Alternative Management Regimes
3.3 Numerical Analysis
3.3.3 The North Sea Herring Fishery 1981-2001
Ao se comparar as Fig. 4 (a) e Fig. 4 (b) é natural verificar que a primeira curva em verde da primeira figura, chamada de curva de operação do sistema no domínio de frequência, possui comportamento contínuo, já sua correspondente no diagrama de fases na segunda figura apresenta uma descontinuidade, um salto da curva que representa o sistema mais rígido para outra que representa o sistema menos rígido.
Figura 15 – Comportamento do sistema nas duas diferentes regiões
Fonte: Elaboração do Autor.
Este comportamento ocorre, pois, antes de haver a alteração da rigidez, ou seja, quando o sistema está mais rígido, o sistema se comporta de forma “Stiffness Like Behaviour” (comportamento restitutivo ou comportamento potencial), onde há a predominância das forças restitutivas sobre o balanço dinâmico do sistema. Quando o sistema sofre a alteração de rigidez, para o sistema menos rígido, a região de funcionamento se altera e ele passa a se comportar como “Mass Like Behaviour” (comportamento inercial), onde há a predominância das forças de inércia sobre o balanço das forças dinâmicas sobre o sistema.
Investigando matematicamente o fenômeno, é facilmente detectada a origem deste comportamento. Avaliando o comportamento da curva do sistema com alteração de rigidez (curva verde da Fig. 15 – Operação) antes do pico, rememoramos que o mesmo é regido pela Eq. (3), a mesma que rege o sistema sem alteração de rigidez. Se considerarmos que até chegar a este ponto a frequência inicia seu valor em zero e passa a valores menor que 1 até assumir o valor unitário, percebe-se que a curva obedece a formulação da Eq. (28) até um certo ponto, onde passa a se diferenciar deste comportamento (evidenciado pelo descolamento entre as curvas em azul claro e verde), ou seja, assume o comportamento restitutivo do sistema original até o pico.
L
.M
8
!,#%- .,8
(28)
Considerando que Ω≪1 então temos que a parcela (Ω2+j2 Ω será também muito menor
que 1, e assim a expressão dada pela Eq. (4.1) resulta em
L
.M
≅ 1.Após o pico, que é regido pela Eq. (15), ou seja, a mesma que rege o sistema após a redução de rigidez, ao se considerar que após este ponto a frequência tem seu valor sempre maior que o unitário, percebe-se que a curva obedece a formulação da Eq. (29) após certo ponto, onde passa a convergir para o comportamento inercial do sistema com redução de rigidez (evidenciado pela coincidência entre as curvas em magenta e verde).
L
.M
8
3!,#%- .,8
(29)Portanto, considerando o ponto a partir de onde se tem Ω≫1 temos que |γ+j2 Ω|≪|-Ω2
|, assim tem-se que expressão resultante da Eq.(4.2) seja
L
.M
≅8
!,#
8
.Obtendo-se as fases de cada um dos resultados das expressões resultantes das Eq. (28) e (29), obtemos os seguintes valores:
L
.M Y
≅ 1Z 0° ] ^_` (30)Figura 16 – Comportamento da fase do sistema com alteração de rigidez
Fonte: Elaboração do Autor.
A Fig. 16 ilustra esta conclusão. Este comportamento descontínuo das fases impacta na resposta dinâmica do sistema, pois altera a defasagem entre a resposta dinâmica e da força de excitação, causando a existência de um efeito transiente no sistema, conforme pode ser demonstrado pela comparação da Função de Resposta em Frequência do Sistema com alteração de rigidez e a Transformada de Hilbert da Resposta no Tempo (que retrata as amplitudes da resposta no tempo no domínio da frequência) do mesmo sistema, como pode ser verificada na Figura 17. A diferença do valor de pico chega a ser de 72 vezes maior no caso onde se considera o transiente para o caso simulado.
Figura 17 – Comparação entre a Função de Resposta em Frequência e a Transformada de Hilbert da Resposta no Tempo para um caso simulado
Fonte: Elaboração do Autor.
Existem outros parâmetros que possuem influência sobre o transiente do sistema, e estes surgem convenientemente com o modelo proposto para o sistema e sobre o dispositivo de controle. No caso deste modelo, um parâmetro que influencia de forma significativa a eficiência do sistema é a taxa de alteração da frequência. É intuitivo imaginar que o sistema responde de forma diferente quando se atravessa suas frequências naturais mais ou menos rapidamente. Para o sistema sem alteração de rigidez durante a alteração de sua frequência de excitação, considerando as equações adimensionais do domínio do tempo determinadas no terceiro capítulo, foram simulados dois casos para facilitar a compreensão deste efeito, ilustrados pela Fig. 18. No primeiro caso, a taxa de alteração de frequência é de 3x10-3 e no segundo caso de 6x10-3 (note que, como tanto o tempo, quanto a frequência foram adimensionalizados para análise comparativa do modelo, a taxa de alteração de frequência também é adimensional).
Figura 18 – Comparação das respostas do sistema original no domínio adimensional do tempo para os casos de taxa de alteração de frequência de 3x10-3 e 6x10-3.
Fonte: Elaboração do Autor.
Como era de se esperar, quando se atravessa mais rapidamente o pico correspondente ao maior deslocamento do sistema, as amplitudes máximas atingidas são menores e o transiente atinge menores picos. Para este caso, a diferença chega a 10% entre os valores de pico. O mesmo ocorre para os valores RMS das curvas de resposta, quando a travessia é mais rápida o valor RMS da curva é menos. Este fenômeno se deve ao efeito que se tem em se permanecer mais ou menos tempo na região próxima ao pico de maior deslocamento da FRF do sistema. Quando se permanece mais tempo nas proximidades do pico, ou seja, quando a taxa de alteração de frequência é mais baixa, o sistema permanece mais tempo recebendo energia proveniente da fonte de excitação, pois suas forças restitutivas estão próximas a se anular das forças de inércia, e deste modo o sistema depende do amortecimento para dissipação. Quanto maior o amortecimento, menor o efeito da taxa de alteração de frequência, logo em sistemas levemente amortecidos, nas proximidades do pico da FRF a maior parte da energia fornecida pela fonte de excitação será convertida em movimento.