Considere a seguinte classe de sistemas n˜ao lineares singularmente perturbados: (Σε) ˙x = f (x, z) ε ˙z = g(x, z) x(to) = xo z(to) = zo (6.1) onde x ∈ Rn, z ∈ Rm. As fun¸c˜oes f : Rn× Rm → Rn e g : Rn× Rm → Rm s˜ao de
classe C1 e ε ´e um n´umero real n˜ao negativo e pequeno. Denotaremos a trajet´oria
de (Σε) iniciando em (xo, zo)T por ϕε(t, xo, zo) = (xε(t, xo, zo), zε(t, xo, zo)) T
. Seja E o conjunto dos pontos de equil´ıbrio de (Σε), isto ´e,
E := {(x, z) ∈ Rn× Rm : f (x, z) = 0, g(x, z) = 0}.
O sistema (Σε) ´e conhecido na literatura como sistema singularmente perturbado
57 que (xs, zs) seja um ponto de equil´ıbrio assintoticamente est´avel de (Σ
ε) e seja
Aε(xs, zs) = {(x, z) ∈ Rn× Rm : ϕε(t, x, z) → (xs, zs) quando t → ∞} a ´area de
atra¸c˜ao de (xs, zs). Estar-se-´a particularmente interessado no estudo da ´area de
atra¸c˜ao Aε(xs, zs) quando ε → 0. Em particular, deseja-se estabelecer a rela¸c˜ao
entre Aε(xs, zs) e as ´areas de atra¸c˜ao de dois sistemas simplificados associados, s˜ao
eles o sistema lento e o sistema r´apido.
6.2.1
O Sistema Lento
Fazendo-se ε = 0 em (Σε), obt´em-se o sistema lento o qual ´e representado pelo
seguinte conjunto de equa¸c˜oes alg´ebricas-diferenciais (EAD): (Σo)
˙x = f (x, z)
0 = g(x, z) x(to) = xo
A equa¸c˜ao alg´ebrica 0 = g(x, z) restringe a dinˆamica do sistema lento (Σo) a um
conjunto Γ em Rn+m. Mais precisamente,
Γ = {(x, z) ∈ Rn× Rm : 0 = g(x, z)} .
O conjunto Γ cont´em todos os pontos de equil´ıbrio de (Σε) e ´e um conjunto invari-
ante com rela¸c˜ao a (Σo). Supondo que posto [Dxg Dzg] = m para todo (x, z) ∈ Γ, a
forma local das submers˜oes [31] garante que Γ ´e uma variedade suave de dimens˜ao n em Rn× Rm. Tipicamente, Γ ´e uma variedade composta de v´arias componentes
conexas e disjuntas entre si. Seja
S := {(x, z) ∈ Γ : Dzg(x, z) ´e singular}
o conjunto de pontos singulares em Γ e seja
NH := {(x, z) ∈ Γ : Dzg(x, z) tem pelo menos um autovalor
com parte real igual a zero.}
o conjunto de pontos n˜ao hiperb´olicos em Γ. ´E f´acil ver que S ⊂ NH ⊂ Γ.
Como mostrado em [42], o conjunto NH ´e uma variedade de dimens˜ao n − 1 que separa cada uma das componentes conexas de Γ em componentes menores Γi′s tal
que Γ \ NH = ∪iΓi.
Denotaremos por ϕo(t, xo, zo) := (xo(t, xo, zo), zo(t, xo, zo)) T
a trajet´oria do sis- tema (Σo) iniciando em (xo, zo)T ∈ Γ e por Ao(xs, zs) = {(x, z)} ∈ Γ : ϕo(t, x, z) →
(xs, zs) quando t → ∞} a ´area de atra¸c˜ao do ponto de equil´ıbrio assintoticamente
est´avel (xs, zs) com rela¸c˜ao ao sistema (Σ o)).
Nos pontos n˜ao singulares de Γ, isto ´e, pontos de Γ onde Dzg ´e n˜ao singular,
o conjunto de equa¸c˜oes alg´ebricas-diferenciais (Σo) induz um campo vetorial na
da fun¸c˜ao impl´ıcita [27]. Mais precisamente, suponha (sem perda de generalidade) que na origem, a matriz Jacobiana Dzg seja n˜ao singular, ent˜ao, pelo Teorema da
Fun¸c˜ao Impl´ıcita, existe uma ´unica solu¸c˜ao local para a equa¸c˜ao alg´ebrica z = h(x), satisfazendo 0 = g(x, h(x)) com h(0) = 0, a qual define uma variedade de dimens˜ao n, Mo = {(x, z) ∈ Rn× Rm : z = h(x), x ∈ D1} onde D1 ⊂ Rn ´e um conjunto
aberto conexo contendo a origem. Sendo assim, a equa¸c˜ao (Σo), pelo menos numa
vizinhan¸ca da origem, pode ser escrita como: (Σred)
˙x = f (x, h(x)) x(to) = xo
z = h(x)
O sistema (Σred) ´e chamado de modelo reduzido. Denotaremos a trajet´oria do
sistema reduzido iniciando em (xo, h(xo)) por ¯ϕ(t, xo) := (¯x(t, xo), ¯z(t) = h(¯x(t, xo)))
e o conjunto de pontos de equil´ıbrio de (Σred) por Ered, isto ´e,
Ered:= {x ∈ Rn: f (x, h(x)) = 0}.
6.2.2
O Sistema R´apido
Para explorar as propriedades de diferentes escalas de tempo de (Σε), define-se a
escala de tempo r´apida τ := εt. Nesta nova escala de tempo, o sistema (Σε) assume
a forma: (Πε) dx dτ = εf (x, z) dz dτ = g(x, z) x(to) = xo z(to) = zo (6.2) Denotaremos por φε(τ, xo, zo) a solu¸c˜ao de (Πε) iniciando em (xo, zo). ´E evidente
que φε(τ, xo, zo) = ϕε(ετ, xo, zo).
O sistema r´apido (tamb´em conhecido em inglˆes por ”boundary-layer-system (BLS)”) ´e obtido fazendo-se ε = 0 na equa¸c˜ao anterior, isto ´e,
(Πo) dx dτ = 0 dz dτ = g(x, z) ou simplesmente (ΠBLS) dz dτ = g(x, z) onde x ´e ”congelado” e tratado como um parˆametro.
Denotaremos por φo(τ, xo, zo) := (˜x(τ ) ≡ xo, ˜z(τ, xo, zo))T a trajet´oria de (Πo)
iniciando em (xo, zo)T (onde ˜z(τ, xo, zo) ´e a solu¸c˜ao do sistema (ΠBLS) iniciando em zo
para x = xo fixo) e por ABLS(x∗, z∗) = {z ∈ Rm : φo(τ, x∗, z) → (x∗, z∗) quando τ →
∞} a ´area de atra¸c˜ao do equil´ıbrio (x∗, z∗) com rela¸c˜ao ao sistema (Π
BLS)) para
x = x∗ fixo. O conjunto de pontos de equil´ıbrio de ΠBLS para o parˆametro fixo xo
ser´a denotado por Exo, isto ´e, Exo := {z ∈ R
m : g(x o, z)}.
Sob certas condi¸c˜oes de estabilidade, espera-se que a componente de dinˆamica r´apida zε(t, xo, zo) convirja para a trajet´oria de regime permanente ¯z(t) quando
59 t → ∞. Para estudar estas condi¸c˜oes ´e conveniente, `as vezes, utilizar a seguinte mudan¸ca de coordenadas:
y := z − h(x) O sistema (Πε), nestas novas vari´aveis, ´e dado por:
(Πε) ( dx dτ = εf (x, y + h(x)) dy dτ = g(x, y + h(x)) − ε ∂h(x) ∂x f (x, y + h(x))
e o sistema r´apido, nestas novas vari´aveis, ´e obtido fazendo-se ε = 0 na equa¸c˜ao anterior, isto ´e:
(ΠBLS)
dy
dτ = g(x, y + h(x)) y(τ = 0) = zo− h(xo)
onde x est´a fixo e ´e tratado como um parˆametro. A trajet´oria y = 0 ´e uma trajet´oria de equil´ıbrio de (ΠBLS) independentemente de x. Denotaremos por ¯yxo(t, yo) a
trajet´oria do sistema r´apido iniciando em yo = zo− h(xo) para o parˆametro xo fixo.
A continuidade de Dzg(x, z) garante que o n´umero de autovalores de Dzg(x, z)
com parte real positiva ´e constante em cada componente Γi. Portanto, faz sentido
definir o tipo de estabilidade de cada componente Γi com rela¸c˜ao ao sistema r´apido
(ΠBLS).
Defini¸c˜ao 6.2.1 O conjunto Γi ´e uma componente de Γ do tipo k se a matriz Dzg
calculada em qualquer ponto de Γi possui k autovalores no semi-plano direito do
plano complexo.
Se todos os autovalores de Dzg, calculados nos pontos de Γi, possuem parte real
negativa, ent˜ao chamamos Γi de uma componente est´avel de Γ. Caso contr´ario, ela
´e chamada componente inst´avel.
Observe que qualquer ponto (x∗, z∗) em uma componente Γ
i de Γ do tipo k ´e um
ponto de equil´ıbrio hiperb´olico do tipo k de (ΠBLS) para um certo valor (parˆametro)
fixo x = x∗.
O principal objetivo deste cap´ıtulo ´e estudar a rela¸c˜ao existente entre o sistema singularmente perturbado (Σε) e os subsistemas simplificados (Σo) e (ΠBLS). Em
particular, deseja-se explorar a rela¸c˜ao entre Aε(xs, zs), Ao(xs, zs) e ABLS(x∗, z∗).
As fronteiras topol´ogicas destes conjuntos ser˜ao respectivamente denotadas por ∂Aε(xs, zs), ∂Ao(xs, zs) e ∂ABLS(x∗, z∗).
6.2.3
Decomposi¸c˜ao da Dinˆamica
Se o sistema (ΠBLS) ´e exponencialmente est´avel, uniformemente com rela¸c˜ao a t ∈
[to, t1] e x ∈ D1, e se o campo vetorial ´e suficientemente regular, ent˜ao o Teorema
de Tikhonov (veja [24], page 361) mostra, para ε > 0 suficientemente pequeno, que as trajet´orias do sistema singularmente perturbado podem ser aproximadas pela
composi¸c˜ao das trajet´orias do sistema lento e do sistema r´apido, isto ´e, existem constantes positivas µ and ε∗ tais que para toda condi¸c˜ao inicial satisfazendo kz
o−
h(xo)k ≤ µ e 0 < ε < ε∗, o sistema (Σε) tem uma ´unica trajet´oria xε(t, xo, zo),
zε(t, xo, zo) definida no intervalo [to, t1] satisfazendo:
xε(t) − ¯x(t) = O(ε)
zε(t) − h(¯x(t)) − ¯y(εt) = O(ε)
uniformemente com rela¸c˜ao a t ∈ [to, t1], onde (¯x(t), ¯z(t) := h(¯x(t))) ´e a trajet´oria
do sistema reduzido (Σred) e ¯y(εt) ´e a trajet´oria do sistema r´apido (ΠBLS).
O Teorema de Tikhonov justifica a decomposi¸c˜ao da dinˆamica em um intervalo de tempo finito. Entretanto, se uma hip´otese de estabilidade exponencial do sistema lento ´e adicionada, ent˜ao o resultado ´e verdadeiro para t ≥ to.