonte: Dante (2011, p. 15) Resolução 1
a) Observando os números desta sequência percebemos que diminuem de 4 em 4, começando pelo número 27 e que os dois últimos números da sequência são 7 e 3.
b) Observamos que a quantidade de números está relacionada com seu valor; por exemplo: o número 1 aparece uma vez, o número 2 aparece duas vezes e que os sete últimos números são 4, 4, 5, 5, 5, 5 e 5.
c) Observamos que o sucessor de dois números da sequência é a soma dos dois anteriores (Sequência de Fibonacci) e que os cincos últimos números são 21, 34, 55, 89 e 144.
d) Observamos que o sucessor de três números da sequência é a soma dos três números anteriores e que os três últimos números são 31, 57 e 105.
e) Observamos que a sequência de números é constituída pelos resultados das potências de base 2 com expoente natural, por exemplo 20 =1, 2¹ = 2, 2² = 4 e que os dois últimos números da sequência são 32 e 64.
f) Observamos que a sequência numérica tem dois padrões: os números ímpares nas posições ímpares e os múltiplos de quatro nas posições pares e que os quatro últimos números são 16, 9, 20 e 11.
Resolução 2
a) De acordo com a sequência numérica, a cada número consecutivo, percebemos que diminuem 4 unidades começando pelo número 27, expressando essa ideia em linguagem simbólica temos: 27 – 4n, sendo n a posição de cada número e com n ϵ N. n = 5 27 – 4.5 27 – 20 = 7 n = 6 27 – 4.6 27 – 24 = 3
Portanto, os dois últimos números da sequência são: 7 e 3.
b) de acordo com a sequência numérica, a quantidade de números está, de acordo com o valor do número. Portanto, para 1, temos 1; para 2 temos 2 e 2; para 3 termos 3, 3 e 3; para 4 temos 4, 4, 4 e 4; assim por diante.
c) de acordo a sequência numérica, o sucessor de dois números da sequência é a soma dos dois anteriores, então, temos: 1; 1; 1 + 1 = 2; 1 + 2 = 3; 2 + 3 = 5; 3 + 5 = 8; 5 + 8 = 13; 8 + 13 = 21; 13 + 21 = 34; 21 + 34 = 55; 34 + 55 = 89 e 55 + 89 = 144 (Sequência de Fibonacci).
d) de acordo a sequência numérica, o sucessor de dois números da sequência é a soma dos três anteriores, dai, temos: 1; 1; 1; 1 + 1 + 1 = 3; 1 + 1 + 3 = 5; 1 + 3 + 5 = 9; 3 + 5 + 9 = 17; 5 + 9 + 17 = 31; 9 + 17 + 31 = 57 e 17 + 31 + 57 = 105.
e) a sequência de números é constituída pelos resultados das potências de base 2 com expoente natural, expressando em linguagem simbólica, temos “2n”, com n ϵ N.
n = 5 2n = 25 = 32 n = 6
2n = 26 = 64
f) a sequência numérica tem dois padrões intercalados: os números ímpares nas posições ímpares, e os múltiplos de quatro nas posições pares.
Posições pares 4n, com n ϵ N Para n = 4, temos 4. 4 = 16 Para n = 5, temos 4. 5 = 20 Posições ímpares 2n – 1, com n ϵ N* Para n = 5, temos 2.5 – 1 = 9 Para n = 6, temos 2.6 – 1 = 11
Portanto, os quatro últimos números da sequência são: 16, 9, 20 e 11.
De acordo com nossas análises, a resolução 1 favorece o desenvolvimento do pensamento algébrico, de acordo com os indicadores:
1. Perceba e tente expressar relações entre representações numéricas pertinentes a uma situação-problema em um modelo aritmético/algébrico ou geométrico. O aluno poderá perceber as sequências numéricas e expressar suas relações completando os termos solicitados;
7. Desenvolver algum tipo de processo de generalização. O aluno poderá perceber a disposição dos números das sequências e associar a um padrão de regularidade; e
8. Perceber e tentar expressar regularidades ou invariâncias; o aluno poderá expressar suas ideias, observando os padrões de formações em cada sequência.
De acordo com nossas análises, a resolução 2 favorece o desenvolvimento do pensamento algébrico, de acordo com os indicadores:
1. Perceba e tente expressar relações entre representações numéricas pertinentes a uma situação-problema em um modelo aritmético/algébrico ou geométrico. O aluno poderá perceber as sequências numéricas e expressar suas relações por meio de um modelo algébrico para completar os termos solicitados;
7. Desenvolver algum tipo de processo de generalização. O aluno poderá perceber a disposição dos números das sequências e associar a um padrão de regularidade para determinar os termos solicitados;
8. Perceber e tentar expressar regularidades ou invariâncias. O aluno poderá perceber as regularidades e invariâncias nas sequências e tentar expressar suas ideias;
9. Perceba a relação de dependência das variáveis. O aluno poderá perceber a relação entre a posição e o número;
10. Perceber o uso da variável como incógnita. O aluno poderá perceber a relação entre a posição e o número, expressar suas ideias em linguagem simbólica e calcular o valor da incógnita na expressão algébrica;
11. Perceba o uso da variável como número geral. O aluno poderá perceber o padrão em cada sequência e expressar sua ideia na linguagem algébrica, como por
exemplo: “27 – 4n”, com n ϵ N, expressão algébrica que representa um número geral;
12. Perceba o uso da variável como uma relação funcional. O aluno poderá perceber que números das sequências possuem uma relação com a posição que ocupam, caracterizando uma relação funcional; e
13. Desenvolva ou crie uma linguagem mais concisa ao expressar uma sentença ou expressão matemática. O aluno poderá desenvolver ou criar uma linguagem mais concisa, (linguagem algébrica, por exemplo) para expressar a regularidade e descobrir os termos solicitados.
De acordo com nossa análise, esta atividade contempla oito indicadores do pensamento algébrico: 1, 7, 8, 9,10, 11, 12 e 13.