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Procede-se agora à análise do manual de matemática A, “volume P1”, para o 11º ano, dos autores Ana Jorge, Conceição Alves, Cristina Cruchinho, Graziela Fonseca, Judite Barbedo e Manuela Simões, publicado pela Editora Areal, segundo a Teoria da Atividade Social de Dowling nos subcapítulos dedicados às funções trigonométricas e equações trigonométricas. Os autores dedicam um volume, P1, ao grande tema da Geometria no Plano e no Espaço II, que comporta a Trigonometria, a Geometria Analítica e a Programação Linear.

8.4.1. Índices e organização

O manual de matemática A editado pela Areal dá uma organização diferente àquela que propõe o programa para a disciplina. Ou seja, organiza o capítulo em quatro subcapítulos, distribuídos por “Razões trigonométricas de um ângulo agudo, Radiano, Razões trigonométricos de um ângulo generalizado e Funções trigonométricas como funções reais de variável real”. Não dedica, explicitamente, um subcapítulo à resolução equações trigonométricas, incluindo-as no subcapítulo Razões trigonométricos de um ângulo generalizado.

Fig. 8.14. Índice do manual Matemática A Editora Areal – p. 2

Ao iniciarmos a apreciação deste manual foi perceptível de imediato a boa qualidade do papel empregue. Embora faça um uso variado de cores, acaba no entanto por recorrer muito à cor azul, por vezes em tons muito fortes. É de referir também a boa qualidade das imagens empregues.

8.4.2. Funções Trigonométricas

O manual inicia o estudo das funções trigonométricas com o que chama de “construção da função seno” a partir do círculo trigonométrico, fazendo corresponder a cada amplitude um valor para o seno, ou seja, uma função “que a cada amplitude 𝑥 faz corresponder a ordenada“. Os pontos obtidos são representados num referencial cartesiano sendo feita uma correspondência entre os valores do círculo trigonométrico e a representação gráfica, unindo os pontos traçados por uma linha contínua.

Fig. 8.15.: Construção da função seno – p. 70.

A partir desta representação gráfica é referido que se se quiser prolongar a ℝ, este pode ser conseguido reproduzindo esta secção do gráfico em intervalos de amplitude 2𝜋.

É então considerada a função seno como uma função real de variável real.

É definida a função seno como uma função real de variável real, sendo feito o estudo completo da função, após o que é elaborada uma “síntese de conclusões”. O estudo das funções cosseno e tangente é feito na linha do executado para a função seno. À medida que vai sendo feito o estudo das funções, vão sendo igualmente propostos alguns exercícios para resolver, como os que se mostram na figura 8.16.

Fig. 8.16. Exercício sobre a função seno – p. 72

Para a função cosseno, “adotando um procedimento semelhante ao usado com o seno”. o manual faz a caracterização da função cosseno, a partir do conhecimento da função seno, e sabendo que cos𝑥 = sen 𝑥 +!

! , é obtido o gráfico da função cosseno, por translação, como se observa a

partir da figura 8.17.

Fig. 8.17. Gráfico da função cosseno, obtido por translação da função seno – p. 73

São propostos alguns exercícios em que deverão ser mobilizados os conteúdos sobre funções seno e cosseno, como se pode constatar da figura 8.18.

Fig. 8.18. Estudo de funções seno e cosseno – p. 73

É por fim feito o estudo da função tangente que adotou o procedimento seguido para a função seno. Ou seja, é também a partir do círculo trigonométrico que é feito o estudo da função

tangente, sendo tiradas algumas conclusões sobre as suas propriedades. São igualmente propostos exercícios à medida que os conteúdos vão sendo apresentados, como aquele da figura 8.19.

Fig. 8.19. Determinar o mínimo de uma função trigonométrica tangente – p. 74

O subcapítulo termina com um conjunto de “exercícios e problemas resolvidos” e com um conjunto de exercícios, muito compreensivo, para “consolidar”.

A observação feita de acordo com a TAS, permitiu ao nível estrutural da linguagem, constatar que tanto na apresentação dos conteúdos como os exemplos utilizados estes são de carácter subjetivo, ou seja, podem representar um qualquer contexto, assim sendo, o discurso situa-se no domínio esotérico. A explicação do processo matemático envolvido é muito descritivo, diminuindo desta forma a saturação discursiva, isto é, apresenta um conteúdo com saturação discursiva elevada como se de um com baixa saturação discursiva se tratasse. A posição estabelecida entre o autor e o leitor é a de aprendiz.

Já em termos textuais, observou-se que ao longo de todo o espaço dedicado às funções trigonométricas, tanto a apresentação dos conteúdos como as resoluções dos exemplos são descritos textualmente em linguagem corrente, ou seja, o discurso é procedimental. Só se observa um discurso abstrato não procedimental, na generalização funções seno, cosseno e tangente.

Por fim, ao nível dos recursos, pode-se afirmar que unicamente foi observado o uso de gráficos e círculos trigonométricos, portanto no modo indexado. O uso de símbolos é elementar, a compreensão da sua utilização não implica o domínio muito aprofundado de linguagem simbólica.

8.4.3. Equações e inequações trigonométricas

O manual da editora Areal não apresenta um subcapítulo dedicado à resolução de equações trigonométricas, estas estão incluídas no subcapítulo, razões trigonométricas de um ângulo generalizado. O manual começa por colocar a “tarefa 13”, na qual são colocadas questões em que as suas respostas envolvem a resolução de equações trigonométricas, tarefa representada na figura 8.20.

Nas páginas seguintes o manual responde às questões colocadas na “tarefa 13”, sendo esta a estratégia metodológica adotada para a explicação de como resolver equações trigonométricas. É possível observar que a explicação para a resolução de equações trigonométricas é muito detalhada. A resolução das equações trigonométricas é feita com base no círculo trigonométrico, como se pode observar na figura 8.21. A partir do círculo trigonométrico são determinadas “as amplitudes do intervalo 0° ; 360° que tenham seno igual ao seno de 40°.

Fig. 8.21.

Ângulos com o mesmo seno – p. 58

Fazendo uma generalização a ℝ é obtida a expressão geral das soluções da equação 𝑠𝑒𝑛𝑥 = 𝑠𝑒𝑛 40°, observável na figura 8.22.

Fig. 8.22. soluções da equação seno – p. 58

São dados mais exemplos, elementares, de equações trigonométricas, sendo a sua resolução apoiada no círculo trigonométrico, não sendo sugerido, no entanto a utilização da calculadora gráfica. Posto a apresentação de alguns exemplos é feita a generalização, de forma destacada, para todas as equações trigonométricas seno.

Fig. 8.23. Expressão geral das soluções da equação seno – p. 60.

A forma como é explicada a resolução de equações trigonométricas seno serviu de exemplo às resoluções de equações trigonométricas cosseno e tangente. Á medida que vai sendo feita a explicação dos processos de resolução das equações trigonométricas, vão sendo propostos algumas equações simples para resolver. São propostos alguns “exercícios e problemas resolvidos” e um maior conjunto de exercícios para “consolidar”.

O mesmo processo foi adotado para a resolução de equações que envolvem cossenos e tangentes. Quer os exemplos apresentados, quer os exercícios propostos, não apresentam um elevado nível de dificuldade, sendo de resolução imediata. Um dos exercícios propostos sugere o uso da calculadora, como se observa na figura 8.24, mas como calculadora científica, não sendo abordada a vertente gráfica na resolução de equações trigonométricas.

Fig. 8.24. A utilização da calculadora na resolução de equações – p. 62

No final do subcapítulo, razões trigonométricas de um ângulo generalizado, que inclui as equações trigonométricas, é proposto ao leitor um conjunto de exercícios para resolver. Deste conjunto de exercícios, dois são dedicados às equações trigonométricas, num total de treze alíneas, apresentando estes um grau de dificuldade mais elevado que os anteriormente propostos.

De acordo com a observação feita segundo a TAS, ao nível estrutural da linguagem, foi possível constatar que tanto na apresentação dos conteúdos como os exemplos utilizados são subjetivos, ou seja, podem significar um qualquer contexto, assim sendo, o discurso situa-se no domínio esotérico. A explicação do processo matemático envolvido é muito descritivo, diminuindo desta forma a saturação discursiva, isto é, apresenta um conteúdo com saturação discursiva elevada como se de um com baixa saturação discursiva se tratasse. A posição estabelecida é a de aprendiz.

Em termos textuais, observa-se que ao longo de todo o espaço dedicado às equações trigonométricas, tanto as explicações como as resoluções dos exemplos são descritas textualmente em linguagem corrente, ou seja, o discurso é procedimental. Só se observa um discurso abstrato não procedimental, na generalização das soluções das equações seno, cosseno e tangente.

Por fim, ao nível dos recursos, pode-se afirmar que unicamente foi observado o uso de gráficos, círculos trigonométricos, portanto no modo indexado. O uso de símbolos é elementar, a compreensão da sua utilização não implica o domínio muito aprofundado de linguagem simbólica.

8.4.4. Quadro resumo

Quadro 8.9. Resumo da análise aos manuais de Matemática A Editora Areal

Subtema Matemática A

1. Funções trigonométricas 1. Domínio Esotérico e DS-, posição aprendiz.

2. Abstrato não Procedimental/Particular procedimental. 3. Predominantemente Indexado, simbólico (raramente).

2. Equações e inequações 1. Domínio Esotérico e DS-, posição aprendiz.

2. Abstrato não Procedimental/Particular procedimental. 3. Predominantemente Indexado, simbólico (raramente).