progressivamente, certezas em relação ao contexto de trabalho, possibilitando assim a sua integração no ambiente profissional, que são a escola e a sala de aula. Ela vem também confirmar sua capacidade de ensinar” (TARDIF; RAYMOND, 2000, p. 229). Desta forma também se avalia, na presente pesquisa, as contribuições das experiências vivenciadas pelos tutores em sua atuação, diferenciando apenas quanto à integração ao ambiente profissional que, neste caso, inclui o AVA.
As intervenções observadas e analisadas neste item, sejam elas direcionadas pelos critérios de avaliação ou não, estão relacionadas à atuação de um formador e, principalmente, a um formador de professores, considerando-se que a formação de um estudante universitário vai além da formação específica para o exercício da profissão e que a formação de um professor vai além das aprendizagens das teorias da educação, dos conteúdos e das metodologias de ensino.
5.2 Intervenções referentes ao conteúdo matemático e seu ensino
Na apresentação dos dados, optou-se por abordar as questões do conteúdo matemático e do ensino da matemática em subitens diferentes apenas para facilitar a análise dos dados, mas isso não representa uma ideia de que estes devam ser assuntos a serem tratados isoladamente. Na verdade, considera-se que, ao discutir conteúdos matemáticos em um curso de formação de professores, já se está abordando aspectos do seu ensino, da mesma forma que, nas discussões sobre o ensino da matemática, estão presentes aspectos da matemática enquanto ciência, seus conteúdos e seus fundamentos. Assim, será possível que o leitor localize intersecções entre os apontamentos e as considerações realizadas nos dois subitens aqui apresentados.
5.2.1 Conteúdo matemático
Concepções sobre a matemática e os conteúdos desta disciplina permeiam todas as atividades realizadas pelos estudantes e todas as ações realizadas pelos tutores. Em relação ao trabalho com o conteúdo matemático, foram observados quatro tipos de
intervenções realizadas pelos tutores:
- correção conceitual, realizadas quando algum estudante apresenta um equívoco em suas produções ou em suas participações;
- complementações, realizadas quando os estudantes deixam de abordar algum aspecto conceitual considerado importante;
- explicações, realizadas quando os estudantes perguntam sobre algo que não conseguiram entender;
- confirmações, realizadas quando o tutor quer dar destaque ao que foi realizado de forma correta buscando destacar aspectos importantes que justificam a qualidade do trabalho.
Todos os tutores realizaram estes quatro tipos de intervenções. Serão apresentadas intervenções de alguns deles que são representativas em relação às intervenções realizadas pelos demais tutores.
São exemplos de intervenções por meio de correção conceitual os feedbacks escritos pelos tutores Fernando e Helena. O primeiro deles refere-se à participação de uma estudante em um fórum que propunha a discussão de três temas: a relação entre a concepção de matemática do estudante e aquela apresentada nos estudos do livro-texto; o trabalho do matemático e do professor de matemática; as relações entre as concepções de matemática e o trabalho docente. Uma das estudantes, ao discutir a postagem de outro estudante sobre a necessidade, ou não, da memorização no ensino apresentou um exemplo no qual há um erro conceitual, e o tutor procurou abordar tal equívoco no seu feedback:
Olá [nome do estudante], Não sei se decorar a tabuada é o que o professor deve exigir, no entanto, ele deve ensinar a entender o que é a tabuada e a forma de compreender o que significa 3 vezes quatro, por exemplo. Nesse sentido 3 x 4 é o mesmo que 4+4+4, ou seja, temos a comutativa. Decorar por decorar será que adiantará? Não sei, talvez para alguns sim, e outros esquecerão rapidamente. (Estudante 7, fórum, AI-2, LMI).
Quando você escreve que: “ele deve ensinar a entender o que é a tabuada e a forma de compreender o que significa 3 vezes quatro, por exemplo. Nesse sentido 3 x 4 é o mesmo que 4+4+4, ou seja, temos a comutativa”. Na verdade essa é uma das ideias da multiplicação (soma de parcelas iguais) que será estudada na Unidade 4 do Guia e a propriedade comutativa é que com os números naturais se fizermos 2 x 5 e 5 x 2 o resultado é o mesmo. (Fernando, feedback, AI-2, LMI).
Neste mesmo sentido, aconteceu o feedback enviado pela tutora Helena para uma estudante a partir do texto síntese produzido por esta em uma das atividades da LMII. Nesta atividade, os estudantes deveriam produzir um texto a partir da leitura do livro-texto, da realização da experiência proposta neste material para verificação da condição de existência de um triângulo (como indicado no Quadro 6) e incluir a apresentação das classificações de diferentes quadriláteros a partir de suas propriedades.
Quadro 6 – Proposta de experiência aos leitores sobre a condição de existência de um triângulo.
Fonte: Livro texto da disciplina LMII (ROMANATTO; PASSOS, 2011).
Segue um trecho do texto produzido pela estudante 4 e do feedback enviado pela tutora:
Exercícios como a verificação da condição de existência de um triângulo são interessantes, pois fundamentam os conceitos que podem ser definidos em conjunto: alunos e professor. Partindo de três palitos de tamanhos predefinidos, em quatro opções de montagem (a, b, c, d), em uma das opções sugeridas (c) não é possível construir um triângulo. Isso porque ele não fecha em um de seus vértices, já que os palitos que comporiam esse ângulo são pequenos demais em comparação ao terceiro palito. Assim, fica definida a propriedade postulado. Nas demais opções, é possível perceber a criação de um triângulo isósceles (a), com dois lados e dois ângulos iguais, um triângulo equilátero (d), com todos os lados iguais, bem como seus ângulos e, por fim, um escaleno (b), com lados e ângulos diferentes. (Estudante 8, texto síntese, AI-3, LMII).
Será possível construir um triângulo com três palitos (tipo espetinho) de quaisquer comprimentos? Experimente construir triângulos com os conjuntos de palitos que medem:
a) 10 cm, 5 cm e 5 cm; b) 12 cm, 7 cm e 9 cm; c) 12 cm, 3 cm e 4 cm; d) 10 cm, 10 cm e 10 cm.
O que você pode dizer a respeito dessa experiência?
Na verdade existe uma condição de existência de triângulos e essa condição pode ser verificada com atividades semelhantes à anterior e propostas aos estudantes dos anos iniciais. Logo eles perceberão que com três palitos pode-se construir um triângulo somente se a soma das medidas dos comprimentos de dois palitos for maior que a medida de comprimento do terceiro.
Essa é a condição de existência de um triângulo. Matematicamente, essa propriedade recebe o nome de postulado, ou seja, uma verdade dada pela experiência.
Quanto às experiências com os triângulos, veja: No caso 10, 5 e 5 não é possível formar um triângulo, uma vez que é necessário que a soma da medida de dois lados seja maior do que a medida do terceiro lado. Para essa situação temos: 5 + 5 = 10 que não é maior do que 10 e sim igual, logo, não formará um triângulo. (Helena, feedback, AI-3, LMII).
A correção, realizada pelos tutores, não se limitou a dizer o que está incorreto, mas procurou apresentar uma explicação que justificasse o apontamento e que apresentasse o conceito correto. A tentativa de garantir, nos feedbacks, explicações e justificativas demonstrou uma preocupação com a compreensão dos conceitos matemáticos por parte dos estudantes. Segundo Albuquerque et al. (2008), a compreensão aprofundada é condição necessária para que os professores possam colaborar no processo de aprendizagem da matemática de outras pessoas. Os autores destacam ainda que o desenvolvimento de tal compreensão é responsabilidade da formação matemática inicial destes professores. Mizukami (2013) reforça, citando Darling-Hammond e Baratz-Snowden23, que o
conhecimento da matéria e dos objetivos do ensino compõe a base do conhecimento, ou seja, o professor deve conhecer a matéria que ensina e compreender como o currículo escolar está organizado. Os tutores, ao indicarem incorreções conceituais da matemática e discutirem o fundamento matemático do conceito, assumem a postura de formadores de professores.
Na intervenção realizada pelo tutor Fernando, há uma nítida tentativa de corrigir a compreensão equivocada da estudante sobre a propriedade comutativa, diferenciando a ideia da multiplicação como soma de parcelas iguais da ideia envolvida na propriedade comutativa. Destaca-se que, numa perspectiva de garantir a compreensão da futura professora, o tutor poderia ter discutido com ela o fato de que as operações 2 x 5 e 5 x 2 apresentam o mesmo resultado pela propriedade comutativa, mas envolvem ideias diferentes (dois grupos de cinco e cinco grupos de dois).
Além disso, destaca-se que a postura de formador de professores, assumida pelo tutor na realização da intervenção individual, poderia envolver também o aspecto coletivo uma vez que a postagem da estudante foi realizada em um fórum de discussão coletiva. Ela foi informada sobre o erro cometido e teve oportunidade de refletir sobre ele; no entanto, a mesma oportunidade não foi dada aos demais estudantes participantes do fórum, uma vez que não houve intervenção do tutor naquele espaço sobre esta questão.
23 DARLING-HAMMOND, L; BARATZ-SNOWDEN, J. (Eds.). A good teacher in every classroom. The
A análise do feedback, escrito pela tutora Helena, permitiu observar o uso da escrita para explicações do conceito de desigualdade triangular. No feedback, houve a tentativa de mostrar à estudante a incorreção de sua resposta e de explicar as relações geométricas através de um texto escrito. No entanto, pode-se questionar se a estudante compreendeu as explicações geométricas, realizadas exclusivamente na forma escrita, sem fazer uso de esquemas e de representações que permitiriam a visualização geométrica da situação. Em uma aula presencial, certamente, a explicação contaria com a lousa para explicação; na atividade a distância, os alunos contaram com a proposta de manusear os palitos.
É importante considerar, como afirmam Borba, Malheiros e Amaral (2011), que, em matemática, a visualização inclui dois processos: a interpretação de uma imagem visual e a criação de uma imagem a partir de uma informação não figural. Desta forma, a explicação dada pela tutora Helena pôde, pelas informações oferecidas fazendo uso da linguagem escrita, fazer com que o estudante visualize o objeto por meio da criação mental de tal imagem.
Mas, para que isso ocorra, é preciso levar em consideração que é necessário que o estudante tenha tido experiências matemáticas anteriores que permitam tal abstração. Por este motivo, surge o questionamento sobre o tipo de compreensão que os estudantes têm, pois isso dependerá de suas experiências matemáticas anteriores.
Em outros momentos, no decorrer das disciplinas, apesar dos estudantes não apresentarem nenhuma incorreção na resposta, o fato de terem deixado de abordar alguns aspectos conceituais foi destacado pelos tutores. A tutora Amanda, por exemplo, realizou este tipo de intervenção na devolutiva enviada a uma estudante após a correção das avaliações presenciais.
A primeira avaliação presencial da disciplina LMI propunha aos estudantes a análise de um caso de ensino elaborado pela tutora Letícia como no Quadro 7.
Quadro 7 – Caso de ensino utilizado na primeira avaliação presencial da disciplina LMI.
Fonte: AVA da disciplina LMI.
A primeira questão desta avaliação solicitava aos estudantes que localizassem as ideias matemáticas presentes no caso. A seguir, a resposta apresentada por duas estudantes à primeira questão e o trecho do feedback da tutora Amanda referente a esta resposta:
Tatiane é professora dos anos iniciais. Ela trabalha em uma escola de zona rural. É comum nessas escolas funcionarem salas de aula multisseriada. Na escola onde Tatiane trabalha funcionam salas de aula nesse modelo e ela está atuando numa turma de 4º e 5º anos, com 36 alunos.
Com o objetivo de abordar com os seus alunos o conteúdo de multiplicação, Tatiane decidiu propor a seguinte situação-problema: “Camila foi comprar 4 ingressos para um espetáculo circense. Cada ingresso custava 12 reais e Camila deu cinco notas de 10 reais para pagar. Qual foi o troco que Camila recebeu?”.
Ao analisar as respostas dadas pelos alunos, Tatiane percebeu que para encontrar o valor total dos ingressos, algumas estratégias traziam a multiplicação 4 x 12 = 48 e outras, 12 x 4 = 48. A partir daí, a professora decidiu tecer com os alunos uma discussão acerca dessas duas possibilidades. Então, comentou com os alunos que havia selecionado duas das muitas estratégias trazidas pelos alunos na resolução desse problema para um momento de socialização.
O objetivo da professora Tatiane estava em discutir com os alunos se havia ou não diferença entre as multiplicações 4 x 12 e 12 x 4, já que ambas apresentam o resultado 48.
Tatiane, assim, transcreveu na lousa as duas multiplicações apresentadas para encontrar o valor total dos ingressos e pediu para que os alunos indicassem qual das duas estava correta. No entanto, preferiu antes questionar os alunos a que estava se referindo o valor 48.
O aluno Bruno disse que 48 era o valor total dos ingressos. Nesse momento, a professora compartilhou com os alunos que, em uma das resoluções, foi apresentado que 48 reais seria o valor do troco.
Atento, Bruno disse que havia a possibilidade sim dessa resposta. Tatiane ficou curiosa e questionou Bruno: “Mas como assim?”
“Professora se cada ingresso custasse 50 centavos o troco seria 48 reais” – Bruno respondeu. A fim de desafiar ainda mais o aluno, Tatiane pediu para que ele reelaborasse a situação- problema dos ingressos de modo que 48 reais fosse a resposta final.
Sem qualquer problema, Bruno aceitou o desafio e começou a falar: “bem, ficaria assim: Camila foi comprar quatro ingressos para um espetáculo circense. Cada ingresso custava 50 centavos e Camila...”
Nesse momento, Bruno parou, pensou um pouco e disse “É, professora, só dá certo se Camila der uma nota de 50 reais”, e concluiu a situação “...e Camila deu uma nota de 50 reais para pagar. Qual foi o troco que Camila recebeu?”
A professora Tatiane ficou surpresa com o pensamento matemático apresentado pelo aluno. A fim de incentivá-lo, tanto a professora quanto seus colegas aplaudiram. Em seguida a discussão sobre os ingressos continuou...
Inicialmente a professora trabalhou com situações-problema ao invés de uma conta montada na lousa para cópia ou memorização como se usa no método tradicional. A situação foi contextualizada dentro da realidade dos alunos, uma vez que o circo é bem presente nessas regiões, motivando os alunos encontrarem diferentes resoluções. Os alunos estimulados encontraram a mesma resposta por diferentes caminhos. Dentro das propriedades da multiplicação, percebemos que as crianças escolheram a propriedade comutativa, onde a ordem das parcelas não altera o produto final. De posse desses resultados, a professora socializou as resoluções para justificar a técnica operatória. Quando se justifica a técnica operatória ajudamos no desenvolvimento de competências do aluno para evoluir no conhecimento matemático (exemplo: caso do Bruno). (Estudantes 9 e 10, Primeira atividade avaliativa presencial, LMI).
Na questão 1 vocês precisariam discutir as ideias matemáticas que aparecem no Caso de Ensino. O texto de vocês está muito bem escrito e vocês conseguiram listar algumas ideias importantes sobre o ensino de matemática. Senti falta um pouco sobre ideias mais relacionadas com as operações matemáticas descritas no caso, como a questão da adição ou soma de parcelas iguais (5 notas de 10 reais); os grupos iguais (4 x 12 ou 12 x 4; ou 4 x 50centavos); o completar (50 – 2 = 48; ou melhor 2 + 48 = 50); A propriedade comutativa da multiplicação (a ordem dos fatores não altera o produto); entre outras. (Amanda, feedback, Primeira atividade avaliativa presencial, LMI ).
Apesar das estudantes terem citado, nas suas respostas, a utilização da propriedade comutativa nas estratégias de resolução, de forma geral, a resposta dada à questão priorizou a discussão sobre os aspectos metodológicos utilizados pela professora citada no caso de ensino. Amanda traz no seu feedback as outras ideias matemáticas utilizadas pelas crianças.
Algumas vezes, os estudantes direcionam suas respostas mais especificamente aos aspectos metodológicos do ensino da matemática. O feedback da tutora Amanda apresenta a preocupação de que os estudantes analisem as situações escolares identificando também os aspectos conceituais. Esse tipo de intervenção dos tutores vem ao encontro da preocupação, demonstrada por pesquisadores como Nacarato, Mengali e Passos (2009), de que os cursos de formação professores não foquem apenas os aspectos metodológicos mas também os aspectos conceituais da matemática.
Nesta mesma perspectiva, Serrazina (2007) aponta, como uma das habilidades necessárias aos professores que ensinam matemática nos anos iniciais, a de saber interpretar e a de julgar as observações das crianças do ponto de vista matemático. Feedbacks, como os da tutora Amanda, contribuem para que os estudantes percebam a necessidade e a importância deste tipo de observação e possam iniciar essa prática ainda na formação inicial. Dessa forma,
contribui para que os estudantes qualifiquem uma das habilidades apontadas por Silver (2006) como fundamentais na prática do professor: a de identificar as diferentes ideias apresentadas pelos estudantes, ajudando-os a refletir matematicamente sobre cada uma.
Os momentos de explicações, além daqueles já apresentados em conjunto com as correções, surgem por solicitação dos estudantes na busca de esclarecimentos sobre conteúdos não compreendidos por meio das leituras e das discussões. Vale ressaltar que tais momentos aconteceram poucas vezes durante a disciplina. A ferramenta fórum de dúvidas foi utilizada pelos estudantes, quase que exclusivamente, para tirar dúvidas sobre prazos de atividades ou sobre as consignas delas.
Uma das atividades da LMI solicitava a escrita de um texto a partir da leitura do livro-texto, no qual o estudante precisaria discutir três exemplos do uso do conhecimento lógico matemático. A atividade tinha o prazo de quatro dias; uma das estudantes utilizou o fórum de dúvidas no dia anterior da entrega da atividade, para solicitar a ajuda da tutora na realização da tarefa. Apresentam-se, na sequência, algumas postagens deste diálogo:
Olá tutora! Por favor, preciso, o mais rápido possível de maiores esclarecimentos sobre a atividade AIII-2, pois não estou conseguindo raciocinar plenamente sobre o que foi solicitado para a atividade, peço exemplos, se possível, para que eu possa entender o que está sendo pedido. (Estudante 11, fórum de dúvidas da Unidade 3, LMI).
A unidade 3 trata dos enfoques teóricos e metodológicos dos conteúdos matemáticos dos anos iniciais do Ensino Fundamental. Para se discutir esses enfoques é necessário saber sobre os conhecimentos que se relacionam com esses conteúdos. A tarefa AIII - 2 solicita que vocês façam a leitura dos itens e anotem os conceitos discutidos, procurando relacioná-los a situações vivenciadas na vida cotidiana. Ao final, solicita a leitura do item 3.4 em que se discute os três tipos de conhecimento concebidos por Piaget: o social, o físico e o lógico-matemático. Sobre este último, o G. E. [Guia de Estudo] discute o conceito e apresenta alguns exemplos. O próprio G.E. apresenta um exemplo em que, quando se estabelece a "diferença" entre uma rosa vermelha e uma rosa branca, essa diferença é exemplo de um conhecimento lógico-matemático, pois trata-se de uma relação mental estabelecida por um sujeito. Outro exemplo da presença do conhecimento lógico-matemático em nosso cotidiano é quando um professor e seus alunos estão organizando a fila. Geralmente, utilizamos dois critérios: a separação por gênero e por tamanho. Procurar o seu “lugar” na fila pela primeira vez, é uma atividade em que se usa o conhecimento lógico matemático, pois a criança deverá estabelecer comparações e relações envolvendo as noções de feminino/masculino e maior/menor. A professora [nome da professora da disciplina] nos trouxe, certa vez, um exemplo bastante claro, como por exemplo: "a organização das coisas no armário, ao colocar um objeto maior sobre um menor, notamos que pode ocorrer desequilíbrio, que caberão
menos coisas do que se estiverem organizadas de modo diferente, as menores dentro das maiores. Trata-se de um conhecimento lógico matemático que possibilita compreender a sequênciação, assim como organizamos a fila de alunos para entrar na sala de aula: do maior para o menor, em que posição um aluno deve se colocar?" Após a leitura, reflita: em quais situações da vida cotidiana ou da vida escolar está presente o conhecimento lógico-matemático? O utilizamos quase que sem percebê-lo. Produza um texto para descrever três dessas situações e, ao mesmo tempo, mostrando a sua relação com o conhecimento lógico-matemático. Será que ajudei? Se precisar, pode perguntar novamente!!! (Mariana, fórum de dúvidas da Unidade 3, LMI).
Obrigado [nome da estudante 11] e obrigado Mariana. Também estou meio confuso, pois esse conhecimento lógico-matemático parece ser algo tão natural que nos esquecemos que um dia foi necessário construí-lo mentalmente... Valeu tanto pela dúvida expressa, quanto pela rápida resposta. (Estudante 12, fórum de dúvidas da Unidade 3, LMI)
O registro das datas de cada uma das postagens mostrou que a resposta da tutora foi dada no mesmo dia em que a estudante postou a dúvida, fato este que foi imprescindível para que a estudante pudesse fazer uso dos esclarecimentos na realização da