Os esforços de compressão manifestam-se maioritariamente nos banzos quer superiores, quer inferiores, nos montantes e nas diagonais.
De forma a elucidar como foi realizada a verificação dos elementos à compressão, apresenta-se como exemplo os cálculos para a diagonal mais esforçada (U270x80), correspondendo ao elemento nº155 (Figura 4.42). Este elemento situa-se na extremidade do Tramo A, junto ao pilar P2 e apresenta um esforço de compressão de -1627,12 kN.
Em elementos comprimidos o fenómeno de encurvadura é o principal fator de instabilidade. Desta forma, deve-se verificar a condição 𝑁𝐸𝑑 ≤ 𝑁𝑏,𝑅𝑑, onde 𝑁𝑏,𝑅𝑑 corresponde ao valor de
cálculo do esforço axial resistente à encurvadura por influência da flexão. O seu cálculo é dado pela equação (2.9).
Figura 4.42 - (a) Elemento U270x80 (nº155) com os eixos locais representados; (b) Elemento U270x80 e respetivo diagrama de esforço axial de compressão para a combinação mais desfavorável.
O fator de redução para o modo de encurvadura, 𝜒 deve ser calculado tendo em conta possíveis instabilidades, tanto na direção y como na direção z (equação (2.11)). Na sua determinação intervém o coeficiente de esbelteza normalizada, λ calculado através da equação (2.12). Por sua vez o fator 𝜙 calcula-se em função do fator de imperfeição generalizado, 𝛼 estando este associado à curva de encurvadura de um dado elemento metálico. Refere-se que o Eurocódigo não contempla curvas de encurvadura para elementos compostos ligados através de rebites. Desta forma foi adotado para as diagonais uma curva de encurvadura para secções em U, sendo a curva correspondente a curva c, cujo valor é de 0,49 independentemente do eixo de flexão. No cálculo do coeficiente de esbelteza normalizada, λ é ainda necessário determinar o
comprimento de encurvadura, 𝐿𝐸. Para as diagonais o comprimento de encurvadura em torno
do eixo y (verde) (Figura 4.42 (a)) considerado foi metade do seu comprimento total, o que corresponde a 3,05 m. No que diz respeito à encurvadura em torno do eixo z (vermelho) (Figura 4.42 (a)), o comprimento de encurvadura não é o comprimento total do elemento nem metade do seu comprimento, uma vez que a respetiva diagonal emparelhada funciona como um travamento. Desta forma, para determinar o comprimento de encurvadura em torno do eixo z adotou-se um modelo de cálculo, onde as extremidades estão apoiadas e ao centro existe um apoio elástico que simula a diagonal emparelhada (Figura 4.43).
A rigidez da mola determina-se de acordo com a seguinte equação:
𝐾𝑚𝑜𝑙𝑎=
1
𝛿 (4.28)
em que:
𝛿 – Deslocamento a meio vão provocado pela carga de 1 kN.
Figura 4.43 - (a) Modelo de cálculo para determinação do comprimento de encurvadura (𝐿𝐸) em torno do
Para a determinação da referida rigidez, adotou-se um outro modelo de cálculo, presente na Figura 4.44.
O descolamento obtido para o elemento U270x80 quando solicitado por uma carga de 1 kN foi de 0,829 cm. Logo a rigidez da mola apresenta o seguinte valor:
𝐾𝑚𝑜𝑙𝑎 =
1
0,829×10−2= 120,6 𝑘𝑁/𝑚
Aplicando uma carga pontual de 10 kN no modelo de cálculo representado na Figura 4.43 e fazendo uma análise à encurvadura no programa de cálculo, obteve-se para o primeiro modo de encurvadura (Figura 4.45) e o respetivo coeficiente de carga crítica.
A carga crítica para o referido elemento é obtida através da multiplicação entre o coeficiente de carga crítica (obtido pelo programa de cálculo) e a respetiva carga pontual. Assim, conhecendo a carga crítica do elemento é possível determinar o comprimento de encurvadura (equação (2.8)), tal como se representa na Tabela 4.49.
Figura 4.44 - Deslocamento causado por uma carga de 1 kN a meio vão no elemento U270x80
Tabela 4.49 - Cálculo do comprimento de encurvadura em relação a eixo z do elemento U270x80
Refere-se que o mesmo procedimento foi realizado para as duas restantes diagonais (U235x80 e U200x80), obtendo-se o mesmo comprimento de encurvadura (4,35). Este facto é justificado pelo emparelhamento ser feito sempre com duas diagonais iguais.
Na Tabela 4.50 apresentam-se os valores dos vários parâmetros que intervêm no cálculo de 𝑁𝑏,𝑅𝑑, para a diagonal em análise.
Tabela 4.50 - Valores obtidos para verificação da encurvadura para a diagonal nº 425
Após o cálculo da resistência à encurvadura por influência da flexão pode verificar-se que a condição 𝑁𝐸𝑑≤ 𝑁𝑏,𝑅𝑑 não é garantida, sendo 𝑁𝑏,𝑅𝑑 o menor valor entre 𝑁𝑏,𝑅𝑑,𝑦 e 𝑁𝑏,𝑅𝑑,𝑧. O rácio
entre esforço atuante e esforço resistente para a diagonal mais solicitada é dado pela seguinte expressão:
𝑁𝐸𝑑
𝑁𝑏,𝑅𝑑
=1627,12
239,50 = 6,79 ≤ 1,0
Conclui-se que a sua capacidade resistente é largamente ultrapassada para o esforço de compressão atuante.
Os esforços de compressão afetam também os banzos superiores e inferiores que pelas suas características interessa referir como foi realizada a verificação à compressão. Tal como visto anteriormente, ao longo da viga principal estes elementos variam de secção, dependendo da espessura da chapa do seu banzo, ou seja, podem existir elementos estruturais compostos
Elemento nº155 – U270x80 𝐸 (GPa) 182 𝐼𝑧 (cm4) 313,58
Coeficiente de carga critica 29,71 Carga crítica (kN) 297,1 𝐿𝐸 (m) 4,35
Elemento nº155 – U270x80 Parâmetros Eixo y Eixo z
𝐿𝐸 (m) 3,05 4,35 𝑖 (cm) 9,71 2,24 𝜆1 88,37 88,37 λ 0,36 2,20 𝛼 0,49 0,49 𝜙 0,60 3,41 𝜒 0,92 0,17 𝑁𝑏,𝑅𝑑 (kN) 1326,06 239,50
apenas por uma secção transversal (Figura 4.46 (a)) ou elementos compostos por duas ou três secções transversais (Figura 4.46 (b)).
Para efeitos de cálculo da verificação de segurança foi considerado um comprimento de referência de 4,0 m, sendo esta a distância entre montantes que definem os módulos da viga treliçada.
Os elementos compostos por duas ou mais secções transversais definem-se como elementos de secção variável, em que as suas propriedades geométricas (área e inércia) variam ao longo do elemento. Para a verificação do esforço de compressão adotou-se uma análise simplificada, descrevendo-se de seguida o procedimento.
Para a verificação à compressão as secções utilizadas são as de classe 1, ou seja, com menor área e menor inércia comparativamente às existentes. Numa primeira fase, tendo como objetivo determinar a carga crítica de cada elemento, modelou-se individualmente no programa de cálculo as secções referentes aos banzos, com um comprimento de referência de 4,0 m e uma carga aplicada de 10 kN no nó superior (Figura 4.47).
(a) (b)
Figura 4.46 – (a) Banzo inferior composto por uma secção transversal; (b) Banzo inferior composto por três secções transversais
(a) (b) (c) (d) (e)
Figura 4.47 - Modelo de cálculo para determinação da carga crítica de cada elemento individual - (a) BAc; (b) BArv; (c) BArs; (d) BArd; (e) BArt
Posteriormente efetuou-se uma análise à encurvadura, tal como realizado para as diagonais, onde se obtiveram as respetivas cargas críticas referentes ao primeiro modo de encurvadura de cada elemento. Numa segunda fase, considerando um comprimento de encurvadura de 4,0 m e um fator de imperfeição 𝛼, que toma o valor de 0,49 para ambos os eixos, determinou-se o 𝑁𝑏,𝑅𝑑 para cada banzo. De modo a relacionar os valores obtidos efetuou-se a divisão dos
mesmos, tal como apresentado na Tabela 4.51. Observa-se que à medida que a área das secções aumenta, 𝑁𝑏,𝑅𝑑 e 𝑁𝑐𝑟 acompanham esse aumento.
Tabela 4.51 - Valor de cálculo do esforço axial resistente à encurvadura e carga crítica para cada elemento
Tendo a relação 𝑁𝑏,𝑅𝑑/𝑁𝑐𝑟 para cada elemento isolado, modelou-se numa fase posterior, de
igual forma os elementos de secção variável, tal como indica a Figura 4.48. A sua modelação respeitou o comprimento de cada secção, sendo ainda adicionados os respetivos “offsets”.
O facto dos banzos existentes se definirem como elementos de secção variável torna a determinação de 𝑁𝑏,𝑅𝑑 complexa. Tendo os valores da carga crítica de cada elemento de secção
variável, multiplicou-se esse valor pelo quociente 𝑁𝑏,𝑅𝑑/𝑁𝑐𝑟 (Tabela 4.51) do elemento menos
resistente, obtendo-se o valor de 𝑁𝑏,𝑅𝑑 para os elementos de secção variável (Tabela 4.52).
Elementos 𝑁𝑏,𝑅𝑑 (kN) 𝑁𝑐𝑟(kN) 𝑁𝑏,𝑅𝑑/𝑁𝑐𝑟 BAc 1182,89 2140,62 0,553 BArv 1643,93 2804,46 0,586 BArs 1553,23 2673,19 0,581 BArd 1899,85 3182,58 0,597 BArt 2264,09 3747,05 0,604 (a) (b) (c) (d)
Figura 4.48 - Modelo de cálculo dos elementos de secção variável do Tramo A para determinação do primeiro modo da carga crítica: (a) Banzo constituído por BAc e Barv; (b) Banzo constituído por BArv e BAc; (c) Banzo constituído por BAc e BArs; (d) Banzo constituído por BArs, BArd e BArt
Tabela 4.52 - Determinação de 𝑁𝑏,𝑅𝑑 para cada elemento de secção variável inserido no respetivo módulo
Tramos Módulo Elemento L (m) 𝑁𝑐𝑟(kN) 𝑁𝑏,𝑅𝑑/𝑁𝑐𝑟 𝑁𝑏,𝑅𝑑 (kN)
A 3 BArv BAc 0,125 3,875 2804,12 0,553 1550,68 7 BArv BAc 2,825 1,175 2681,10 0,553 1482,65 9 BArs BAc 2,80 1,20 2199,71 0,553 1216,44 10 BArs 0,45 BArd 0,40 3699,20 0,581 2149,24 BArt 3,15 B 11 BArt 1,90 3386,50 0,581 1967,56 BArd 1,45 BArs 0,65 12 BArs BAc 1,95 2,05 2356,11 0,553 1302,93 14 BAc 3,65 2142,76 0,553 1184,95 BArv 0,35 19 BArv 1,90 2395,57 0,553 1324,75 BAc 2,10 21 BAc 2,65 2226,47 0,553 1231,24 BArs 1,35 22 BArs 0,15 3706,84 0,581 2153,67 BArd 0,70 BArt 3,15
Os respetivos comprimentos de cada secção, no elemento de secção variável, influência diretamente o valor de cálculo da resistência à encurvadura. Como exemplo apresenta-se a verificação da segurança à compressão do banzo pertencente ao módulo 14. O esforço máximo de compressão neste elemento corresponde a -2482,27 kN, logo:
𝑁𝐸𝑑
𝑁𝑏,𝑅𝑑
=2482,27
1184,95= 2,10 ≤ 1,0
Verifica-se que a capacidade resistente deste elemento é ultrapassada, apresentando um rácio entre esforço atuante a esforço resistente de 2,10.