Esta formação decorre das concepções que Fiorentini chama de formalismo clássico ou moderno. O célebre filósofo da ciência Imre Lakatos usa a denominação “estilo dedutivista” e informa que se inicia
... com uma lista laboriosamente feita de axiomas, lemas e/ou definições. Os axiomas e definições freqüentemente parecem artificiais e mistificadoramente complicados. Nunca se fica sabendo como essas complicações surgiram. A lista de axiomas e definições é seguida de teoremas cuidadosamente redigidos. Estes, por sua vez, estão carregados de pesadas condições; parece impossível que alguém jamais os tivesse suposto. O teorema é seguido da prova. (p. 185) [ 21 ]
Usamos o termo euclidiano que foi adotado por Luiz Márcio Imenes, em um dos primeiros estudos consagrados a essa concepção, no âmbito da educação matemática brasileira. [ 22 ]
Buscando características invariantes no ensino da Matemática desde o final do século XIX, Imenes encontra a presença constante do modelo de exposição euclidiano nos textos didáticos vasculhados e nas reminiscências de professores e estudantes, em que pesem as várias reformas ocorridas no ensino da disciplina a partir daquela época. Ele observa que, mesmo na matemática mais elementar, digamos em uma 5a série, quando os axiomas não são explicitados e se omitem as demonstrações, subsiste a ordem euclidiana com sua persistente impressão de artificialidade. Evidentemente, tal presença se acentua no curso superior. Fiorentini observa que ainda hoje há professores “bourbakistas” nos cursos de Licenciatura (uma referência a Nicholas Bourbaki, pseudônimo de um grupo de matemáticos que publicaram obras rigorosamente formalistas abarcando a matemática superior dos cursos de graduação e pós-graduação). Os matemáticos Philip J. Davis e Reuben Hersh assinalam que
... uma aula típica de matemática avançada, especialmente uma aula dada por um professor com interesses “puros”, consiste inteiramente em definições, teoremas, demonstrações, definições, teoremas, demonstrações numa concatenação solene e sem interrupções (p. 182) [ 23 ]
Com base em suas análises, Imenes mostra que o modo euclidiano, por sua própria natureza, esconde o processo de construção do conhecimento matemático, apresentando-o como independente do tempo e dos fazeres humanos em geral, de maneira que a
matemática separa-se do mundo e dos homens, desliga-se dos contextos que dão significado às suas idéias. (...) Além disso, ao organizar as idéias matemáticas ordenando-as exclusivamente segundo o critério da precedência lógica, elimina todos os demais aspectos – psicológicos, culturais, sócio- econômicos – envolvidos na criação da matemática. (p.217) [ 22 ]
Por isso mesmo, força um aprendizado linear, em via de sentido único, ou, dizendo de outro modo, em escada. Torna-se difícil ao aluno que tropeçou em algum degrau, se levantar para alcançar seguintes.
Em conseqüência, ele considera esse modelo como promotor de uma aprendizagem sem sentido para a maioria das pessoas e nele identifica uma causa essencial do fracasso do ensino e aprendizagem da matemática, ao longo do século XX.
É curioso constatar que, apesar da exposição euclidiana rigorosa demonstrar todas as afirmações da teoria, nem por isso consegue explicar certos “por quês”. Admitimos que, por exemplo, no quadro da álgebra abstrata, o misterioso produto (–1) × (–1) = 1 possa ser justificado a partir das propriedades estruturais do anel dos números inteiros, embora a validade dessas propriedades decorra de escolhas até certo ponto arbitrárias. Há, porém, situações em que nem esse grau de justificativa se consegue obter. Consideremos, por exemplo, o caso dos determinantes, na sua exposição elementar.
Sem dúvida a famosa regra de Cramer foi descoberta após uma série de cálculos um pouco enfadonhos. Seu criador, que aliás não foi único, deve ter se proposto a resolver um sistema de duas equações lineares a duas incógnitas, com coeficientes literais. Tendo obtido soluções com certo padrão notável, buscou generalizar o resultado para sistemas de ordem mais alta, o que foi possível após algum esforço, dada a complexidade do padrão envolvido. Dessa forma se
encontrou a regra citada, um algoritmo que permite resolver os sistemas lineares automaticamente, embora de forma um tanto trabalhosa.
Quando esse misto de descoberta e criação é apresentado no modo euclidiano, esconde-se seu propósito, invertem-se os passos que levaram até ele. A seqüência de idéias torna-se a seguinte:
• define-se determinante de ordem n, por meio de permutações, causando impressão de insensatez ou, na melhor das hipóteses, pura arbitrariedade;
• demonstram-se diversas propriedades que facilitam o cálculo de determinantes, o que continua não tendo sentido, já que se ignora o propósito desse conceito;
• demonstra-se, a partir das propriedades anteriores, a regra de Cramer, com a qual se percebe que os determinantes servem para resolver sistemas lineares.
Nesse pequeno edifício euclidiano, alguns podem se maravilhar com a milagrosa descoberta do exótico processo de cálculo que fornece o determinante. Como pôde algum gênio intuir que daí surgiriam soluções de sistemas lineares?
O por quê da regra de Cramer decorre de sua demonstração, a qual resulta, em última análise da definição de determinante. Mas como explicar o “por quê” da estranha definição? Isto não é possível, já que esta foi criada para a demonstração funcionar. Referindo-se a situações desse tipo, Lakatos escreve que se
... o estudante por acaso descobre que algumas das indecorosas definições são geradas pela prova (...) o feiticeiro (professor) o banirá por sua demonstração de imaturidade matemática.(p. 185) [ 21 ]
Cremos ter caracterizado a formação euclidiana e suas limitações. Resta acrescentar que os argumentos apresentados não visam contestar o modo euclidiano como forma de exposição das teorias matemáticas, nem negar suas qualidades e valor histórico, mas certamente pretendem condená-lo como concepção de ensino e da produção de matemática. Esse ponto de vista será reforçado no capítulo 3.